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11.试说明不论$x$取何值，代数式$(x^3 +5x^2 +4x -3)-(-x^2 +2x^3 -3x -1)+(4 -7x -6x^2 +x^3)$的值不变。
答案
11.解:因为原式$=x^3+5x^2+4x-3+x^2-2x^3+3x+1+4-7x-6x^2+x^3=(1-2+1)x^3+(5+1-6)x^2+(4+3-7)x+(-3+1+4)=2$，
所以不论$x$取何值，代数式$(x^3+5x^2+4x-3)-(-x^2+2x^3-3x-1)+(4-7x-6x^2+x^3)$的值不变。
所以不论$x$取何值，代数式$(x^3+5x^2+4x-3)-(-x^2+2x^3-3x-1)+(4-7x-6x^2+x^3)$的值不变。
解析
【分析】
要证明代数式的值与x的取值无关，只需对代数式进行化简，若最终化简结果是不含x的常数，就能说明x取任何值都不会影响代数式的大小。解题时先遵循去括号法则去掉所有括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要改变符号），再识别并合并同类项，观察化简后的结果即可得出结论。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=x^3 +5x^2 +4x -3 +x^2 -2x^3 +3x +1 +4 -7x -6x^2 +x^3\\&=(1-2+1)x^3 + (5+1-6)x^2 + (4+3-7)x + (-3+1+4)\\&=0x^3 + 0x^2 + 0x + 2\\&=2\end{aligned}$
化简后结果为常数2，不含字母x。
【答案】
不论x取何值，该代数式的值恒为2，保持不变。
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础应用题型，解题核心是通过去括号、合并同类项将代数式化简，判断化简结果是否含有对应字母即可，运算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
要证明代数式的值与x的取值无关，只需对代数式进行化简，若最终化简结果是不含x的常数，就能说明x取任何值都不会影响代数式的大小。解题时先遵循去括号法则去掉所有括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要改变符号），再识别并合并同类项，观察化简后的结果即可得出结论。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=x^3 +5x^2 +4x -3 +x^2 -2x^3 +3x +1 +4 -7x -6x^2 +x^3\\&=(1-2+1)x^3 + (5+1-6)x^2 + (4+3-7)x + (-3+1+4)\\&=0x^3 + 0x^2 + 0x + 2\\&=2\end{aligned}$
化简后结果为常数2，不含字母x。
【答案】
不论x取何值，该代数式的值恒为2，保持不变。
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础应用题型，解题核心是通过去括号、合并同类项将代数式化简，判断化简结果是否含有对应字母即可，运算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
12.已知关于 $ x,y $ 的多项式 $ 5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + (9xy - 2y^2 - 2mxy^2) + 7x^2] - 1 $。
(1)若该多项式不含三次项，求 $ m $ 的值；
(2)在(1)的条件下，当 $ x^2 + y^2 = 13, xy = -6 $ 时，求该多项式的值。
(1)若该多项式不含三次项，求 $ m $ 的值；
(2)在(1)的条件下，当 $ x^2 + y^2 = 13, xy = -6 $ 时，求该多项式的值。
答案
12.解:(1)原式$=-2x^2-2y^2-12xy+(-2+2m)xy^2-1$。
因为该多项式不含三次项,所以$-2+2m=0$，
解得$m=1$。
(2)原式$=-2x^2-2y^2-12xy-1=-2(x^2+y^2)-12xy-1$。
当$x^2+y^2=13,xy=-6$时，
