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典例1 计算：
(1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$；
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m}$。
(1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$；
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m}$。
答案
(1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+y}.$
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}.$
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}.$
解析
【分析】
分式乘除混合运算的核心思路是：①先将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；②对分子、分母中的多项式进行因式分解，涉及的因式分解方法有平方差公式、完全平方公式，另外注意互为相反数的偶次幂相等，即$(n-m)^2=(m-n)^2$；③约去分子分母的公因式，最终得到最简分式。
针对第(1)题，先把除法转乘法，再分别对$x^2-y^2$用平方差分解、$x^2+4xy+4y^2$用完全平方公式分解，再约分即可；针对第(2)题，先把除法转乘法，对$m^2-n^2$用平方差分解，将$(n-m)^2$转化为$(m-n)^2$，再约分即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2 + 4xy + 4y^2}{x^2 - y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}\\&=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}\\&=-\dfrac{x-y}{x+y}\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，利用$(n-m)^2=(m-n)^2$变形，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&=\dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&=\dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x-y}{x+y}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
这是分式乘除混合运算的常规题型，解题的关键是先统一运算为乘法，再对多项式正确因式分解后约分，计算时要注意符号、以及互为相反数的偶次幂的转化，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
分式乘除混合运算的核心思路是：①先将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；②对分子、分母中的多项式进行因式分解，涉及的因式分解方法有平方差公式、完全平方公式，另外注意互为相反数的偶次幂相等，即$(n-m)^2=(m-n)^2$；③约去分子分母的公因式，最终得到最简分式。
针对第(1)题，先把除法转乘法，再分别对$x^2-y^2$用平方差分解、$x^2+4xy+4y^2$用完全平方公式分解，再约分即可；针对第(2)题，先把除法转乘法，对$m^2-n^2$用平方差分解，将$(n-m)^2$转化为$(m-n)^2$，再约分即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2 + 4xy + 4y^2}{x^2 - y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}\\&=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}\\&=-\dfrac{x-y}{x+y}\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，利用$(n-m)^2=(m-n)^2$变形，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&=\dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&=\dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x-y}{x+y}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
这是分式乘除混合运算的常规题型，解题的关键是先统一运算为乘法，再对多项式正确因式分解后约分，计算时要注意符号、以及互为相反数的偶次幂的转化，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
举一反三 计算：
$\frac{a - 1}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \frac{1}{a^2 - 1}$
典例解析
$\frac{a - 1}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \frac{1}{a^2 - 1}$
典例解析
答案
$=\frac{a-1}{a-2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)·(a-1)$
$=(a+2)(a+1)$
$=a^2+3a+2.$
$=(a+2)(a+1)$
$=a^2+3a+2.$
解析
【分析】
这是分式的乘除混合运算题，解题思路如下：1. 先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，统一为乘法后更方便约分计算；2. 对式子中出现的多项式逐一进行因式分解：平方差形式的$a^2-4$、$a^2-1$利用平方差公式分解，完全平方形式的$a^2-2a+1$利用完全平方公式分解，分解后才能找到分子分母的公因式；3. 将分子、分母中相同的公因式约去，再把剩余的因式相乘，最后化简得到结果即可。
【解析】
解：原式=$\frac{a - 1}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} · (a^2 - 1)$
对各多项式因式分解：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$，$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$，$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
代入原式得：
$\frac{a-1}{a-2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a-2$、$a-1$，得：
$(a+2)(a+1)$
展开计算得：
$a^2+3a+2$
【答案】
$a^2+3a+2$
【知识点】
1. 分式乘除运算
2. 因式分解
