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6 整式的加减(第3课时)
课堂精要·梳理内容
1. 进行整式加减运算时，如果遇到括号要先
2. 能综合运用去括号、合并同类项等法则化简整式。
3. 能利用整式的加减求代数式的值和解决简单的实际问题。
课堂精要·梳理内容
1. 进行整式加减运算时，如果遇到括号要先
去括号
，再合并同类项
。2. 能综合运用去括号、合并同类项等法则化简整式。
3. 能利用整式的加减求代数式的值和解决简单的实际问题。
答案
1. 去括号 合并同类项
解析
【分析】
本题考查整式加减的基本运算步骤，解题时先回忆整式加减的运算规则：整式加减运算的核心是化简整式，当式子中有括号时，首先要根据去括号法则消除括号，去括号后式子中会存在多个同类项，下一步就需要对同类项进行合并，最终得到最简整式，由此即可确定两个空的内容。
【解析】
根据整式加减的运算法则：进行整式加减运算时，如果遇到括号要先按照去括号法则去掉括号，再对去括号后式子中的同类项进行合并，完成整式化简。因此两个空依次填写去括号、合并同类项。
【答案】
1. 去括号 合并同类项
【知识点】
整式加减运算步骤；去括号；合并同类项
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查整式加减的基础运算流程，熟练掌握该步骤是开展整式化简、代数式求值等后续运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查整式加减的基本运算步骤，解题时先回忆整式加减的运算规则：整式加减运算的核心是化简整式，当式子中有括号时，首先要根据去括号法则消除括号，去括号后式子中会存在多个同类项，下一步就需要对同类项进行合并，最终得到最简整式，由此即可确定两个空的内容。
【解析】
根据整式加减的运算法则：进行整式加减运算时，如果遇到括号要先按照去括号法则去掉括号，再对去括号后式子中的同类项进行合并，完成整式化简。因此两个空依次填写去括号、合并同类项。
【答案】
1. 去括号 合并同类项
【知识点】
整式加减运算步骤；去括号；合并同类项
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查整式加减的基础运算流程，熟练掌握该步骤是开展整式化简、代数式求值等后续运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 化简 $x - y - (x + y)$ 的最后结果是(
A.0
B.$2x$
C.$-2y$
D.$2x - 2y$
C
)。A.0
B.$2x$
C.$-2y$
D.$2x - 2y$
答案
1.C
解析
【分析】
本题属于整式化简类题目，解题思路分为两步：第一步先去括号，需注意括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要改变符号；第二步合并同类项，将相同字母的同类项合并计算即可得到最终结果。
【解析】
解：对原式进行去括号运算，括号前为负号，括号内各项需变号：
$x - y - (x + y) = x - y - x - y$
再合并同类项，将含$x$的项、含$y$的项分别合并：
$=(x - x) + (-y - y)$
$=0 - 2y$
$=-2y$
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础题型，易错点为去括号时，括号前为负号时忘记给括号内所有项改变符号，熟练掌握去括号的符号规则是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.9
本题属于整式化简类题目，解题思路分为两步：第一步先去括号，需注意括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要改变符号；第二步合并同类项，将相同字母的同类项合并计算即可得到最终结果。
【解析】
解：对原式进行去括号运算，括号前为负号，括号内各项需变号：
$x - y - (x + y) = x - y - x - y$
再合并同类项，将含$x$的项、含$y$的项分别合并：
$=(x - x) + (-y - y)$
$=0 - 2y$
$=-2y$
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础题型，易错点为去括号时，括号前为负号时忘记给括号内所有项改变符号，熟练掌握去括号的符号规则是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.9
2.计算$6a^2 - 2ab - 2(3a^2 + \frac{1}{2}ab)$的结果是（
A.$-3ab$
B.$-ab$
C.$3a^2$
D.$9a^2$
A
）。A.$-3ab$
B.$-ab$
C.$3a^2$
D.$9a^2$
答案
2.A
解析
【分析】
本题属于整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的思路：首先处理括号，括号前是系数为-2的负号，去括号时需将-2依次乘括号内的每一项，同时注意括号内各项的符号要变号；去括号后找出式子中的同类项，合并同类项时仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到结果匹配选项即可。
【解析】
解：先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=6a^2 - 2ab - 2×3a^2 - 2×\frac{1}{2}ab\\&=6a^2 - 2ab - 6a^2 - ab\\&=(6a^2 - 6a^2)+(-2ab - ab)\\&=0 - 3ab\\&=-3ab\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，重点考查去括号的运算规范和合并同类项的方法，做题时需注意括号前的负系数要乘遍括号内所有项，避免出现漏乘或符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的思路：首先处理括号，括号前是系数为-2的负号，去括号时需将-2依次乘括号内的每一项，同时注意括号内各项的符号要变号；去括号后找出式子中的同类项，合并同类项时仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到结果匹配选项即可。
