登录
三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(5分)计算：$|1-\sqrt{2}|-\sqrt{18}+4\cos 45°+(2026-π)^0$。
16.(5分)计算：$|1-\sqrt{2}|-\sqrt{18}+4\cos 45°+(2026-π)^0$。
答案
解：
原式$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 4×\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$
$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 1$
$= (\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}) + (-1+1)$
$= 0$
原式$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 4×\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$
$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 1$
$= (\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}) + (-1+1)$
$= 0$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时先拆分原式的四个运算模块分别计算，再合并结果：①先处理绝对值：判断1和$\sqrt{2}$的大小，$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，负数的绝对值是它的相反数，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；②化简二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$；③代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算$4\cos45°$；④计算零指数幂：非零数的0次幂等于1，因此$(2026-π)^0=1$；最后将所有结果合并同类二次根式、计算常数项即可得到最终结果。
【解析】
原式$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 4×\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$
$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 1$
$= (\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}) + (-1+1)$
$= 0$
【答案】
$0$
【知识点】
实数混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对实数运算相关法则的掌握程度，只要熟练掌握绝对值化简、二次根式化简、特殊角三角函数值、零指数幂的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
这是一道实数混合运算题，解题时先拆分原式的四个运算模块分别计算，再合并结果：①先处理绝对值：判断1和$\sqrt{2}$的大小，$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，负数的绝对值是它的相反数，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；②化简二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$；③代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算$4\cos45°$；④计算零指数幂：非零数的0次幂等于1，因此$(2026-π)^0=1$；最后将所有结果合并同类二次根式、计算常数项即可得到最终结果。
【解析】
原式$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 4×\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$
$= \sqrt{2}-1 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 1$
$= (\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}) + (-1+1)$
$= 0$
【答案】
$0$
【知识点】
实数混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对实数运算相关法则的掌握程度，只要熟练掌握绝对值化简、二次根式化简、特殊角三角函数值、零指数幂的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
17.(8分)求值：
(1)$2\sin 30° + 10\cos 60° - 4\tan 45°$；
(2)$2\sin 60° · \tan 45° + 4\cos^2 30° - \tan 60°$。
(1)$2\sin 30° + 10\cos 60° - 4\tan 45°$；
(2)$2\sin 60° · \tan 45° + 4\cos^2 30° - \tan 60°$。
答案
解：
(1) 原式$=2×\frac{1}{2} + 10×\frac{1}{2} - 4×1$
$=1 + 5 - 4$
$=2$
(2) 原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×1 + 4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 4×\frac{3}{4} - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3}$
$=3$
(1) 原式$=2×\frac{1}{2} + 10×\frac{1}{2} - 4×1$
$=1 + 5 - 4$
$=2$
(2) 原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×1 + 4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 4×\frac{3}{4} - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3}$
$=3$
解析
【分析】
本题是特殊角的三角函数值的计算类题目，解题思路可分为两步：第一步，准确记忆30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切的对应数值；第二步，将原式中的三角函数替换为对应数值后，按照实数的四则运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减）逐步计算即可。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$
原式$=2×\frac{1}{2} + 10×\frac{1}{2} - 4×1$
$=1 + 5 - 4$
$=2$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×1 + 4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 4×\frac{3}{4} - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3}$
$=3$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对特殊角三角函数值的识记能力和基本运算能力，计算时需注意运算顺序，牢记各特殊角的三角函数值避免代入错误。
【难度系数】
0.85
本题是特殊角的三角函数值的计算类题目，解题思路可分为两步：第一步，准确记忆30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切的对应数值；第二步，将原式中的三角函数替换为对应数值后，按照实数的四则运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减）逐步计算即可。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$
原式$=2×\frac{1}{2} + 10×\frac{1}{2} - 4×1$
$=1 + 5 - 4$
$=2$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×1 + 4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 4×\frac{3}{4} - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3}$
$=3$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对特殊角三角函数值的识记能力和基本运算能力，计算时需注意运算顺序，牢记各特殊角的三角函数值避免代入错误。
【难度系数】
0.85
18.(8分)解直角三角形.
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2\sqrt{3}$，$BC=6$；
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$AB=4\sqrt{3}$.