3. 整式乘法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式运算规则和因式分解的应用，解题时要注意先把除法转化为乘法，因式分解要准确，约分要彻底，最后结果需化为最简整式或分式。
【难度系数】
0.8
这是分式的乘除混合运算题，解题思路如下：1. 先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，统一为乘法后更方便约分计算；2. 对式子中出现的多项式逐一进行因式分解：平方差形式的$a^2-4$、$a^2-1$利用平方差公式分解，完全平方形式的$a^2-2a+1$利用完全平方公式分解，分解后才能找到分子分母的公因式；3. 将分子、分母中相同的公因式约去，再把剩余的因式相乘，最后化简得到结果即可。
【解析】
解：原式=$\frac{a - 1}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} · (a^2 - 1)$
对各多项式因式分解：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$，$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$，$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
代入原式得：
$\frac{a-1}{a-2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a-2$、$a-1$，得：
$(a+2)(a+1)$
展开计算得：
$a^2+3a+2$
【答案】
$a^2+3a+2$
【知识点】
1. 分式乘除运算
2. 因式分解
3. 整式乘法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式运算规则和因式分解的应用，解题时要注意先把除法转化为乘法，因式分解要准确，约分要彻底，最后结果需化为最简整式或分式。
【难度系数】
0.8
典例1
解 (1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+y}.$
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}.$
解 (1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+y}.$
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}.$
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}-\frac{x-y}{x+2y} ÷ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \frac{x-y}{x+2y}&= -\frac{x-y}{x+2y} · \frac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \frac{x-y}{x+2y} \\&= -\frac{x-y}{x+y}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \frac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \frac{m+n}{m}&= \frac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \frac{m}{m+n} \\&= \frac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}-\frac{x-y}{x+2y} ÷ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \frac{x-y}{x+2y}&= -\frac{x-y}{x+2y} · \frac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \frac{x-y}{x+2y} \\&= -\frac{x-y}{x+y}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \frac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \frac{m+n}{m}&= \frac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \frac{m}{m+n} \\&= \frac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
解析
【分析】
分式乘除混合运算的解题思路遵循以下步骤：1. 统一运算：将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以该分式的倒数），整理为连乘形式；2. 因式分解：把每个分式的分子、分母中能分解的多项式用乘法公式分解，同时注意互为相反数的偶次幂相等（如$(n-m)^2=(m-n)^2$）；3. 约分：约掉分子和分母的所有公因式；4. 整理结果：将剩余的分子、分母分别相乘，得到最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
$-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2 + 4xy + 4y^2}{x^2 - y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
用公式因式分解：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$= -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
约去分子分母的公因式：分子的$(x+2y)^2$和分母的两个$x+2y$抵消，分子的1个$x-y$和分母的1个$x-y$抵消，整理得：
$= -\dfrac{x-y}{x+y}$
(2) 先将除法转化为乘法：
$\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}$
因式分解并转化符号：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，$(n-m)^2=(m-n)^2$，代入得：
$= \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}$
约去分子分母的公因式：分子的$m+n$和分母的$m+n$抵消，分子的$(m-n)^2$和分母的1个$(m-n)^2$抵消，分子的$m$和分母的$m^2$约去后剩1个$m$在分母，整理得：
$= \dfrac{m-n}{mn^2}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x-y}{x+y}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除混合运算的常规题型，解题时要注意除法转化为乘法时需乘原分式的倒数，熟练运用乘法公式因式分解是顺利约分的前提，约分要彻底，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
