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1.观察一组数3,5,7,…,则第n个数可以表示为(
A.$2(n-1)$
B.$2n-1$
C.$2(n+1)$
D.$2n+1$
D
)。A.$2(n-1)$
B.$2n-1$
C.$2(n+1)$
D.$2n+1$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，解题可从两个思路入手：一是先观察数列特征，发现相邻两个数的差恒为2，再结合首项数值推导第n项的表达式；二是采用特殊值代入法，将n=1、n=2等小数值代入各个选项，排除不符合的选项，快速得到正确答案。
【解析】
方法一：推导法
观察数列3，5，7，…，可知相邻两个数的差都是2，
当n=1时，第1个数是$3=2×1+1$；
当n=2时，第2个数是$5=2×2+1$；
当n=3时，第3个数是$7=2×3+1$；
……
以此类推，第n个数为$2n+1$。
方法二：排除法
将$n=1$（对应第1个数3）代入各选项验证：
A选项：$2×(1-1)=0≠3$，排除；
B选项：$2×1-1=1≠3$，排除；
C选项：$2×(1+1)=4≠3$，排除；
D选项：$2×1+1=3$，符合规律；再验证$n=2$时，$2×2+1=5$，$n=3$时$2×3+1=7$，均和数列对应项一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，既可以通过归纳前几项的共性推导通用表达式，也可以用特殊值代入法快速排除错误选项，方法灵活，重点考查学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.9
这是一道数字规律探究题，解题可从两个思路入手：一是先观察数列特征，发现相邻两个数的差恒为2，再结合首项数值推导第n项的表达式；二是采用特殊值代入法，将n=1、n=2等小数值代入各个选项，排除不符合的选项，快速得到正确答案。
【解析】
方法一：推导法
观察数列3，5，7，…，可知相邻两个数的差都是2，
当n=1时，第1个数是$3=2×1+1$；
当n=2时，第2个数是$5=2×2+1$；
当n=3时，第3个数是$7=2×3+1$；
……
以此类推，第n个数为$2n+1$。
方法二：排除法
将$n=1$（对应第1个数3）代入各选项验证：
A选项：$2×(1-1)=0≠3$，排除；
B选项：$2×1-1=1≠3$，排除；
C选项：$2×(1+1)=4≠3$，排除；
D选项：$2×1+1=3$，符合规律；再验证$n=2$时，$2×2+1=5$，$n=3$时$2×3+1=7$，均和数列对应项一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，既可以通过归纳前几项的共性推导通用表达式，也可以用特殊值代入法快速排除错误选项，方法灵活，重点考查学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.9
2.一个由小菱形“◇”组成的装饰链，断去了一部分，剩下的部分如图所示，则断去部分的小菱形“◇”的个数可能是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题首先要观察装饰链的图形规律：该图案为周期性重复结构，每新增一个完整的十字形图案，新增3个小菱形，即重复单元为3个小菱形。再观察剩余部分的两端特征：左侧剩余的末尾是朝右的横向菱形，右侧剩余的开头是朝左的横向菱形，由此可推出断去部分的小菱形个数符合“3的整数倍加2”的形式，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 归纳图形规律：观察给出的完整图案片段可知，每个十字形基础图案含4个小菱形，相邻两个十字形共用1个横向菱形，因此每增加1个十字形仅新增3个小菱形，图案以3个小菱形为1个重复单元循环。
2. 推导缺失部分的数量特征：左侧剩余部分的末尾为向右的横向菱形，右侧剩余部分的开头为向左的横向菱形，因此断去部分的小菱形个数可表示为$3k + 2$（$k$为非负整数）。
3. 匹配选项：当$k=1$时，$3×1+2=5$，仅选项C符合该形式，其余选项均无法表示为$3k+2$的形式。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，整式表示规律
