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8.将从1开始的自然数按如图所示的规律排列，如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是
2 022
。答案
8.2 022
解析
【分析】
首先观察数阵的排列特征，先找特殊位置的数的规律：观察第一列的数，可发现第n行第1列的数是n的平方；再观察同一行的数的变化规律，同一行的数从左往右依次递减1。要求第45行第4列的数，先求出第45行第1列的数，再向右数3个（每次减1）即可得到结果。
【解析】
步骤1：找第n行第1列的数的规律
观察第一列的数：
第1行第1列：$1=1^2$
第2行第1列：$4=2^2$
第3行第1列：$9=3^2$
第4行第1列：$16=4^2$
……
由此可得规律：第$n$行第1列的数为$n^2$。
步骤2：找同一行的数的变化规律
观察任意一行的数，如第4行：16，15，14，13，可知同一行的数从左到右依次减1，即第$n$行第$m$列的数 = 第$n$行第1列的数 $-(m-1)$。
步骤3：代入计算
第45行第1列的数为$45^2=2025$，
第45行第4列的数为$2025-(4-1)=2025-3=2022$。
【答案】
2022
【知识点】
数字规律探索；有理数乘方运算；有理数减法运算
【点评】
本题是常见的数字排列规律探究题，解题的核心是先找到特殊位置（如每行首列、每列首行）的数字规律，再结合同行/同列的数字变化规律推导所求位置的数，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先观察数阵的排列特征，先找特殊位置的数的规律：观察第一列的数，可发现第n行第1列的数是n的平方；再观察同一行的数的变化规律，同一行的数从左往右依次递减1。要求第45行第4列的数，先求出第45行第1列的数，再向右数3个（每次减1）即可得到结果。
【解析】
步骤1：找第n行第1列的数的规律
观察第一列的数：
第1行第1列：$1=1^2$
第2行第1列：$4=2^2$
第3行第1列：$9=3^2$
第4行第1列：$16=4^2$
……
由此可得规律：第$n$行第1列的数为$n^2$。
步骤2：找同一行的数的变化规律
观察任意一行的数，如第4行：16，15，14，13，可知同一行的数从左到右依次减1，即第$n$行第$m$列的数 = 第$n$行第1列的数 $-(m-1)$。
步骤3：代入计算
第45行第1列的数为$45^2=2025$，
第45行第4列的数为$2025-(4-1)=2025-3=2022$。
【答案】
2022
【知识点】
数字规律探索；有理数乘方运算；有理数减法运算
【点评】
本题是常见的数字排列规律探究题，解题的核心是先找到特殊位置（如每行首列、每列首行）的数字规律，再结合同行/同列的数字变化规律推导所求位置的数，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
9.如图所示的是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A₂比图A₁多出2个“树枝”，图A₃比图A₂多出4个“树枝”，图A₄比图A₃多出8个“树枝”……照此规律，图A₆比图A₂多出的“树枝”个数为（
A.32
B.56
C.60
D.64
C
）。A.32
B.56
C.60
D.64
答案
9.C
解析
【分析】
首先观察题干给出的相邻树形图的树枝数量增量规律：A₂比A₁多2=2¹，A₃比A₂多4=2²，A₄比A₃多8=2³，可归纳得出规律：Aₙ比Aₙ₋₁多出的树枝数为2ⁿ⁻¹。要求A₆比A₂多出的树枝数，本质是求A₃到A₆这四次增量的总和，将对应增量相加即可得到结果。
【解析】
解：根据题意总结增量规律：
图A₃比图A₂多的树枝数：$2^2=4$
图A₄比图A₃多的树枝数：$2^3=8$
图A₅比图A₄多的树枝数：$2^4=16$
图A₆比图A₅多的树枝数：$2^5=32$
因此图A₆比图A₂多的树枝数为这几次增量的和：
$4+8+16+32=60$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；有理数乘方
【点评】
本题重点考查归纳推理能力，解题的核心是先找到相邻图形树枝数量的增量符合2的幂次的规律，再明确所求差值对应的是哪几段增量的和，避免因搞错计算范围而出错。
【难度系数】
0.65
首先观察题干给出的相邻树形图的树枝数量增量规律：A₂比A₁多2=2¹，A₃比A₂多4=2²，A₄比A₃多8=2³，可归纳得出规律：Aₙ比Aₙ₋₁多出的树枝数为2ⁿ⁻¹。要求A₆比A₂多出的树枝数，本质是求A₃到A₆这四次增量的总和，将对应增量相加即可得到结果。
【解析】
解：根据题意总结增量规律：