分式乘除混合运算的解题思路遵循以下步骤：1. 统一运算：将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以该分式的倒数），整理为连乘形式；2. 因式分解：把每个分式的分子、分母中能分解的多项式用乘法公式分解，同时注意互为相反数的偶次幂相等（如$(n-m)^2=(m-n)^2$）；3. 约分：约掉分子和分母的所有公因式；4. 整理结果：将剩余的分子、分母分别相乘，得到最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
$-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2 + 4xy + 4y^2}{x^2 - y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
用公式因式分解：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$= -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
约去分子分母的公因式：分子的$(x+2y)^2$和分母的两个$x+2y$抵消，分子的1个$x-y$和分母的1个$x-y$抵消，整理得：
$= -\dfrac{x-y}{x+y}$
(2) 先将除法转化为乘法：
$\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}$
因式分解并转化符号：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，$(n-m)^2=(m-n)^2$，代入得：
$= \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}$
约去分子分母的公因式：分子的$m+n$和分母的$m+n$抵消，分子的$(m-n)^2$和分母的1个$(m-n)^2$抵消，分子的$m$和分母的$m^2$约去后剩1个$m$在分母，整理得：
$= \dfrac{m-n}{mn^2}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x-y}{x+y}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除混合运算的常规题型，解题时要注意除法转化为乘法时需乘原分式的倒数，熟练运用乘法公式因式分解是顺利约分的前提，约分要彻底，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
典例2 计算：
(1) $(\dfrac{a^2 b}{c^2})^3 · (\dfrac{-c^2}{a^2 b}) ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(2) $\dfrac{a - b}{a} · (\dfrac{b}{b - a})^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2}$。
规律方法 在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先进行因式分解，再约分。
举一反三 计算：
(1) $(\dfrac{a^2 b}{-c})^2 · (\dfrac{c^2}{-ab})^3 ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(2) $\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} · (\dfrac{m + 1}{m - 1})^2$。
(1) $(\dfrac{a^2 b}{c^2})^3 · (\dfrac{-c^2}{a^2 b}) ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(2) $\dfrac{a - b}{a} · (\dfrac{b}{b - a})^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2}$。
规律方法 在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先进行因式分解，再约分。
举一反三 计算：
(1) $(\dfrac{a^2 b}{-c})^2 · (\dfrac{c^2}{-ab})^3 ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(2) $\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} · (\dfrac{m + 1}{m - 1})^2$。
答案
典例2
(1) $( \dfrac{a^2 b}{c^2} )^3 · ( \dfrac{-c^2}{a^2 b} ) ÷ ( \dfrac{bc}{a} )^4 = -\dfrac{a^6 b^3}{c^6} · \dfrac{c^2}{a^2 b} · \dfrac{a^4}{b^4 c^4} = -\dfrac{a^{10} b^3 c^2}{a^2 b^5 c^{10}} = -\dfrac{a^8}{b^2 c^8}.$
(2) $\dfrac{a - b}{a} · ( \dfrac{b}{b - a} )^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{a - b}{a} · \dfrac{b^2}{(a - b)^2} · \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a}{a - b}.$
举一反三
(1) 原式$=\dfrac{a^4 b^2}{c^2} · \dfrac{c^6}{(-a)^3 b^3} · \dfrac{a^4}{b^4 c^4} = -\dfrac{a^5}{b^5}.$
(2) 原式$=\dfrac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{-m}{m+1} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = -\dfrac{m+1}{m-1}.$
(1) $( \dfrac{a^2 b}{c^2} )^3 · ( \dfrac{-c^2}{a^2 b} ) ÷ ( \dfrac{bc}{a} )^4 = -\dfrac{a^6 b^3}{c^6} · \dfrac{c^2}{a^2 b} · \dfrac{a^4}{b^4 c^4} = -\dfrac{a^{10} b^3 c^2}{a^2 b^5 c^{10}} = -\dfrac{a^8}{b^2 c^8}.$
(2) $\dfrac{a - b}{a} · ( \dfrac{b}{b - a} )^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{a - b}{a} · \dfrac{b^2}{(a - b)^2} · \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a}{a - b}.$
举一反三
(1) 原式$=\dfrac{a^4 b^2}{c^2} · \dfrac{c^6}{(-a)^3 b^3} · \dfrac{a^4}{b^4 c^4} = -\dfrac{a^5}{b^5}.$