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，侧重考查观察、归纳和推理能力，解题的核心是准确找到图形的重复周期，再结合剩余图形的端点特征缩小答案范围，难度不大但需要细心观察图形特征。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要观察装饰链的图形规律：该图案为周期性重复结构，每新增一个完整的十字形图案，新增3个小菱形，即重复单元为3个小菱形。再观察剩余部分的两端特征：左侧剩余的末尾是朝右的横向菱形，右侧剩余的开头是朝左的横向菱形，由此可推出断去部分的小菱形个数符合“3的整数倍加2”的形式，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 归纳图形规律：观察给出的完整图案片段可知，每个十字形基础图案含4个小菱形，相邻两个十字形共用1个横向菱形，因此每增加1个十字形仅新增3个小菱形，图案以3个小菱形为1个重复单元循环。
2. 推导缺失部分的数量特征：左侧剩余部分的末尾为向右的横向菱形，右侧剩余部分的开头为向左的横向菱形，因此断去部分的小菱形个数可表示为$3k + 2$（$k$为非负整数）。
3. 匹配选项：当$k=1$时，$3×1+2=5$，仅选项C符合该形式，其余选项均无法表示为$3k+2$的形式。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，整式表示规律
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，侧重考查观察、归纳和推理能力，解题的核心是准确找到图形的重复周期，再结合剩余图形的端点特征缩小答案范围，难度不大但需要细心观察图形特征。
【难度系数】
0.7
3.观察下列图形，则第$n$个图形中三角形的个数是（
A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
D
）。A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
答案
3.D
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先从统计已知的前几个图形中三角形的个数入手，再对比图形序号和对应三角形个数的数量关系，总结出通用规律后对应选项判断即可。
【解析】
先分别统计前3个图形中三角形的个数：
1. 第1个图形：三角形的个数为4，可写为$4×1=4$；
2. 第2个图形：三角形的个数为8，可写为$4×2=8$；
3. 第3个图形：三角形的个数为12，可写为$4×3=12$。
观察规律可得，第$n$个图形中三角形的个数是序号$n$的4倍，即$4n$。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，通过列举前几项的数量归纳通项公式即可求解，重点考查观察、归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律题，首先从统计已知的前几个图形中三角形的个数入手，再对比图形序号和对应三角形个数的数量关系，总结出通用规律后对应选项判断即可。
【解析】
先分别统计前3个图形中三角形的个数：
1. 第1个图形：三角形的个数为4，可写为$4×1=4$；
2. 第2个图形：三角形的个数为8，可写为$4×2=8$；
3. 第3个图形：三角形的个数为12，可写为$4×3=12$。
观察规律可得，第$n$个图形中三角形的个数是序号$n$的4倍，即$4n$。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，通过列举前几项的数量归纳通项公式即可求解，重点考查观察、归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
4.用计算机设计一个计算程序,输入和输出的数据如下表。
那么当输入的数据是8时,输出的数据是(
A.$\frac{8}{61}$
B.$\frac{8}{63}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{8}{65}$
那么当输入的数据是8时,输出的数据是(
D
)。A.$\frac{8}{61}$
B.$\frac{8}{63}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{8}{65}$
答案
4.D
解析
【分析】
我们可以分别观察输出数据的分子、分母和输入数据的对应关系来总结规律：首先看分子，输入1时分子是1，输入2时分子是2，可知分子和输入的数相等；再看分母，输入1时分母是2，输入2时分母是5，输入3时分母是10，将分母和输入数的平方对比，可发现分母恰好是输入数的平方加1，得到通用规律后，把输入值8代入规律计算即可得到结果。
【解析】
设输入的数据为$n$，观察表格数据可得：
1. 分子规律：输出数据的分子与输入的$n$相等，即分子为$n$；