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2\sqrt{3}$，$BC=6$；
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$AB=4\sqrt{3}$.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2\sqrt{3}$，$BC=6$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
$\because \tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$AB=4\sqrt{3}$。
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore BC=AB·\sin60°=4\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6$，
$AC=AB·\cos60°=4\sqrt{3}×\dfrac{1}{2}=2\sqrt{3}$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2\sqrt{3}$，$BC=6$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
$\because \tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$AB=4\sqrt{3}$。
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore BC=AB·\sin60°=4\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6$，
$AC=AB·\cos60°=4\sqrt{3}×\dfrac{1}{2}=2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题考查解直角三角形，解题核心是求出三角形所有未知的边和角，解题思路如下：
(1) 已知Rt△ABC的两条直角边长度，首先利用勾股定理计算斜边长度；再根据正切函数的定义求出∠A的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠A的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数。
(2) 已知Rt△ABC的一个锐角和斜边长度，首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数；再根据正弦、余弦三角函数的定义，分别计算两条直角边的长度即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2\sqrt{3}$，$BC=6$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
$\because \tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$AB=4\sqrt{3}$。
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore BC=AB·\sin60°=4\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6$，
$AC=AB·\cos60°=4\sqrt{3}×\dfrac{1}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $AB=4\sqrt{3}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$；
(2) $∠B=30°$，$BC=6$，$AC=2\sqrt{3}$。
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题，解题时要结合已知条件灵活选择勾股定理或三角函数公式计算，熟记特殊角的三角函数值可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查解直角三角形，解题核心是求出三角形所有未知的边和角，解题思路如下：
(1) 已知Rt△ABC的两条直角边长度，首先利用勾股定理计算斜边长度；再根据正切函数的定义求出∠A的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠A的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数。
(2) 已知Rt△ABC的一个锐角和斜边长度，首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数；再根据正弦、余弦三角函数的定义，分别计算两条直角边的长度即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2\sqrt{3}$，$BC=6$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
$\because \tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$AB=4\sqrt{3}$。
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore BC=AB·\sin60°=4\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6$，
$AC=AB·\cos60°=4\sqrt{3}×\dfrac{1}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $AB=4\sqrt{3}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$；
(2) $∠B=30°$，$BC=6$，$AC=2\sqrt{3}$。
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题，解题时要结合已知条件灵活选择勾股定理或三角函数公式计算，熟记特殊角的三角函数值可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
19.(8分)已知α为锐角，$\sin(α - 15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算$-2\cosα + 3\tanα - \sqrt{12}$的值。
答案
解：
∵α为锐角，$\sin(α - 15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$α - 15° = 45°$，
解得$α = 60°$。
将$α=60°$代入代数式：
$\begin{aligned}-2\cosα + 3\tanα - \sqrt{12}&=-2×\cos60° + 3×\tan60° - 2\sqrt{3}\\&=-2×\frac{1}{2} + 3×\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=-1 + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
最终结果为$\sqrt{3}-1$。
∵α为锐角，$\sin(α - 15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$α - 15° = 45°$，
解得$α = 60°$。
将$α=60°$代入代数式：
$\begin{aligned}-2\cosα + 3\tanα - \sqrt{12}&=-2×\cos60° + 3×\tan60° - 2\sqrt{3}\\&=-2×\frac{1}{2} + 3×\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=-1 + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
最终结果为$\sqrt{3}-1$。
解析
【分析】
解题可分两步进行：第一步求α的度数，已知α是锐角，且$\sin(α - 15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合特殊角的三角函数值$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可推出$α-15°=45°$，进而算出$α=60°$；第二步代入计算，将$α=60°$代入待求代数式，分别代入$\cos60°$、$\tan60°$的数值，同时化简$\sqrt{12}$，最后按实数运算规则计算即可。
【解析】
∵α为锐角，$\sin(α - 15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$α - 15° = 45°$，
解得$α = 60°$。
将$α=60°$代入代数式：
$\begin{aligned}-2\cosα + 3\tanα - \sqrt{12}&=-2×\cos60° + 3×\tan60° - 2\sqrt{3}\\&=-2×\frac{1}{2} + 3×\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=-1 + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题属于三角函数基础题型，解题的关键是牢记特殊角的三角函数值，先根据已知条件求出锐角α的度数，代入计算时注意二次根式要化简为最简形式，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题可分两步进行：第一步求α的度数，已知α是锐角，且$\sin(α - 15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合特殊角的三角函数值$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可推出$α-15°=45°$，进而算出$α=60°$；第二步代入计算，将$α=60°$代入待求代数式，分别代入$\cos60°$、$\tan60°$的数值，同时化简$\sqrt{12}$，最后按实数运算规则计算即可。
【解析】
∵α为锐角，$\sin(α - 15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$α - 15° = 45°$，
解得$α = 60°$。
将$α=60°$代入代数式：
$\begin{aligned}-2\cosα + 3\tanα - \sqrt{12}&=-2×\cos60° + 3×\tan60° - 2\sqrt{3}\\&=-2×\frac{1}{2} + 3×\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=-1 + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题属于三角函数基础题型，解题的关键是牢记特殊角的三角函数值，先根据已知条件求出锐角α的度数，代入计算时注意二次根式要化简为最简形式，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD=5,sin∠ADC=$\frac{4}{5}$,求tan∠ABC的值.
