典例1 计算:(1)$\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x}$；(2)$\frac{a^2+5a+6}{2a+6}$ $\frac{a^2+2a-8}{a^2-4}$.
温馨提示 (1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,再约去公因式,化为最简分式或整式;若分子、分母中有多项式,则先对分子、分母因式分解,看能否约分,再进行乘法运算.
(2)当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变.
(3)分式乘法的运算结果应化为最简分式或整式.

1. $\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x} = -\frac{24x^2y}{36xy^2} = -\frac{2x}{3y}.$
2. $\frac{a^2 +5a +6}{2a +6} · \frac{a^2 +2a -8}{a^2 -4} = \frac{(a+2)(a+3)}{2(a+3)} · \frac{(a+4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a+4}{2}.$

【分析】
这两道题属于分式乘法运算，解题思路如下：①第(1)题的分子、分母都是单项式，遵循分式乘法规则，先将分子、分母分别相乘，再约去分子分母的公因式，同时注意负号的处理，最终化简为最简分式即可；②第(2)题的分子、分母含有多项式，首先对所有多项式进行因式分解，再找出分子分母的公因式先约分，最后进行乘法运算，得到最简结果。
【解析】
(1) 计算$\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x}$：
先将分子、分母分别相乘：
$\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x} = \frac{8x^2·3y}{9y^2·(-4x)} = -\frac{24x^2y}{36xy^2}$
再约去分子分母的公因式$12xy$：
$-\frac{24x^2y ÷ 12xy}{36xy^2 ÷ 12xy} = -\frac{2x}{3y}$
(2) 计算$\frac{a^2+5a+6}{2a+6} · \frac{a^2+2a-8}{a^2-4}$：
先对各多项式因式分解：
$a^2+5a+6=(a+2)(a+3)$，$2a+6=2(a+3)$，$a^2+2a-8=(a+4)(a-2)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
代入原式约分计算：
$\frac{(a+2)(a+3)}{2(a+3)} · \frac{(a+4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a+4}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{2x}{3y}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{a+4}{2}}$
【知识点】
分式乘法运算，因式分解，约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础题型，解题时需先观察分子分母的形式：单项式形式可先相乘再约分，含多项式的要先因式分解再约分，运算过程要注意符号处理，最终结果需化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.8

举一反三 计算：
(1)$\frac{3x^2}{2y^3} · \frac{4y}{6x^3}$；
(2)$\frac{(2a-3)^2}{a+3} · \frac{a^2+6a+9}{3-2a}$。
2. 分式的除法

1. 原式=$\frac{12x^2y}{12x^3y^3}=\frac{1}{xy^2}.$
2. 原式=$\frac{(2a-3)^2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{-(2a-3)}=-(2a-3)(a+3)=-2a^2-3a+9.$

【分析】
这两道题均为分式乘法运算，解题思路清晰可循：
(1) 单项式构成的分式乘法：先遵循“分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母”的法则计算乘积，再分别找出分子分母的系数公因式、同底数幂公因式，约分后得到最简分式即可。
(2) 含多项式的分式乘法：第一步先对可因式分解的多项式变形，本题中$a^2+6a+9$是完全平方式，可分解为$(a+3)^2$；再处理互为相反数的因式：$3-2a$和$2a-3$互为相反数，将$3-2a$改写为$-(2a-3)$统一因式形式，之后再约分，最后展开剩余整式的乘积得到最终结果。
【解析】
(1) 按照分式乘法法则计算乘积：
原式$=\frac{3x^2 · 4y}{2y^3 · 6x^3}=\frac{12x^2y}{12x^3y^3}$
对分子分母约去公因式$12x^2y$：
$=\frac{12x^2y ÷ 12x^2y}{12x^3y^3 ÷ 12x^2y}=\frac{1}{xy^2}$
(2) 先因式分解、统一符号：
$a^2+6a+9=(a+3)^2$，$3-2a=-(2a-3)$，代入原式得：
原式$=\frac{(2a-3)^2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{-(2a-3)}$
约去公因式$(a+3)$和$(2a-3)$：
$=-(2a-3)(a+3)$
展开整式乘法并整理：
$=-(2a^2+6a-3a-9)=-2a^2-3a+9$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1}{xy^2}}$；(2) $\boxed{-2a^2-3a+9}$
【知识点】
分式乘法运算，因式分解，分式约分
【点评】
这两道是分式乘法的典型基础题，既考查了单项式分式的约分计算能力，也考查了含多项式分式的因式分解、符号处理能力，解题时需注意互为相反数的因式变形时不要漏写负号，约分要彻底。
【难度系数】
0.7

