1. 化简$\frac{x}{a+2} · \frac{a^2 -4}{2x}$的结果是（）.

A.$\frac{a+2}{2}$
B.$\frac{a-2}{2}$
C.$\frac{a-2}{2x}$
D.$\frac{a-2}{2a+4}$

1. B

【分析】
本题是分式乘法化简题，解题思路可按三步展开：第一步先观察式子中的多项式，$a^2-4$符合平方差公式的形式，优先对其因式分解；第二步根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；第三步找出分子分母的公因式进行约分，最终得到最简结果即可对应选项。
【解析】
首先利用平方差公式对$a^2-4$因式分解，可得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{2x}\\&=\frac{x·(a+2)(a-2)}{(a+2)·2x}\\\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$x$和$a+2$（保证原式有意义的前提下），可得：
$原式=\frac{a-2}{2}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘法运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式运算的先后顺序，先因式分解再约分计算，能有效降低运算难度，避免出错。
【难度系数】
0.8

2. 化简$\dfrac{a^2b}{mn^2} ÷ \dfrac{ab}{3mn}$的结果是（）。

A.$\dfrac{3b}{m}$
B.$\dfrac{3a}{mn}$
C.$\dfrac{3b}{mn}$
D.$\dfrac{3a}{n}$

2. D

【分析】
这是分式除法的化简类题目，解题思路很清晰：首先回忆分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先把除法运算转化为乘法运算，再找出分子、分母中的公因式逐一约分，最终得到最简结果后对应选项即可。
【解析】
根据分式除法的运算法则，先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{a^2b}{mn^2} × \dfrac{3mn}{ab}\\&=\dfrac{a^2b · 3mn}{mn^2 · ab}\\\end{aligned}$
接下来对分子分母的公因式进行约分：约去公因式$a$、$b$、$m$、$n$后，分子剩余$3a$，分母剩余$n$，因此化简结果为$\dfrac{3a}{n}$。
【答案】
D
【知识点】
分式除法法则、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分式除法转乘法的规则，计算时只要认真找全公因式、正确约分就能做对，是分式运算板块的常规考查题型。
【难度系数】
0.8

3.若$\frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ A = \frac{1}{x + y}$，则A等于。

3. $\frac{3x}{x-y}$

【分析】
这是分式运算中求未知除式的题目，解题思路如下：首先根据除法运算各部分的关系：除数=被除数÷商，写出A的表达式；再利用平方差公式将被除数的分母因式分解，接着按照分式除法法则把除法运算转化为乘法运算，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
根据除法各部分之间的关系可得：
$A=\frac{3x}{x^2-y^2}÷\frac{1}{x+y}$
第一步，利用平方差公式分解因式：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$A=\frac{3x}{(x+y)(x-y)}÷\frac{1}{x+y}$
第二步，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，转化为乘法运算：
$A=\frac{3x}{(x+y)(x-y)}×(x+y)$
第三步，约去分子分母的公因式$x+y$，化简得：
$A=\frac{3x}{x-y}$
【答案】
$\frac{3x}{x-y}$
【知识点】
分式除法法则；平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先通过除法各部分关系列出待求式，运算时先对多项式因式分解再约分，能简化运算、降低出错率。
【难度系数】
0.8

4. 计算:
(1) $\frac{3b^2}{4a^2} · ( \frac{-a}{6b} );$
(2) $-3xy^2 ÷ \frac{6y^2}{5x};$
(3) $\frac{x^2 - x}{x + 1} · \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1};$
(4) $\frac{3ab + a^2}{b^2 - a^2} ÷ \frac{a + 3b}{a - b}.$

解 (1)原式=$\frac{-3ab^2}{24a^2b}=-\frac{b}{8a}.$
(2)原式=$-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}=-\frac{5x^2}{2}.$
(3)原式=$\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=x.$
(4) 原式 = $\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}=-\frac{a}{a+b}.$