答案
解：在Rt△ACD中，∠C=90°，
∵ $\sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}$，$AD=5$，
∴ $AC=AD·\sin∠ ADC=5×\frac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $BC=CD+BD=3+5=8$，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
∵ $\sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}$，$AD=5$，
∴ $AC=AD·\sin∠ ADC=5×\frac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $BC=CD+BD=3+5=8$，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解题时先从包含已知三角函数的Rt△ACD切入：首先根据∠ADC的正弦值和AD的长度，利用正弦的定义求出直角边AC的长度，再用勾股定理求出CD的长度；接下来结合BD的长度，通过线段和差求出BC的总长度；最后在Rt△ABC中，根据正切的定义，用AC与BC的比值即可求出tan∠ABC的值。
【解析】
在Rt△ACD中，∠C=90°，
∵ $\sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}$，$AD=5$，
∴ $AC=AD·\sin∠ ADC=5×\frac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $BC=CD+BD=3+5=8$，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
这道题是解直角三角形的常规基础题型，解题核心是先利用有已知条件的直角三角形求出公共直角边AC和线段CD的长，再推导目标角所在直角三角形的边长，进而计算三角函数值，解题时要注意找准各三角函数对应的直角边和斜边，避免混淆。
【难度系数】
0.75
解题时先从包含已知三角函数的Rt△ACD切入：首先根据∠ADC的正弦值和AD的长度，利用正弦的定义求出直角边AC的长度，再用勾股定理求出CD的长度；接下来结合BD的长度，通过线段和差求出BC的总长度；最后在Rt△ABC中，根据正切的定义，用AC与BC的比值即可求出tan∠ABC的值。
【解析】
在Rt△ACD中，∠C=90°，
∵ $\sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}$，$AD=5$，
∴ $AC=AD·\sin∠ ADC=5×\frac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $BC=CD+BD=3+5=8$，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
这道题是解直角三角形的常规基础题型，解题核心是先利用有已知条件的直角三角形求出公共直角边AC和线段CD的长，再推导目标角所在直角三角形的边长，进而计算三角函数值，解题时要注意找准各三角函数对应的直角边和斜边，避免混淆。
【难度系数】
0.75
21.(8分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点D为BC边的中点,$∠ ACB$的平分线CE交AD于点E,以AC上一点O为圆心的圆经过C,E两点,$\odot O$与AC的另一个交点为F.
(1)求证:AD是$\odot O$的切线;
(2)若$BC=8,\cos ∠ BCE=\frac{\sqrt{6}}{3}$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:AD是$\odot O$的切线;
(2)若$BC=8,\cos ∠ BCE=\frac{\sqrt{6}}{3}$,求$\odot O$的半径长.