图A₃比图A₂多的树枝数：$2^2=4$
图A₄比图A₃多的树枝数：$2^3=8$
图A₅比图A₄多的树枝数：$2^4=16$
图A₆比图A₅多的树枝数：$2^5=32$
因此图A₆比图A₂多的树枝数为这几次增量的和：
$4+8+16+32=60$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；有理数乘方
【点评】
本题重点考查归纳推理能力，解题的核心是先找到相邻图形树枝数量的增量符合2的幂次的规律，再明确所求差值对应的是哪几段增量的和，避免因搞错计算范围而出错。
【难度系数】
0.65
10.已知$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,\dots$,则$3^{107}$的末位数字是（
A.1
B.3
C.7
D.9
C
）。A.1
B.3
C.7
D.9
答案
10.C
解析
【分析】
要求$3^{107}$的末位数字，直接计算数值过大不可行，因此先观察已知的3的低次幂的末位数字特征：可以发现末位数字按固定顺序循环出现，我们先确定循环周期，再用指数107除以周期，根据余数就能对应找到$3^{107}$的末位数字。
【解析】
观察已知的3的幂次的末位数字：
$3^1$的末位数字是3，
$3^2$的末位数字是9，
$3^3$的末位数字是7，
$3^4$的末位数字是1，
$3^5$的末位数字是3，
……
可得3的正整数次幂的末位数字按3、9、7、1的顺序循环，周期为4。
计算107除以4的余数：$107÷4=26······3$，即余数为3。
余数为3，对应循环序列中的第3个数字，也就是7，因此$3^{107}$的末位数字是7。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；数字循环规律
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的核心是通过观察低次幂的末位数字找到循环周期，再结合余数判断对应结果，掌握寻找循环规律的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要求$3^{107}$的末位数字，直接计算数值过大不可行，因此先观察已知的3的低次幂的末位数字特征：可以发现末位数字按固定顺序循环出现，我们先确定循环周期，再用指数107除以周期，根据余数就能对应找到$3^{107}$的末位数字。
【解析】
观察已知的3的幂次的末位数字：
$3^1$的末位数字是3，
$3^2$的末位数字是9，
$3^3$的末位数字是7，
$3^4$的末位数字是1，
$3^5$的末位数字是3，
……
可得3的正整数次幂的末位数字按3、9、7、1的顺序循环，周期为4。
计算107除以4的余数：$107÷4=26······3$，即余数为3。
余数为3，对应循环序列中的第3个数字，也就是7，因此$3^{107}$的末位数字是7。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；数字循环规律
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的核心是通过观察低次幂的末位数字找到循环周期，再结合余数判断对应结果，掌握寻找循环规律的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11.按下列2×2的方格中体现出的规律，则x应是（
A.10
B.－2
C.2
D.0
B
）。A.10
B.－2
C.2
D.0
答案
11.B
解析
【分析】
遇到方格数字找规律的问题，我们优先观察方格内数字的和差运算规律，可尝试横向、纵向、对角线的运算关系对比。先分析前三个已知方格：第一个方格四个数为1、3、3、5，计算对角线和：1+5=6，3+3=6，二者相等；验证第二个方格：5+10=15，8+7=15，也满足左上+右下=右上+左下；再验证第三个方格：2+5=7，6+1=7，规律成立。因此我们可以用这个规律求解第四个方格的x。
【解析】
观察总结规律：每个2×2方格中，左上角数字与右下角数字的和等于右上角数字与左下角数字的和。
对第四个方格代入数值列等式：
$6 + 4 = x + 12$
计算得：$10 = x + 12$
解得：$x = 10 - 12 = -2$
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过对已知样本的观察归纳总结出通用运算规律，再代入未知量求解，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