【分析】
解决分式乘除运算类题目，可按以下步骤思考：① 统一运算：遇到除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数；② 确定符号：根据负因式的个数判断最终结果的符号；③ 因式分解：若分子、分母含多项式，先对多项式因式分解，若为单项式可直接整理分子、分母的因式；④ 约分计算：约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 计算单项式乘单项式，先确定符号为负，再将分子、分母分别相乘：
原式$=\frac{3b^2 · (-a)}{4a^2 · 6b}=\frac{-3ab^2}{24a^2b}$，约去公因式$3ab$，得$-\frac{b}{8a}$。
(2) 先将除法转化为乘法，确定符号为负，再计算：
原式$=-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}=\frac{-15x^2y^2}{6y^2}$，约去公因式$3y^2$，得$-\frac{5x^2}{2}$。
(3) 先对各多项式因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，代入原式后约分：
原式$=\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}$，约去公因式$(x+1)(x-1)^2$，得$x$。
(4) 先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解：$3ab+a^2=a(a+3b)$，$b^2-a^2=-(a^2-b^2)=-(a+b)(a-b)$，代入后约分：
原式$=\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}$，约去公因式$(a+3b)(a-b)$，得$-\frac{a}{a+b}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{b}{8a}}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{5x^2}{2}}$；(3) $\boldsymbol{x}$；(4) $\boldsymbol{-\frac{a}{a+b}}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，重点考查运算规则的掌握和因式分解的应用，运算时需注意符号的处理，多项式要先因式分解再约分，避免直接约分出现错误。
【难度系数】
0.7

5.若分式“$\frac{x-1}{x^2 - ○} · \frac{x+2}{x}$”可以进行约分化简，则“○”不可以是().

A.1
B.$x$
C.$-x$
D.$4$

5. C

【分析】
要判断分式能否约分化简，核心是看两个分式相乘后的总分子和总分母是否存在公因式。本题可将四个选项的内容依次代入“○”的位置，对$x^2-○$进行因式分解，再判断分解后的式子和总分子$(x-1)(x+2)$、总分母的因式$x$是否有公共因式即可，题目要求选“不可以”的，即代入后无公因式的选项。
【解析】
两个分式相乘后，总分子为$(x-1)(x+2)$，总分母为$x(x^2 - ○)$，逐一分析选项：
选项A：当○=1时，$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，含有公因式$x-1$，可约分，不符合题意；
选项B：当○=$x$时，$x^2 -x=x(x-1)$，含有公因式$x-1$，可约分，不符合题意；
选项C：当○=$-x$时，$x^2 - (-x)=x^2 +x=x(x+1)$，分解后的因式为$x$和$x+1$，与总分子$(x-1)(x+2)$没有公因式，无法约分，符合题意；
选项D：当○=4时，$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，含有公因式$x+2$，可约分，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分；因式分解；平方差公式
【点评】
本题考查分式约分的前提条件，解题关键是熟练掌握因式分解的方法，逐一验证选项即可，解题时注意不要看错符号。
【难度系数】
0.7

6.学过分式的乘除运算后，王老师给同学们出了这样一道题：当$x=2026$时，求代数式$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{2x - 2}{x + 1}$的值。小林一看马上说道：“太复杂了，直接代入计算需要很久的时间啊！”你能帮小林快速解决这个问题吗？请写出你的计算过程。

解 原式 = $\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)}=\frac{1}{2},$
所以,当$x=2 026$时,原式的值为$\frac{1}{2}.$

【分析】
遇到求分式值的问题时，不要直接代入数值计算，优先对原式化简：第一步先将各个分式的分子、分母因式分解，第二步根据分式除法法则，把除法运算转化为乘法运算，第三步约去所有公因式得到最简结果；若最简结果为常数，无需代入x的具体数值就能直接得到答案，可大幅简化计算。
【解析】
解：先对原式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{2(x-1)}$
约去分子分母的公因式$x+1$、$x-1$（$x=2026$时，$x+1≠0$，$x-1≠0$，原分式有意义），可得：
原式$=\dfrac{1}{2}$
所以当$x=2026$时，原式的值为$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，核心技巧是先化简后代入，可避免复杂的数值运算。本题化简后结果为常数，只要x的取值使原分式有意义，最终结果均不变，熟练掌握因式分解方法和分式乘除运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 如图①，1号玉米的试验田是半径为R m的圆去掉外侧宽为1 m的出水沟剩下的部分；如图②，2号玉米的试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆剩下的部分，两块试验田都收获了450 kg玉米.