答案
(1) 证明：
连接OE，
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠OCE=∠BCE，
∴ ∠OEC=∠BCE，
∴ OE//BC，
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ AD⊥OE，
又∵ OE是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
---
(2) 解：
∵ D为BC的中点，BC=8，
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=4$，
∵ AB=AC，D为BC中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△CDE中，∠DCE=∠BCE，$\cos∠ DCE=\frac{CD}{CE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴ $CE=CD÷\frac{\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2-4^2}=2\sqrt{2}$。
过点E作EG⊥AC于点G，
∵ CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ EG=DE=2√2，CG=CD=4。
设AG=x，
在Rt△AEG中，$AE^2=AG^2+EG^2=x^2+(2\sqrt{2})^2=x^2+8$，
∴ $AE=\sqrt{x^2+8}$，
∴ $AD=AE+DE=\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2}$，$AC=AG+CG=x+4$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，代入得：
$(\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2})^2+4^2=(x+4)^2$
展开整理得：
$4\sqrt{2}·\sqrt{x^2+8}=8x-16$
两边同除以4后平方：
$2(x^2+8)=4x^2-16x+16$
化简得$2x^2-16x=0$，解得$x_1=8$，$x_2=0$（不符合题意，舍去），
∴ $AC=8+4=12$。
设⊙O的半径为r，
∵ OE//BC，
∴ △AOE∽△ACD，
∴ $\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$，即$\frac{r}{4}=\frac{12-r}{12}$，
解得$r=3$。
∴ ⊙O的半径长为$\boldsymbol{3}$。
连接OE，
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠OCE=∠BCE，
∴ ∠OEC=∠BCE，
∴ OE//BC，
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ AD⊥OE，
又∵ OE是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
---
(2) 解：
∵ D为BC的中点，BC=8，
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=4$，
∵ AB=AC，D为BC中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△CDE中，∠DCE=∠BCE，$\cos∠ DCE=\frac{CD}{CE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴ $CE=CD÷\frac{\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2-4^2}=2\sqrt{2}$。
过点E作EG⊥AC于点G，
∵ CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ EG=DE=2√2，CG=CD=4。
设AG=x，
在Rt△AEG中，$AE^2=AG^2+EG^2=x^2+(2\sqrt{2})^2=x^2+8$，
∴ $AE=\sqrt{x^2+8}$，
∴ $AD=AE+DE=\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2}$，$AC=AG+CG=x+4$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，代入得：
$(\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2})^2+4^2=(x+4)^2$
展开整理得：
$4\sqrt{2}·\sqrt{x^2+8}=8x-16$
两边同除以4后平方：
$2(x^2+8)=4x^2-16x+16$
化简得$2x^2-16x=0$，解得$x_1=8$，$x_2=0$（不符合题意，舍去），
∴ $AC=8+4=12$。
设⊙O的半径为r，
∵ OE//BC，
∴ △AOE∽△ACD，
∴ $\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$，即$\frac{r}{4}=\frac{12-r}{12}$，
解得$r=3$。
∴ ⊙O的半径长为$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
(1) 证明切线需遵循“连半径、证垂直”的思路：首先连接半径OE，利用等腰三角形等边对等角的性质、角平分线的定义推导内错角相等，得到OE//BC；再结合等腰△ABC三线合一的性质可知AD⊥BC，由此可得AD⊥OE，即可判定AD是⊙O的切线。
(2) 先根据BC中点的性质求得CD的长度，在Rt△CDE中利用三角函数求出CE、DE的长；再利用角平分线的性质得到EG=DE、CG=CD，设AG为x，结合勾股定理在Rt△AEG和Rt△ADC中建立方程求出AC的长度；最后根据OE//BC得到△AOE∽△ACD，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出⊙O的半径。