遇到方格数字找规律的问题，我们优先观察方格内数字的和差运算规律，可尝试横向、纵向、对角线的运算关系对比。先分析前三个已知方格：第一个方格四个数为1、3、3、5，计算对角线和：1+5=6，3+3=6，二者相等；验证第二个方格：5+10=15，8+7=15，也满足左上+右下=右上+左下；再验证第三个方格：2+5=7，6+1=7，规律成立。因此我们可以用这个规律求解第四个方格的x。
【解析】
观察总结规律：每个2×2方格中，左上角数字与右下角数字的和等于右上角数字与左下角数字的和。
对第四个方格代入数值列等式：
$6 + 4 = x + 12$
计算得：$10 = x + 12$
解得：$x = 10 - 12 = -2$
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过对已知样本的观察归纳总结出通用运算规律，再代入未知量求解，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
12.观察下列三行数：
第一行:1,−2,3,−4,5,…；
第二行:1,4,9,16,25,…；
第三行:−1,2,7,14,23,…。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第10个数，计算这3个数的和。
第一行:1,−2,3,−4,5,…；
第二行:1,4,9,16,25,…；
第三行:−1,2,7,14,23,…。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第10个数，计算这3个数的和。
答案
12.解:(1)$(-1)^{n+1}n$
(2)第二行数是第一行对应的数的平方,第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+(-10)^2-2=188$。
(2)第二行数是第一行对应的数的平方,第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+(-10)^2-2=188$。
解析
【分析】
(1) 观察第一行数，先看绝对值：依次是1,2,3,4,…，正好是从1开始的连续正整数，第n个数的绝对值就是n；再看符号：奇数位为正，偶数位为负，可用$(-1)^{n+1}$来调节符号，综合就能得到第一行的排列规律。
(2) 对比两行同位置的数：第二行第1个数1是第一行第1个数1的平方，第2个数4是第一行第2个数-2的平方，第3个数9是第一行第3个数3的平方，由此可归纳第二行和第一行的关系；再看第三行，第1个数-1=1²-2，第2个数2=(-2)²-2，第3个数7=3²-2，即可归纳第三行和第一行的关系。
(3) 先根据前面得到的规律，分别求出三行的第10个数，再将三个数相加计算结果即可。
【解析】
(1) 观察第一行数字：绝对值为从1开始的连续正整数，符号为奇数项正、偶数项负，因此第n个数可表示为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）。
(2) 对比同位置的数：
第二行第n个数 = $[(-1)^{n+1}n]^2 = n^2$，即第二行数是第一行对应数的平方；
第三行第n个数 = $n^2 - 2$，即第三行数是第一行对应数的平方减2。
(3) 先求每行第10个数（n=10）：
第一行第10个数：$(-1)^{10+1}×10 = -10$；
第二行第10个数：$(-10)^2 = 100$；
第三行第10个数：$100 - 2 = 98$；
三个数的和为：$-10 + 100 + 98 = 188$。
【答案】
(1) 第一行第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）；
(2) 第二行数是第一行对应数的平方，第三行数是第一行对应数的平方减2；
(3) 188
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类常规题型，重点考查对数字的观察、归纳能力，解题的核心是分别从绝对值、符号两方面分析单组数字的规律，再通过对应位置数字的运算对比找到不同组数字的关联，计算时注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.7
(1) 观察第一行数，先看绝对值：依次是1,2,3,4,…，正好是从1开始的连续正整数，第n个数的绝对值就是n；再看符号：奇数位为正，偶数位为负，可用$(-1)^{n+1}$来调节符号，综合就能得到第一行的排列规律。
(2) 对比两行同位置的数：第二行第1个数1是第一行第1个数1的平方，第2个数4是第一行第2个数-2的平方，第3个数9是第一行第3个数3的平方，由此可归纳第二行和第一行的关系；再看第三行，第1个数-1=1²-2，第2个数2=(-2)²-2，第3个数7=3²-2，即可归纳第三行和第一行的关系。
(3) 先根据前面得到的规律，分别求出三行的第10个数，再将三个数相加计算结果即可。