【解析】
解：先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=6a^2 - 2ab - 2×3a^2 - 2×\frac{1}{2}ab\\&=6a^2 - 2ab - 6a^2 - ab\\&=(6a^2 - 6a^2)+(-2ab - ab)\\&=0 - 3ab\\&=-3ab\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，重点考查去括号的运算规范和合并同类项的方法，做题时需注意括号前的负系数要乘遍括号内所有项，避免出现漏乘或符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.8
3.若多项式$3x^2 - 2xy - y^2$减去多项式M，所得的差是$-5x^2 + xy - 2y^2$，则多项式M是（
A.$8x^2 - 3xy + y^2$
B.$2x^2 + xy + 3y^2$
C.$-8x^2 + 3xy - y^2$
D.$-2x^2 - xy - 3y^2$
A
）。A.$8x^2 - 3xy + y^2$
B.$2x^2 + xy + 3y^2$
C.$-8x^2 + 3xy - y^2$
D.$-2x^2 - xy - 3y^2$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆减法运算中各部分的关系：被减数 - 减数 = 差，由此可推导出减数M = 被减数 - 差。接下来将题目给出的被减数和差代入式子，再按照整式加减的运算规则，先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项，最后将结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据题意可得：
$M = (3x^2 - 2xy - y^2) - (-5x^2 + xy - 2y^2)$
先去括号：
$= 3x^2 - 2xy - y^2 + 5x^2 - xy + 2y^2$
再合并同类项：
$=(3x^2 + 5x^2) + (-2xy - xy) + (-y^2 + 2y^2)$
$= 8x^2 - 3xy + y^2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题核心是准确梳理出减数、被减数和差的关系，运算过程中要注意去括号时的符号变化，熟练掌握合并同类项的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆减法运算中各部分的关系：被减数 - 减数 = 差，由此可推导出减数M = 被减数 - 差。接下来将题目给出的被减数和差代入式子，再按照整式加减的运算规则，先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项，最后将结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据题意可得：
$M = (3x^2 - 2xy - y^2) - (-5x^2 + xy - 2y^2)$
先去括号：
$= 3x^2 - 2xy - y^2 + 5x^2 - xy + 2y^2$
再合并同类项：
$=(3x^2 + 5x^2) + (-2xy - xy) + (-y^2 + 2y^2)$
$= 8x^2 - 3xy + y^2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题核心是准确梳理出减数、被减数和差的关系，运算过程中要注意去括号时的符号变化，熟练掌握合并同类项的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.多项式 $ x - y $ 减去 $ -x + 3y $ 的差是。。
答案
4.$2x-4y$
解析
【分析】
本题考查整式的减法运算，解题思路如下：第一步，先根据题意正确列出算式，注意“减去$-x+3y$”是减去整个多项式，所以要给$-x+3y$加上括号；第二步，根据去括号法则去掉括号，特别注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第三步，识别并合并同类项，即可得到最终结果。
【解析】
根据题意列算式：
$\begin{aligned}&(x - y) - (-x + 3y)\\=&x - y + x - 3y\\=&2x - 4y\end{aligned}$
【答案】
$2x-4y$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础运算题，解题的易错点是去括号时符号处理错误，列算式时注意减去的多项式要作为整体加括号，熟练掌握去括号和合并同类项的规则即可正确解答。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的减法运算，解题思路如下：第一步，先根据题意正确列出算式，注意“减去$-x+3y$”是减去整个多项式，所以要给$-x+3y$加上括号；第二步，根据去括号法则去掉括号，特别注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第三步，识别并合并同类项，即可得到最终结果。
【解析】
根据题意列算式：
$\begin{aligned}&(x - y) - (-x + 3y)\\=&x - y + x - 3y\\=&2x - 4y\end{aligned}$
【答案】
$2x-4y$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础运算题，解题的易错点是去括号时符号处理错误，列算式时注意减去的多项式要作为整体加括号，熟练掌握去括号和合并同类项的规则即可正确解答。
【难度系数】
0.9