(1)哪种玉米的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

7. 解 (1)1号玉米的试验田的面积是$π(R-1)^2\ \mathrm{m}^2$,
单位面积产量是$\frac{450}{π(R-1)^2}\ \mathrm{kg/m}^2$.
2号玉米的试验田的面积是$π(R^2-1)\mathrm{m}^2$,单位面积产量是$\frac{450}{π(R^2-1)}\mathrm{kg/m}^2$.
$\because R-1＞0,$
$\therefore R^2-1-(R-1)^2=2(R-1)＞0,$
$\therefore 0＜(R-1)^2＜R^2-1,$
$\therefore \frac{450}{π(R^2-1)}＜\frac{450}{π(R-1)^2}.$
$\therefore 1$号玉米的单位面积产量高.
(2)$\frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1)}$
$=\frac{450}{π(R-1)^2} · \frac{π(R^2-1)}{450}$
$=\frac{R+1}{R-1}.$
故高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍.

【分析】
要解决本题的两个问题，首先明确核心公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。第一步先结合几何图形特征求两块试验田的面积：1号试验田是半径为$(R-1)\mathrm{m}$的圆，可直接用圆的面积公式计算；2号试验田是外圆半径$R$、内圆半径1的圆环，用外圆面积减内圆面积即可得到面积。第二步分别写出两块地的单位面积产量，第一问比较单位产量大小时，由于两个式子分子相同，只需比较分母（两块地的面积）的大小即可判断单位产量高低；第二问求倍数，用高的单位产量除以低的单位产量，再通过因式分解约分即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积和单位面积产量：
1号玉米试验田是半径为$(R-1)\mathrm{m}$的圆，面积为$\boldsymbol{π(R-1)^2\ \mathrm{m}^2}$，单位面积产量为$\boldsymbol{\frac{450}{π(R-1)^2}\ \mathrm{kg/m}^2}$；
2号玉米试验田是外半径$R\ \mathrm{m}$、内半径$1\ \mathrm{m}$的圆环，面积为$πR^2 - π×1^2 = \boldsymbol{π(R^2-1)\ \mathrm{m}^2}$，单位面积产量为$\boldsymbol{\frac{450}{π(R^2-1)}\ \mathrm{kg/m}^2}$。
接下来比较两个面积的大小：
由题意可知$R＞1$，即$R-1＞0$，
计算得$R^2-1 - (R-1)^2 = R^2-1 - (R^2-2R+1) = 2(R-1) ＞ 0$，
因此$0 ＜ (R-1)^2 ＜ R^2-1$。
分子相同的正分数，分母越小分数值越大，因此$\frac{450}{π(R^2-1)} ＜ \frac{450}{π(R-1)^2}$，即1号玉米的单位面积产量更高。
(2) 求高的单位面积产量是低的多少倍，用高的单位产量除以低的单位产量：
$\begin{aligned}\frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1)}&=\frac{450}{π(R-1)^2} · \frac{π(R^2-1)}{450}\\&=\frac{R^2-1}{(R-1)^2}\\&=\frac{(R-1)(R+1)}{(R-1)^2}\\&=\frac{R+1}{R-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 1号玉米的单位面积产量高；
(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍。
【知识点】
圆环面积计算、分式大小比较、分式乘除运算
【点评】
本题结合实际生产场景，将几何面积计算与分式的运算、大小比较相结合，既需要掌握圆、圆环的面积计算方法，也需要熟练运用分式性质和约分化简规则解决实际问题，解题逻辑清晰，注重知识的综合应用。
【难度系数】
0.7