原式$=-2(x^2+y^2)-12xy-1=-2×13-12×(-6)-1=45$。
因为该多项式不含三次项,所以$-2+2m=0$，
解得$m=1$。
(2)原式$=-2x^2-2y^2-12xy-1=-2(x^2+y^2)-12xy-1$。
当$x^2+y^2=13,xy=-6$时，
原式$=-2(x^2+y^2)-12xy-1=-2×13-12×(-6)-1=45$。
解析
【分析】
(1)求解第一问需先对多项式进行化简：按照整式加减的运算顺序，先去小括号，再去中括号，随后合并同类项。题目说明多项式不含三次项，即三次项的系数为0，找到化简后三次项的系数，令其等于0列方程，即可求出m的值。
(2)求解第二问时，将(1)中求得的m代入化简后的多项式，观察多项式结构，可直接把已知的$x^2+y^2$和$xy$整体代入计算，无需单独求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
(1)对原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + 9xy - 2y^2 - 2mxy^2 + 7x^2] - 1\\&=5x^2 - 2xy^2 - 3xy - 4y^2 - 9xy + 2y^2 + 2mxy^2 - 7x^2 - 1\\&=-2x^2-2y^2-12xy+(-2+2m)xy^2-1\end{aligned}$
∵该多项式不含三次项，三次项为$(-2+2m)xy^2$
∴三次项系数为0，即$-2+2m=0$
解得$m=1$。
(2)把$m=1$代入化简后的多项式得：
$原式=-2x^2-2y^2-12xy-1=-2(x^2+y^2)-12xy-1$
将$x^2+y^2=13,xy=-6$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2×13 -12×(-6) -1\\&=-26+72-1\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1)$m=1$；(2)$45$
【知识点】
整式的加减；多项式的项与次数；整体代入求值
【点评】
本题核心考查整式的加减运算及代数式求值，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，理解“多项式不含某一项则该项系数为0”的规则，第二问运用整体代入思想可有效降低计算量，避免单独求解未知数的繁杂步骤。
【难度系数】
0.7
(1)求解第一问需先对多项式进行化简：按照整式加减的运算顺序，先去小括号，再去中括号，随后合并同类项。题目说明多项式不含三次项，即三次项的系数为0，找到化简后三次项的系数，令其等于0列方程，即可求出m的值。
(2)求解第二问时，将(1)中求得的m代入化简后的多项式，观察多项式结构，可直接把已知的$x^2+y^2$和$xy$整体代入计算，无需单独求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
(1)对原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + 9xy - 2y^2 - 2mxy^2 + 7x^2] - 1\\&=5x^2 - 2xy^2 - 3xy - 4y^2 - 9xy + 2y^2 + 2mxy^2 - 7x^2 - 1\\&=-2x^2-2y^2-12xy+(-2+2m)xy^2-1\end{aligned}$
∵该多项式不含三次项，三次项为$(-2+2m)xy^2$
∴三次项系数为0，即$-2+2m=0$
解得$m=1$。
(2)把$m=1$代入化简后的多项式得：
$原式=-2x^2-2y^2-12xy-1=-2(x^2+y^2)-12xy-1$
将$x^2+y^2=13,xy=-6$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2×13 -12×(-6) -1\\&=-26+72-1\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1)$m=1$；(2)$45$
【知识点】
整式的加减；多项式的项与次数；整体代入求值
【点评】
本题核心考查整式的加减运算及代数式求值，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，理解“多项式不含某一项则该项系数为0”的规则，第二问运用整体代入思想可有效降低计算量，避免单独求解未知数的繁杂步骤。