【解析】
(1) 观察第一行数字：绝对值为从1开始的连续正整数，符号为奇数项正、偶数项负，因此第n个数可表示为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）。
(2) 对比同位置的数：
第二行第n个数 = $[(-1)^{n+1}n]^2 = n^2$，即第二行数是第一行对应数的平方；
第三行第n个数 = $n^2 - 2$，即第三行数是第一行对应数的平方减2。
(3) 先求每行第10个数（n=10）：
第一行第10个数：$(-1)^{10+1}×10 = -10$；
第二行第10个数：$(-10)^2 = 100$；
第三行第10个数：$100 - 2 = 98$；
三个数的和为：$-10 + 100 + 98 = 188$。
【答案】
(1) 第一行第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）；
(2) 第二行数是第一行对应数的平方，第三行数是第一行对应数的平方减2；
(3) 188
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类常规题型，重点考查对数字的观察、归纳能力，解题的核心是分别从绝对值、符号两方面分析单组数字的规律，再通过对应位置数字的运算对比找到不同组数字的关联，计算时注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.7
13.【数学文化】希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”。从中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式，符合这一规律的是（
A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
C
）。A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
答案
13.C
解析
【分析】
解题时首先要明确两类数的规律：①“正方形数”是正整数的平方，如1=1²、4=2²、9=3²等，先判断选项等号左侧的数是否为正方形数；②“三角形数”的排列规律是后一个数比前一个数依次大2、3、4、5……，先列举出常见的三角形数，再验证等号右侧的两个数是否为相邻的三角形数，且和等于左侧的正方形数即可。
【解析】
首先整理两类数的常见值：
正方形数：1、4、9、16、25、36、49……（均为正整数的平方）
三角形数：1、1+2=3、3+3=6、6+4=10、10+5=15、15+6=21、21+7=28……
逐一分析选项：
A. 13不是正整数的平方，不属于正方形数，不符合规律，排除；
B. 25是正方形数，但9、16都不是三角形数，不符合规律，排除；
C. 36是6²，属于正方形数，15和21是相邻的三角形数，且15+21=36，符合规律；
D. 49是正方形数，但18、31都不是三角形数，不符合规律，排除。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究；有理数加法运算
【点评】
本题结合古希腊数学文化考查规律探究问题，需要学生先通过观察归纳出两类数的特征，再逐一验证选项，侧重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两类数的规律：①“正方形数”是正整数的平方，如1=1²、4=2²、9=3²等，先判断选项等号左侧的数是否为正方形数；②“三角形数”的排列规律是后一个数比前一个数依次大2、3、4、5……，先列举出常见的三角形数，再验证等号右侧的两个数是否为相邻的三角形数，且和等于左侧的正方形数即可。
【解析】
首先整理两类数的常见值：
正方形数：1、4、9、16、25、36、49……（均为正整数的平方）
三角形数：1、1+2=3、3+3=6、6+4=10、10+5=15、15+6=21、21+7=28……
逐一分析选项：
A. 13不是正整数的平方，不属于正方形数，不符合规律，排除；
B. 25是正方形数，但9、16都不是三角形数，不符合规律，排除；
C. 36是6²，属于正方形数，15和21是相邻的三角形数，且15+21=36，符合规律；
D. 49是正方形数，但18、31都不是三角形数，不符合规律，排除。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究；有理数加法运算
【点评】
本题结合古希腊数学文化考查规律探究问题，需要学生先通过观察归纳出两类数的特征，再逐一验证选项，侧重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