【解析】
(1) 证明：
连接OE，
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠OCE=∠BCE，
∴ ∠OEC=∠BCE，
∴ OE//BC，
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ AD⊥OE，
又
∵ OE是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ D为BC的中点，BC=8，
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=4$，
∵ AB=AC，D为BC中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△CDE中，∠DCE=∠BCE，$\cos∠ DCE=\frac{CD}{CE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴ $CE=CD÷\frac{\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2-4^2}=2\sqrt{2}$。
过点E作EG⊥AC于点G，
∵ CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ EG=DE=2√2，CG=CD=4。
设AG=x，
在Rt△AEG中，$AE^2=AG^2+EG^2=x^2+(2\sqrt{2})^2=x^2+8$，
∴ $AE=\sqrt{x^2+8}$，
∴ $AD=AE+DE=\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2}$，$AC=AG+CG=x+4$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，代入得：
$(\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2})^2+4^2=(x+4)^2$
展开整理得：
$4\sqrt{2}·\sqrt{x^2+8}=8x-16$
两边同除以4后平方：
$2(x^2+8)=4x^2-16x+16$
化简得$2x^2-16x=0$，解得$x_1=8$，$x_2=0$（不符合题意，舍去），
∴ $AC=8+4=12$。
设⊙O的半径为r，
∵ OE//BC，
∴ △AOE∽△ACD，
∴ $\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$，即$\frac{r}{4}=\frac{12-r}{12}$，
解得$r=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
切线的判定；相似三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题型，覆盖了多个核心几何考点，解题时需熟练掌握切线的判定逻辑，同时灵活运用方程思想，结合勾股定理、相似三角形的性质建立等量关系求解未知线段，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 证明切线需遵循“连半径、证垂直”的思路：首先连接半径OE，利用等腰三角形等边对等角的性质、角平分线的定义推导内错角相等，得到OE//BC；再结合等腰△ABC三线合一的性质可知AD⊥BC，由此可得AD⊥OE，即可判定AD是⊙O的切线。
(2) 先根据BC中点的性质求得CD的长度，在Rt△CDE中利用三角函数求出CE、DE的长；再利用角平分线的性质得到EG=DE、CG=CD，设AG为x，结合勾股定理在Rt△AEG和Rt△ADC中建立方程求出AC的长度；最后根据OE//BC得到△AOE∽△ACD，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出⊙O的半径。
【解析】
(1) 证明：
连接OE，
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠OCE=∠BCE，
∴ ∠OEC=∠BCE，
∴ OE//BC，
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ AD⊥OE，
又
∵ OE是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ D为BC的中点，BC=8，
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=4$，
∵ AB=AC，D为BC中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△CDE中，∠DCE=∠BCE，$\cos∠ DCE=\frac{CD}{CE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴ $CE=CD÷\frac{\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2-4^2}=2\sqrt{2}$。
过点E作EG⊥AC于点G，
∵ CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ EG=DE=2√2，CG=CD=4。
设AG=x，
在Rt△AEG中，$AE^2=AG^2+EG^2=x^2+(2\sqrt{2})^2=x^2+8$，
∴ $AE=\sqrt{x^2+8}$，
∴ $AD=AE+DE=\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2}$，$AC=AG+CG=x+4$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，代入得：
$(\sqrt{x^2+8}+2\sqrt{2})^2+4^2=(x+4)^2$
展开整理得：
$4\sqrt{2}·\sqrt{x^2+8}=8x-16$
两边同除以4后平方：
$2(x^2+8)=4x^2-16x+16$
化简得$2x^2-16x=0$，解得$x_1=8$，$x_2=0$（不符合题意，舍去），
