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典例3 甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)m$，乙工程队每天修$(a - 2)^2 m$（其中$a＞10$），则甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍？
典例解析
典例解析
答案
解 甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2 -4}$天，乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天，
根据题意，得$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}.$
所以，甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用的时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
根据题意，得$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}.$
所以，甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用的时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
解析
【分析】
解决本题首先要明确工程问题的基本关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步，根据甲、乙两队的工作效率和对应工作量，分别求出两队的施工时间；第二步，求甲所用时间是乙的多少倍，只需用甲的时间除以乙的时间；第三步，计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分，即可得到化简结果，题中给出a＞10，可保证所有分式分母不为0，运算均有意义。
【解析】
甲工程队修900m所用时间为：$\frac{900}{a^2 -4}$天
乙工程队修600m所用时间为：$\frac{600}{(a-2)^2}$天
求倍数关系列式计算如下：
$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}$
【答案】
甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
【知识点】
工程问题公式，分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的实际应用题，解题关键是正确梳理数量关系列出分式，运算时先因式分解再约分，能大幅降低计算出错概率，是分式章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确工程问题的基本关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步，根据甲、乙两队的工作效率和对应工作量，分别求出两队的施工时间；第二步，求甲所用时间是乙的多少倍，只需用甲的时间除以乙的时间；第三步，计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分，即可得到化简结果，题中给出a＞10，可保证所有分式分母不为0，运算均有意义。
【解析】
甲工程队修900m所用时间为：$\frac{900}{a^2 -4}$天
乙工程队修600m所用时间为：$\frac{600}{(a-2)^2}$天
求倍数关系列式计算如下：
$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}$
【答案】
甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
【知识点】
工程问题公式，分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的实际应用题，解题关键是正确梳理数量关系列出分式，运算时先因式分解再约分，能大幅降低计算出错概率，是分式章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
举一反三 有甲、乙两筐水果，甲筐水果重$(x-3)^2$kg，乙筐水果重$(x^2 -9)$kg(其中$x＞3$)，若两筐水果都卖了50元，则甲筐水果的单价是乙筐水果单价的多少倍？
典例3
解 甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2 -4}$天，乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天，
根据题意，得$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}.$
所以，甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用的时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
典例3
解 甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2 -4}$天，乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天，
根据题意，得$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}.$
所以，甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用的时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
答案
解 根据题意,得
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}.$
所以,甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}.$
所以,甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确解题思路：①先根据“单价=总价÷质量”，分别表示出甲、乙两筐水果的单价；②求甲筐单价是乙筐单价的几倍，用甲单价除以乙单价即可；③计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对$x^2-9$用平方差公式因式分解，最后约去公因式得到化简结果。
【解析】
根据单价=总价÷质量，可得：
甲筐水果的单价为$\frac{50}{(x-3)^2}$元/千克，乙筐水果的单价为$\frac{50}{x^2-9}$元/千克。
求甲单价是乙单价的倍数，列式为：
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
【知识点】
分式的除法运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的应用，核心是先根据数量关系正确列出分式，再通过因式分解、约分完成化简，侧重对基础运算能力和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先明确解题思路：①先根据“单价=总价÷质量”，分别表示出甲、乙两筐水果的单价；②求甲筐单价是乙筐单价的几倍，用甲单价除以乙单价即可；③计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对$x^2-9$用平方差公式因式分解，最后约去公因式得到化简结果。
【解析】
根据单价=总价÷质量，可得：
甲筐水果的单价为$\frac{50}{(x-3)^2}$元/千克，乙筐水果的单价为$\frac{50}{x^2-9}$元/千克。
求甲单价是乙单价的倍数，列式为：
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
【知识点】
分式的除法运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的应用，核心是先根据数量关系正确列出分式，再通过因式分解、约分完成化简，侧重对基础运算能力和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