典例2 计算：
(1)$\dfrac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \dfrac{-8ab^2}{35m^2}$；
(2)$(xy - x^2) ÷ \dfrac{x - y}{xy}$。
温馨提示 (1)分式的除法需转化为乘法，转化是“一变一倒”的过程，即除号变为乘号，除式的分子与分母颠倒位置。
(2)当除式是整式时，可以将分母看成1后再进行运算。
(3)分式的除法的运算结果应化为最简分式或整式。

1. $\frac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2} = \frac{4a^2b^2}{15m^3} · (-\frac{35m^2}{8ab^2}) = -\frac{7a}{6m}.$
2. $(xy -x^2) ÷ \frac{x - y}{xy} = x(y -x) · \frac{xy}{x - y} = \frac{x^2y(y -x)}{x - y} = -x^2y.$

【分析】
这两道题均考查分式的除法运算，解题思路如下：①先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除号变乘号，除式的分子、分母颠倒位置，若被除式是整式，可先对整式因式分解，方便后续约分；②对转化后的乘法运算，先找分子、分母的公因式，包括系数的最大公约数、相同字母的最低次幂、互为相反数的因式，进行约分；③最后将约分后的结果整理为最简分式或整式，注意运算过程中符号的处理。
【解析】
(1) 先将分式除法转化为乘法，再约分计算：
$\dfrac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \dfrac{-8ab^2}{35m^2} = \dfrac{4a^2b^2}{15m^3} · (-\dfrac{35m^2}{8ab^2})$
系数部分：$\dfrac{4×(-35)}{15×8}=-\dfrac{140}{120}=-\dfrac{7}{6}$
字母部分：$\dfrac{a^2}{a}=a$，$\dfrac{b^2}{b^2}=1$，$\dfrac{m^2}{m^3}=\dfrac{1}{m}$
合并得结果：$-\dfrac{7a}{6m}$
(2) 先对被除式因式分解，再转化为乘法计算：
$(xy - x^2) ÷ \dfrac{x - y}{xy} = x(y-x) · \dfrac{xy}{x - y}$
注意$y-x=-(x-y)$，代入后约去公因式$x-y$：
$=x·[-(x-y)]·\dfrac{xy}{x-y}=-x·xy=-x^2y$
【答案】
(1) $-\dfrac{7a}{6m}$；(2) $-x^2y$
【知识点】
分式的除法运算；提公因式法因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式除法“变除为乘”的转化规则，计算时要注意两点：一是互为相反数的因式约分时需添加负号，二是最终结果必须化为最简形式，避免出现符号错误或未约分的问题。
【难度系数】
0.8

举一反三 计算：
(1) $\frac{ab^2}{2c^2} ÷ \frac{-3a^2b}{4c}$；
(2) $\frac{a^2 -1}{a^2 +4a +4} ÷ \frac{a+1}{a+2}$。

1. 原式=$\frac{ab^2}{2c^2} · (-\frac{4c}{3a^2b})=-\frac{2b}{3ac}.$
2. 原式=$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1}=\frac{a-1}{a+2}.$

【分析】
解决分式除法运算题的核心思路是遵循分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，再通过约分得到最简结果。具体思考步骤：①先将除法运算转化为乘法运算，同时注意符号变化；②若分子、分母是单项式，直接约分：系数约去最大公因数，相同字母约去最低次幂；若分子、分母是多项式，先对多项式因式分解，再找公因式约分，最终得到最简分式。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，将除法转化为乘法：
原式$=\frac{ab^2}{2c^2} · (-\frac{4c}{3a^2b})$
约分计算：系数部分$\frac{1×(-4)}{2×3}=-\frac{2}{3}$，字母部分约去公因式$abc$，可得结果为$-\frac{2b}{3ac}$。
(2) 先对多项式因式分解：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2+4a+4=(a+2)^2$，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1}$
约去公因式$(a+1)$和$(a+2)$，可得结果为$\frac{a-1}{a+2}$。
【答案】
(1) $-\frac{2b}{3ac}$；(2) $\frac{a-1}{a+2}$
【知识点】
分式的除法运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式除法转乘法的规则，计算时要注意符号的处理，遇到多项式先因式分解再约分可以简化运算过程，熟练掌握后能快速准确求解。
【难度系数】
0.8