∴ $AC=8+4=12$。
设⊙O的半径为r，
∵ OE//BC，
∴ △AOE∽△ACD，
∴ $\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$，即$\frac{r}{4}=\frac{12-r}{12}$，
解得$r=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
切线的判定；相似三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题型，覆盖了多个核心几何考点，解题时需熟练掌握切线的判定逻辑，同时灵活运用方程思想，结合勾股定理、相似三角形的性质建立等量关系求解未知线段，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
22. (8分)如图,某海域捕鱼作业区B位于补给中心A的北偏东$30°$方向距离60海里处,位于岛屿C的北偏西$45°$方向,岛屿C位于补给中心A的正东方.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{6}\approx2.45$)
(1)求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；
(2)某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移,渔船立即向补给中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼群.补给中心A接到信号后,立即派出另一艘大型渔船从A出发(接收信号及通知时间忽略不计),沿正北方向以每小时$30\sqrt{3}$海里的速度前往协同捕捞.当两船相距$20\sqrt{7}$海里时,它们开始启动协同捕鱼作业.请问:大型渔船出发后多少小时,两船开始启动协同捕鱼作业？(结果保留根号)
(1)求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；
(2)某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移,渔船立即向补给中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼群.补给中心A接到信号后,立即派出另一艘大型渔船从A出发(接收信号及通知时间忽略不计),沿正北方向以每小时$30\sqrt{3}$海里的速度前往协同捕捞.当两船相距$20\sqrt{7}$海里时,它们开始启动协同捕鱼作业.请问:大型渔船出发后多少小时,两船开始启动协同捕鱼作业？(结果保留根号)
答案
解：
(1) 过点B作BD⊥AC，垂足为D。
由题意得∠BAD=90°-30°=60°，AB=60海里。
在Rt△ABD中，
$BD=AB·\sin∠ BAD=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$ 海里。
由题意得∠BCD=90°-45°=45°，
在Rt△BCD中，
$BC=\frac{BD}{\sin45°}=\frac{30\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{6}$ 海里。
答：岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离为$30\sqrt{6}$海里。
(2) 设大型渔船出发后$t$小时，两船相距$20\sqrt{7}$海里。
由(1)得 $AD=AB·\cos∠ BAD=60×\frac{1}{2}=30$ 海里。
此时，向西行驶的渔船的水平位置与过点A的正北方向线的距离为$|30-30t|$海里，该渔船的竖直高度（到AC的距离）为$30\sqrt{3}$海里；大型渔船沿正北方向行驶，到点A的距离为$30\sqrt{3}t$海里。
由勾股定理列方程：
$(30-30t)^2+(30\sqrt{3}-30\sqrt{3}t)^2=(20\sqrt{7})^2$
化简得：
$900(1-t)^2+2700(1-t)^2=2800$
$3600(t-1)^2=2800$
$(t-1)^2=\frac{7}{9}$
解得 $t_1=\frac{3-\sqrt{7}}{3}$，$t_2=\frac{3+\sqrt{7}}{3}$，均符合题意。
答：大型渔船出发后$\frac{3-\sqrt{7}}{3}$小时或$\frac{3+\sqrt{7}}{3}$小时，两船开始启动协同捕鱼作业。
(1) 过点B作BD⊥AC，垂足为D。
由题意得∠BAD=90°-30°=60°，AB=60海里。
在Rt△ABD中，
$BD=AB·\sin∠ BAD=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$ 海里。
由题意得∠BCD=90°-45°=45°，
在Rt△BCD中，
$BC=\frac{BD}{\sin45°}=\frac{30\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{6}$ 海里。
答：岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离为$30\sqrt{6}$海里。
(2) 设大型渔船出发后$t$小时，两船相距$20\sqrt{7}$海里。
由(1)得 $AD=AB·\cos∠ BAD=60×\frac{1}{2}=30$ 海里。
此时，向西行驶的渔船的水平位置与过点A的正北方向线的距离为$|30-30t|$海里，该渔船的竖直高度（到AC的距离）为$30\sqrt{3}$海里；大型渔船沿正北方向行驶，到点A的距离为$30\sqrt{3}t$海里。
由勾股定理列方程：
$(30-30t)^2+(30\sqrt{3}-30\sqrt{3}t)^2=(20\sqrt{7})^2$
化简得：
$900(1-t)^2+2700(1-t)^2=2800$
$3600(t-1)^2=2800$
$(t-1)^2=\frac{7}{9}$
解得 $t_1=\frac{3-\sqrt{7}}{3}$，$t_2=\frac{3+\sqrt{7}}{3}$，均符合题意。