【难度系数】
0.7
13.由于看错了符号，某学生把一个代数式减$-4a^2 + 2b^2 + 3c^2$误认为加$-4a^2 + 2b^2 + 3c^2$，结果得出的答案是$a^2 - 4b^2 - 2c^2$，求原题的正确答案。
答案
13.解:原代数式$=(a^2-4b^2-2c^2)-(-4a^2+2b^2+3c^2)=a^2-4b^2-2c^2+4a^2-2b^2-3c^2=5a^2-6b^2-5c^2$。
所以原题的正确答案是$(5a^2-6b^2-5c^2)-(-4a^2+2b^2+3c^2)=5a^2-6b^2-5c^2+4a^2-2b^2-3c^2=9a^2-8b^2-8c^2$。
所以原题的正确答案是$(5a^2-6b^2-5c^2)-(-4a^2+2b^2+3c^2)=5a^2-6b^2-5c^2+4a^2-2b^2-3c^2=9a^2-8b^2-8c^2$。
解析
【分析】
解题时首先要还原出原本的代数式：学生误将减法运算当成加法运算，即原代数式 + (-4a²+2b²+3c²) = 错误答案a²-4b²-2c²，因此先用错误答案减去误加的多项式，就能求出原代数式。得到原代数式后，再按照原题要求，用原代数式减去(-4a²+2b²+3c²)，通过去括号、合并同类项即可得到正确结果。
【解析】
第一步：求原代数式
根据错误运算的关系可得：
原代数式 = (a²-4b²-2c²) - (-4a²+2b²+3c²)
去括号得：= a²-4b²-2c²+4a²-2b²-3c²
合并同类项得：= 5a²-6b²-5c²
第二步：计算原题正确答案
原题为原代数式减去(-4a²+2b²+3c²)，代入得：
正确答案 = (5a²-6b²-5c²) - (-4a²+2b²+3c²)
去括号得：=5a²-6b²-5c²+4a²-2b²-3c²
合并同类项得：=9a²-8b²-8c²
【答案】
$9a^2 - 8b^2 - 8c^2$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型逆向应用题，解题核心是先根据错误运算关系还原原始代数式，再按正确运算规则求解，解题过程中需重点注意去括号时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要还原出原本的代数式：学生误将减法运算当成加法运算，即原代数式 + (-4a²+2b²+3c²) = 错误答案a²-4b²-2c²，因此先用错误答案减去误加的多项式，就能求出原代数式。得到原代数式后，再按照原题要求，用原代数式减去(-4a²+2b²+3c²)，通过去括号、合并同类项即可得到正确结果。
【解析】
第一步：求原代数式
根据错误运算的关系可得：
原代数式 = (a²-4b²-2c²) - (-4a²+2b²+3c²)
去括号得：= a²-4b²-2c²+4a²-2b²-3c²
合并同类项得：= 5a²-6b²-5c²
第二步：计算原题正确答案
原题为原代数式减去(-4a²+2b²+3c²)，代入得：
正确答案 = (5a²-6b²-5c²) - (-4a²+2b²+3c²)
去括号得：=5a²-6b²-5c²+4a²-2b²-3c²
合并同类项得：=9a²-8b²-8c²
【答案】
$9a^2 - 8b^2 - 8c^2$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型逆向应用题，解题核心是先根据错误运算关系还原原始代数式，再按正确运算规则求解，解题过程中需重点注意去括号时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
14.【数学应用】有一个长方体形状的物体，它的长、宽、高分别为a，b，c（a＞b＞c）。现有三种不同的捆扎方式（如图所示的虚线），哪种方式用绳最少？哪种方式用绳最多？请说明理由。
答案
14.解:甲种方式用绳最少,丙种方式用绳最多。
理由如下:甲种方式用绳的长为$4a+4b+8c$，
乙种方式用绳的长为$4a+6b+6c$，丙种方式用绳的长为$6a+6b+4c$。
因为$(4a+6b+6c)-(4a+4b+8c)=2b-2c＞0$,所以乙＞甲；
因为$(6a+6b+4c)-(4a+6b+6c)=2a-2c＞0$,所以丙＞乙。
即丙＞乙＞甲。
理由如下:甲种方式用绳的长为$4a+4b+8c$，
乙种方式用绳的长为$4a+6b+6c$，丙种方式用绳的长为$6a+6b+4c$。