2. 分母规律：当$n=1$时，分母$=1^2+1=2$；$n=2$时，分母$=2^2+1=5$；$n=3$时，分母$=3^2+1=10$；$n=4$时，分母$=4^2+1=17$；$n=5$时，分母$=5^2+1=26$，因此分母的规律为$n^2+1$。
综上，输入$n$时输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入$n=8$时，输出的数据为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是分别分析分子、分母与输入值的数量关系，总结通用表达式后代入计算，重点考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
我们可以分别观察输出数据的分子、分母和输入数据的对应关系来总结规律：首先看分子，输入1时分子是1，输入2时分子是2，可知分子和输入的数相等；再看分母，输入1时分母是2，输入2时分母是5，输入3时分母是10，将分母和输入数的平方对比，可发现分母恰好是输入数的平方加1，得到通用规律后，把输入值8代入规律计算即可得到结果。
【解析】
设输入的数据为$n$，观察表格数据可得：
1. 分子规律：输出数据的分子与输入的$n$相等，即分子为$n$；
2. 分母规律：当$n=1$时，分母$=1^2+1=2$；$n=2$时，分母$=2^2+1=5$；$n=3$时，分母$=3^2+1=10$；$n=4$时，分母$=4^2+1=17$；$n=5$时，分母$=5^2+1=26$，因此分母的规律为$n^2+1$。
综上，输入$n$时输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入$n=8$时，输出的数据为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是分别分析分子、分母与输入值的数量关系，总结通用表达式后代入计算，重点考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
5.如图，在图上任意圈出竖列上相邻的三个数。如果被圈出的三个数的和为54，那么这三个数中最大的一个数表示当月的
25
日。答案
5.25
解析
【分析】
首先观察日历的排列特征，竖列上相邻两个数相差7（每周共7天，下一行的日期比上一行同列的日期多7天）。要计算和为54的三个竖列相邻数中最大的数，我们可以通过设未知数表示三个数，结合和为54的等量关系列方程求解，选择设中间数为未知数可让计算更简便，上下两数的常数项相加时会抵消。
【解析】
解：由日历规律可得，竖列上相邻的两个数相差7。
设这三个竖列相邻数的中间数为$ x $，则较小的数为$ x-7 $，最大的数为$ x+7 $。
根据三个数的和为54，列方程：
$ (x-7)+x+(x+7)=54 $
化简得：$ 3x=54 $
解得：$ x=18 $
则最大的数为$ x+7=18+7=25 $。
【答案】
25
【知识点】
日历数字规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是找到日历竖列数字的差值规律，再结合方程求解，掌握合理设未知数的技巧可简化计算过程。
【难度系数】
0.85
首先观察日历的排列特征，竖列上相邻两个数相差7（每周共7天，下一行的日期比上一行同列的日期多7天）。要计算和为54的三个竖列相邻数中最大的数，我们可以通过设未知数表示三个数，结合和为54的等量关系列方程求解，选择设中间数为未知数可让计算更简便，上下两数的常数项相加时会抵消。
【解析】
解：由日历规律可得，竖列上相邻的两个数相差7。
设这三个竖列相邻数的中间数为$ x $，则较小的数为$ x-7 $，最大的数为$ x+7 $。
根据三个数的和为54，列方程：
$ (x-7)+x+(x+7)=54 $
化简得：$ 3x=54 $
解得：$ x=18 $
则最大的数为$ x+7=18+7=25 $。
【答案】
25
【知识点】
日历数字规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是找到日历竖列数字的差值规律，再结合方程求解，掌握合理设未知数的技巧可简化计算过程。
【难度系数】
0.85
6. 观察下列一组数：$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{6}{7}$，$\frac{8}{9}$，$\frac{10}{11}$，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第$n$个数是
$\frac{2n}{2n+1}$
。答案
6.$\frac{2n}{2n+1}$
解析
【分析】
解决本题需要分别观察分子、分母与数的序号n之间的对应规律。首先将每个数和它的序号（第1个、第2个……第n个）对应，先推导分子的变化规律，再推导分母的变化规律，最后将两个规律组合即可得到第n个数的表达式。