5.在横线上填上适当的整式：$(3a^2 - 2a -5)+($
$-2a^2 -5a +14$
$)=a^2 -7a +9$。答案
5.$-2a^2 -5a +14$
解析
【分析】
本题是已知两个整式的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，根据加法各部分的关系：另一个加数=和-已知加数，即可列出算式。后续只需按照整式加减的运算规则，先去括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项（仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变），就能求出结果。
【解析】
设横线上需要填的整式为$A$，根据题意可列算式：
$\begin{aligned}A&=(a^2 -7a +9) - (3a^2 -2a -5)\\&=a^2 -7a +9 -3a^2 +2a +5\\&=(a^2-3a^2)+(-7a+2a)+(9+5)\\&=-2a^2 -5a +14\end{aligned}$
【答案】
$-2a^2 -5a +14$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础运算题，解题关键是理清加法运算中各量的关系，运算过程中要重点注意去括号的符号变化，合并同类项时细心计算系数即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是已知两个整式的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，根据加法各部分的关系：另一个加数=和-已知加数，即可列出算式。后续只需按照整式加减的运算规则，先去括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项（仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变），就能求出结果。
【解析】
设横线上需要填的整式为$A$，根据题意可列算式：
$\begin{aligned}A&=(a^2 -7a +9) - (3a^2 -2a -5)\\&=a^2 -7a +9 -3a^2 +2a +5\\&=(a^2-3a^2)+(-7a+2a)+(9+5)\\&=-2a^2 -5a +14\end{aligned}$
【答案】
$-2a^2 -5a +14$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础运算题，解题关键是理清加法运算中各量的关系，运算过程中要重点注意去括号的符号变化，合并同类项时细心计算系数即可得分。
【难度系数】
0.8
6.计算：
(1)$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$；
(2)$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$。
(1)$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$；
(2)$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$。
答案
6.解:(1)$6x^2-[-3x^2-(x-1)]=6x^2-(-3x^2-x+1)=6x^2+3x^2+x-1=9x^2+x-1$。
(2)$(5a^2-3b^2)+[-(a^2-2ab-b^2)-(5a^2+2ab+3b^2)]=5a^2-3b^2-a^2+2ab+b^2-5a^2-2ab-3b^2=-a^2-5b^2$。
(2)$(5a^2-3b^2)+[-(a^2-2ab-b^2)-(5a^2+2ab+3b^2)]=5a^2-3b^2-a^2+2ab+b^2-5a^2-2ab-3b^2=-a^2-5b^2$。
解析
【分析】
这两道题属于整式的加减运算类题目，解题核心是掌握去括号法则和合并同类项法则。解题时遵循以下思路：首先按照“先去小括号、再去中括号”的顺序逐层去括号，去括号时如果括号前带负号，去掉括号后括号内的每一项都要改变符号；去完所有括号后，识别式子中的同类项，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简整式即可。
【解析】
(1) 计算$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$：
第一步：先去最内层小括号，括号前为负号，括号内项变号：
$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]=6x^2 - (-3x^2 - x + 1)$
第二步：去中括号，括号前为负号，括号内项变号：
$=6x^2 + 3x^2 + x - 1$
第三步：合并同类项：
$=9x^2 + x - 1$
(2) 计算$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$：
第一步：先去中括号内的两个小括号，括号前均为负号，括号内项分别变号：
$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]=5a^2 - 3b^2 + (-a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2)$
第二步：去掉中括号：
$=5a^2 - 3b^2 - a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2$
第三步：分类合并同类项：
$a^2$项合并：$5a^2 - a^2 - 5a^2=-a^2$
$ab$项合并：$2ab - 2ab=0$
$b^2$项合并：$-3b^2 + b^2 - 3b^2=-5b^2$
最终结果为：$=-a^2 - 5b^2$
【答案】