答：大型渔船出发后$\frac{3-\sqrt{7}}{3}$小时或$\frac{3+\sqrt{7}}{3}$小时，两船开始启动协同捕鱼作业。
解析
【分析】
(1) 要求BC的长度，首先观察到△ABC不是直角三角形，因此通过过点B作BD⊥AC的辅助线，将原三角形拆分为两个特殊直角三角形。先在Rt△ABD中结合已知AB长度和∠BAD的度数，利用三角函数求出公共高BD的长度，再在Rt△BCD中利用45°角的三角函数值即可求出BC的长度。
(2) 设大型渔船出发时间为t小时，先分别用含t的代数式表示两船的水平距离和竖直距离：向西行驶的渔船水平位移为30t，和A点正北方向线的水平距离为|30-30t|，竖直高度恒为BD的长度$30\sqrt{3}$；从A出发的渔船竖直位移为$30\sqrt{3}t$，两船竖直距离为$|30\sqrt{3}-30\sqrt{3}t|$，再根据两船距离为$20\sqrt{7}$，结合勾股定理列方程求解，检验根的合理性即可。
【解析】
(1) 过点B作BD⊥AC，垂足为D。
由题意得∠BAD=90°-30°=60°，AB=60海里。
在Rt△ABD中，
$BD=AB·\sin∠ BAD=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$ 海里。
由题意得∠BCD=90°-45°=45°，
在Rt△BCD中，
$BC=\frac{BD}{\sin45°}=\frac{30\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{6}$ 海里。
(2) 设大型渔船出发后$t$小时，两船相距$20\sqrt{7}$海里。
由(1)得 $AD=AB·\cos∠ BAD=60×\frac{1}{2}=30$ 海里。
此时，向西行驶的渔船的水平位置与过点A的正北方向线的距离为$|30-30t|$海里，该渔船的竖直高度（到AC的距离）为$30\sqrt{3}$海里；大型渔船沿正北方向行驶，到点A的距离为$30\sqrt{3}t$海里。
由勾股定理列方程：
$(30-30t)^2+(30\sqrt{3}-30\sqrt{3}t)^2=(20\sqrt{7})^2$
化简得：
$900(1-t)^2+2700(1-t)^2=2800$
$3600(t-1)^2=2800$
$(t-1)^2=\frac{7}{9}$
解得 $t_1=\frac{3-\sqrt{7}}{3}$，$t_2=\frac{3+\sqrt{7}}{3}$，均符合题意。
【答案】
(1) 岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离为$30\sqrt{6}$海里；
(2) 大型渔船出发后$\frac{3-\sqrt{7}}{3}$小时或$\frac{3+\sqrt{7}}{3}$小时，两船开始启动协同捕鱼作业。
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，勾股定理应用
【点评】
本题结合实际生产场景考查几何计算与动态建模能力，既要求熟练掌握特殊角的三角函数值，能通过作辅助线构造直角三角形求解边长，也要求能对动态问题建立数学模型，根据等量关系列方程求解，是应用型解答题的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要求BC的长度，首先观察到△ABC不是直角三角形，因此通过过点B作BD⊥AC的辅助线，将原三角形拆分为两个特殊直角三角形。先在Rt△ABD中结合已知AB长度和∠BAD的度数，利用三角函数求出公共高BD的长度，再在Rt△BCD中利用45°角的三角函数值即可求出BC的长度。
(2) 设大型渔船出发时间为t小时，先分别用含t的代数式表示两船的水平距离和竖直距离：向西行驶的渔船水平位移为30t，和A点正北方向线的水平距离为|30-30t|，竖直高度恒为BD的长度$30\sqrt{3}$；从A出发的渔船竖直位移为$30\sqrt{3}t$，两船竖直距离为$|30\sqrt{3}-30\sqrt{3}t|$，再根据两船距离为$20\sqrt{7}$，结合勾股定理列方程求解，检验根的合理性即可。
【解析】
(1) 过点B作BD⊥AC，垂足为D。
由题意得∠BAD=90°-30°=60°，AB=60海里。
在Rt△ABD中，
$BD=AB·\sin∠ BAD=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$ 海里。
由题意得∠BCD=90°-45°=45°，
在Rt△BCD中，
$BC=\frac{BD}{\sin45°}=\frac{30\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{6}$ 海里。
(2) 设大型渔船出发后$t$小时，两船相距$20\sqrt{7}$海里。
由(1)得 $AD=AB·\cos∠ BAD=60×\frac{1}{2}=30$ 海里。
此时，向西行驶的渔船的水平位置与过点A的正北方向线的距离为$|30-30t|$海里，该渔船的竖直高度（到AC的距离）为$30\sqrt{3}$海里；大型渔船沿正北方向行驶，到点A的距离为$30\sqrt{3}t$海里。
由勾股定理列方程：
$(30-30t)^2+(30\sqrt{3}-30\sqrt{3}t)^2=(20\sqrt{7})^2$
化简得：
$900(1-t)^2+2700(1-t)^2=2800$
$3600(t-1)^2=2800$
$(t-1)^2=\frac{7}{9}$
解得 $t_1=\frac{3-\sqrt{7}}{3}$，$t_2=\frac{3+\sqrt{7}}{3}$，均符合题意。
【答案】
(1) 岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离为$30\sqrt{6}$海里；
(2) 大型渔船出发后$\frac{3-\sqrt{7}}{3}$小时或$\frac{3+\sqrt{7}}{3}$小时，两船开始启动协同捕鱼作业。
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，勾股定理应用
【点评】
本题结合实际生产场景考查几何计算与动态建模能力，既要求熟练掌握特殊角的三角函数值，能通过作辅助线构造直角三角形求解边长，也要求能对动态问题建立数学模型，根据等量关系列方程求解，是应用型解答题的常考题型。
【难度系数】
0.6