因为$(4a+6b+6c)-(4a+4b+8c)=2b-2c＞0$,所以乙＞甲；
因为$(6a+6b+4c)-(4a+6b+6c)=2a-2c＞0$,所以丙＞乙。
即丙＞乙＞甲。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要分别计算三种捆扎方式的绳子总长度：观察三个图形，数出沿长$a$、宽$b$、高$c$三个方向的绳子段数，分别乘以对应棱长后求和，即可得到每种方式绳长的代数式。接下来使用作差法比较三个代数式的大小：两个代数式相减，若差大于0，则被减数更大；若差小于0，则被减数更小，结合已知$a＞b＞c$判断差的正负，就能得出三种绳长的大小关系。
【解析】
第一步：先表示出三种捆扎方式的绳长：
甲方式：沿$a$的绳子共4段，沿$b$的绳子共4段，沿$c$的绳子共8段，总绳长为$4a+4b+8c$；
乙方式：沿$a$的绳子共4段，沿$b$的绳子共6段，沿$c$的绳子共6段，总绳长为$4a+6b+6c$；
丙方式：沿$a$的绳子共6段，沿$b$的绳子共6段，沿$c$的绳子共4段，总绳长为$6a+6b+4c$。
第二步：用作差法比较绳长大小：
1. 比较乙和甲的绳长：
$\begin{aligned}&(4a+6b+6c)-(4a+4b+8c)\\=&4a+6b+6c-4a-4b-8c\\=&2b-2c\end{aligned}$
已知$b＞c$，所以$2b-2c＞0$，可得$\mathrm{乙的绳长}＞\mathrm{甲的绳长}$。
2. 比较丙和乙的绳长：
$\begin{aligned}&(6a+6b+4c)-(4a+6b+6c)\\=&6a+6b+4c-4a-6b-6c\\=&2a-2c\end{aligned}$
已知$a＞c$，所以$2a-2c＞0$，可得$\mathrm{丙的绳长}＞\mathrm{乙的绳长}$。
综上可得大小关系：$\mathrm{丙的绳长}＞\mathrm{乙的绳长}＞\mathrm{甲的绳长}$。
【答案】
甲种方式用绳最少，丙种方式用绳最多。
【知识点】
列代数式；整式的加减；作差法比较大小
【点评】
本题结合生活中的捆扎场景考查整式加减的应用，解题关键是准确观察图形得到绳长的代数式，再通过作差法结合棱长大小关系判断结果，既锻炼了代数运算能力，也考查了观察图形、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要分别计算三种捆扎方式的绳子总长度：观察三个图形，数出沿长$a$、宽$b$、高$c$三个方向的绳子段数，分别乘以对应棱长后求和，即可得到每种方式绳长的代数式。接下来使用作差法比较三个代数式的大小：两个代数式相减，若差大于0，则被减数更大；若差小于0，则被减数更小，结合已知$a＞b＞c$判断差的正负，就能得出三种绳长的大小关系。
【解析】
第一步：先表示出三种捆扎方式的绳长：
甲方式：沿$a$的绳子共4段，沿$b$的绳子共4段，沿$c$的绳子共8段，总绳长为$4a+4b+8c$；
乙方式：沿$a$的绳子共4段，沿$b$的绳子共6段，沿$c$的绳子共6段，总绳长为$4a+6b+6c$；
丙方式：沿$a$的绳子共6段，沿$b$的绳子共6段，沿$c$的绳子共4段，总绳长为$6a+6b+4c$。
第二步：用作差法比较绳长大小：
1. 比较乙和甲的绳长：
$\begin{aligned}&(4a+6b+6c)-(4a+4b+8c)\\=&4a+6b+6c-4a-4b-8c\\=&2b-2c\end{aligned}$
已知$b＞c$，所以$2b-2c＞0$，可得$\mathrm{乙的绳长}＞\mathrm{甲的绳长}$。
2. 比较丙和乙的绳长：
$\begin{aligned}&(6a+6b+4c)-(4a+6b+6c)\\=&6a+6b+4c-4a-6b-6c\\=&2a-2c\end{aligned}$
已知$a＞c$，所以$2a-2c＞0$，可得$\mathrm{丙的绳长}＞\mathrm{乙的绳长}$。
综上可得大小关系：$\mathrm{丙的绳长}＞\mathrm{乙的绳长}＞\mathrm{甲的绳长}$。
【答案】
甲种方式用绳最少，丙种方式用绳最多。
【知识点】
列代数式；整式的加减；作差法比较大小
【点评】
本题结合生活中的捆扎场景考查整式加减的应用，解题关键是准确观察图形得到绳长的代数式，再通过作差法结合棱长大小关系判断结果，既锻炼了代数运算能力，也考查了观察图形、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