(2) 原式$=\dfrac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{-m}{m+1} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = -\dfrac{m+1}{m-1}.$
解析
【分析】
这是分式乘方、乘除混合运算题，解题思路如下：1. 先算乘方：根据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，注意负号的乘方符号规律（偶次幂为正，奇次幂为负）；2. 统一运算：把所有除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；3. 因式分解：若分子或分母含有多项式，先因式分解，例如将$m^2-1$分解为$(m+1)(m-1)$，将$b-a$变形为$-(a-b)$，方便后续约分；4. 约分化简：将分子、分母的公因式全部约去，最终得到最简分式，全程注意符号运算避免出错。
【解析】
典例2
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{a^6 b^3}{c^6}) · (\frac{-c^2}{a^2 b}) ÷ \frac{b^4 c^4}{a^4}\\&=-\frac{a^6 b^3}{c^6} · \frac{c^2}{a^2 b} · \frac{a^4}{b^4 c^4}\\&=-\frac{a^{6+4-2} b^{3-1-4} c^{2-6-4}}{1}\\&=-\frac{a^8}{b^2 c^8}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用$(b-a)^2=(a-b)^2$变形后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a-b}{a} · \frac{b^2}{(a-b)^2} · \frac{a^2}{b^2}\\&=\frac{a}{a-b}\end{aligned}$
举一反三
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^4 b^2}{c^2} · \frac{c^6}{-a^3 b^3} · \frac{a^4}{b^4 c^4}\\&=-\frac{a^{4-3+4} b^{2-3-4} c^{2-6+4}}{1}\\&=-\frac{a^5}{b^5}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解，再计算乘方、将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} ÷ \frac{m}{m-1} · \frac{(m+1)^2}{(m-1)^2}\\&=\frac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \frac{m-1}{m} · \frac{(m+1)^2}{(m-1)^2}\\&=-\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
典例2：(1) $\boldsymbol{-\dfrac{a^8}{b^2 c^8}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a}{a-b}}$
举一反三：(1) $\boldsymbol{-\dfrac{a^5}{b^5}}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{m+1}{m-1}}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除混合运算，因式分解约分
【点评】
这类题核心考察分式混合运算的运算顺序和约分技巧，运算时要牢记“先乘方、再乘除”的顺序，符号运算和多项式因式分解是高频易错点，熟练掌握公因式的寻找方法就能快速准确解题。
【难度系数】
0.65
这是分式乘方、乘除混合运算题，解题思路如下：1. 先算乘方：根据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，注意负号的乘方符号规律（偶次幂为正，奇次幂为负）；2. 统一运算：把所有除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；3. 因式分解：若分子或分母含有多项式，先因式分解，例如将$m^2-1$分解为$(m+1)(m-1)$，将$b-a$变形为$-(a-b)$，方便后续约分；4. 约分化简：将分子、分母的公因式全部约去，最终得到最简分式，全程注意符号运算避免出错。
【解析】
典例2
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{a^6 b^3}{c^6}) · (\frac{-c^2}{a^2 b}) ÷ \frac{b^4 c^4}{a^4}\\&=-\frac{a^6 b^3}{c^6} · \frac{c^2}{a^2 b} · \frac{a^4}{b^4 c^4}\\&=-\frac{a^{6+4-2} b^{3-1-4} c^{2-6-4}}{1}\\&=-\frac{a^8}{b^2 c^8}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用$(b-a)^2=(a-b)^2$变形后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a-b}{a} · \frac{b^2}{(a-b)^2} · \frac{a^2}{b^2}\\&=\frac{a}{a-b}\end{aligned}$
举一反三
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^4 b^2}{c^2} · \frac{c^6}{-a^3 b^3} · \frac{a^4}{b^4 c^4}\\&=-\frac{a^{4-3+4} b^{2-3-4} c^{2-6+4}}{1}\\&=-\frac{a^5}{b^5}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解，再计算乘方、将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} ÷ \frac{m}{m-1} · \frac{(m+1)^2}{(m-1)^2}\\&=\frac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \frac{m-1}{m} · \frac{(m+1)^2}{(m-1)^2}\\&=-\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
典例2：(1) $\boldsymbol{-\dfrac{a^8}{b^2 c^8}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a}{a-b}}$
举一反三：(1) $\boldsymbol{-\dfrac{a^5}{b^5}}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{m+1}{m-1}}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除混合运算，因式分解约分
【点评】
这类题核心考察分式混合运算的运算顺序和约分技巧，运算时要牢记“先乘方、再乘除”的顺序，符号运算和多项式因式分解是高频易错点，熟练掌握公因式的寻找方法就能快速准确解题。
【难度系数】
0.65