【解析】
我们分别对分子、分母的规律进行分析：
1. 观察分子：第1个数的分子为$2=2×1$，第2个数的分子为$4=2×2$，第3个数的分子为$6=2×3$，第4个数的分子为$8=2×4$……以此类推，第n个数的分子为$2n$；
2. 观察分母：第1个数的分母为$3=2×1+1$，第2个数的分母为$5=2×2+1$，第3个数的分母为$7=2×3+1$，第4个数的分母为$9=2×4+1$……以此类推，第n个数的分母为$2n+1$；
因此这一组数的第n个数为$\frac{2n}{2n+1}$。
【答案】
$\frac{2n}{2n+1}$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题核心是拆分分子、分母分别对应序号找规律，掌握该方法可以快速解决同类型的数列规律问题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要分别观察分子、分母与数的序号n之间的对应规律。首先将每个数和它的序号（第1个、第2个……第n个）对应，先推导分子的变化规律，再推导分母的变化规律，最后将两个规律组合即可得到第n个数的表达式。
【解析】
我们分别对分子、分母的规律进行分析：
1. 观察分子：第1个数的分子为$2=2×1$，第2个数的分子为$4=2×2$，第3个数的分子为$6=2×3$，第4个数的分子为$8=2×4$……以此类推，第n个数的分子为$2n$；
2. 观察分母：第1个数的分母为$3=2×1+1$，第2个数的分母为$5=2×2+1$，第3个数的分母为$7=2×3+1$，第4个数的分母为$9=2×4+1$……以此类推，第n个数的分母为$2n+1$；
因此这一组数的第n个数为$\frac{2n}{2n+1}$。
【答案】
$\frac{2n}{2n+1}$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题核心是拆分分子、分母分别对应序号找规律，掌握该方法可以快速解决同类型的数列规律问题。
【难度系数】
0.8
7.如图,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面,第n个图案中白色瓷砖的块数为
第1个图案 第2个图案 第3个图案 …
$3n+2$
。第1个图案 第2个图案 第3个图案 …
答案
7.$3n+2$
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图案入手，先统计每个图案中白色瓷砖的数量，再观察数量的变化规律：可以发现后一个图案比前一个图案多3块白色瓷砖，符合首项为5、公差为3的数列特征，再根据数列规律推导第n个图案的白色瓷砖数量，最后代入前几个图案验证规律是否正确即可。
【解析】
首先统计前3个图案的白色瓷砖数量：
第1个图案中，白色瓷砖有5块，可写为$3×1 + 2 = 5$；
第2个图案中，白色瓷砖有8块，可写为$3×2 + 2 = 8$；
第3个图案中，白色瓷砖有11块，可写为$3×3 + 2 = 11$；
观察可得：每增加1个图案，白色瓷砖的数量就增加3块，因此第n个图案中白色瓷砖的数量为$3n+2$块。
【答案】
$3n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；规律推导
【点评】
本题是常见的图形类规律探究题，解题核心是先统计前几个图形对应元素的数量，从数量的递增关系中找到通用规律，得出表达式后建议代入前几个图形的数值验证，确保规律正确。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图案入手，先统计每个图案中白色瓷砖的数量，再观察数量的变化规律：可以发现后一个图案比前一个图案多3块白色瓷砖，符合首项为5、公差为3的数列特征，再根据数列规律推导第n个图案的白色瓷砖数量，最后代入前几个图案验证规律是否正确即可。
【解析】
首先统计前3个图案的白色瓷砖数量：
第1个图案中，白色瓷砖有5块，可写为$3×1 + 2 = 5$；
第2个图案中，白色瓷砖有8块，可写为$3×2 + 2 = 8$；
第3个图案中，白色瓷砖有11块，可写为$3×3 + 2 = 11$；
观察可得：每增加1个图案，白色瓷砖的数量就增加3块，因此第n个图案中白色瓷砖的数量为$3n+2$块。
【答案】
$3n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；规律推导
【点评】
本题是常见的图形类规律探究题，解题核心是先统计前几个图形对应元素的数量，从数量的递增关系中找到通用规律，得出表达式后建议代入前几个图形的数值验证，确保规律正确。
【难度系数】
0.7