(1)$9x^2 + x - 1$；(2)$-a^2 - 5b^2$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，易错点是去括号时符号处理错误、合并同类项时系数计算错误，熟练掌握去括号和合并同类项的规则即可快速正确解答。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的加减运算类题目，解题核心是掌握去括号法则和合并同类项法则。解题时遵循以下思路：首先按照“先去小括号、再去中括号”的顺序逐层去括号，去括号时如果括号前带负号，去掉括号后括号内的每一项都要改变符号；去完所有括号后，识别式子中的同类项，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简整式即可。
【解析】
(1) 计算$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$：
第一步：先去最内层小括号，括号前为负号，括号内项变号：
$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]=6x^2 - (-3x^2 - x + 1)$
第二步：去中括号，括号前为负号，括号内项变号：
$=6x^2 + 3x^2 + x - 1$
第三步：合并同类项：
$=9x^2 + x - 1$
(2) 计算$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$：
第一步：先去中括号内的两个小括号，括号前均为负号，括号内项分别变号：
$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]=5a^2 - 3b^2 + (-a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2)$
第二步：去掉中括号：
$=5a^2 - 3b^2 - a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2$
第三步：分类合并同类项：
$a^2$项合并：$5a^2 - a^2 - 5a^2=-a^2$
$ab$项合并：$2ab - 2ab=0$
$b^2$项合并：$-3b^2 + b^2 - 3b^2=-5b^2$
最终结果为：$=-a^2 - 5b^2$
【答案】
(1)$9x^2 + x - 1$；(2)$-a^2 - 5b^2$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，易错点是去括号时符号处理错误、合并同类项时系数计算错误，熟练掌握去括号和合并同类项的规则即可快速正确解答。
【难度系数】
0.8
7.若A和B都是五次多项式，则A+B一定是(
A.十次多项式
B.五次多项式
C.次数不高于5的整式
D.次数不低于5的整式
C
)。A.十次多项式
B.五次多项式
C.次数不高于5的整式
D.次数不低于5的整式
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆多项式次数的定义和整式加减的本质：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，整式加减的实质是合并同类项，合并同类项不会升高整式的次数。接下来分两种情况讨论两个五次多项式相加的结果：如果两个多项式的五次项系数不互为相反数，相加后仍有五次项，结果最高次数为5；如果五次项系数互为相反数，相加后五次项抵消，结果最高次数小于5。结合多项式属于整式，即可判断各选项对错，选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心知识点：
1. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；
2. 整式加减的本质是合并同类项，合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变，因此合并后整式的最高次数不会超过原来整式的最高次数。
已知A、B都是五次多项式，分两种情况讨论A+B的结果：
① 若A、B的五次项不是同类项，或是同类项但系数不互为相反数，合并后五次项仍然存在，此时A+B的最高次数为5；
② 若A、B的五次项是同类项且系数互为相反数，合并后五次项相互抵消，此时A+B的最高次数小于5（可为4、3…甚至常数）。
又因为多项式属于整式，两个整式相加的结果仍为整式，因此A+B是次数不高于5的整式。
逐个判断选项：
A. 整式加减不会升高次数，不可能得到十次多项式，错误；
B. 当五次项抵消时，结果不是五次多项式，错误；
C. 符合上述分析，正确；
D. 结果的次数可以低于5，“不低于5”的描述错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；整式的加减；合并同类项
【点评】
这道题是整式加减部分的常考易错题，核心考查合并同类项后多项式次数的变化规律，易错点是容易忽略两个多项式的最高次项可能抵消的情况，误选B选项，解题时要全面考虑合并同类项的所有可能性。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆多项式次数的定义和整式加减的本质：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，整式加减的实质是合并同类项，合并同类项不会升高整式的次数。接下来分两种情况讨论两个五次多项式相加的结果：如果两个多项式的五次项系数不互为相反数，相加后仍有五次项，结果最高次数为5；如果五次项系数互为相反数，相加后五次项抵消，结果最高次数小于5。结合多项式属于整式，即可判断各选项对错，选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心知识点：
1. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；
2. 整式加减的本质是合并同类项，合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变，因此合并后整式的最高次数不会超过原来整式的最高次数。
已知A、B都是五次多项式，分两种情况讨论A+B的结果：
① 若A、B的五次项不是同类项，或是同类项但系数不互为相反数，合并后五次项仍然存在，此时A+B的最高次数为5；
② 若A、B的五次项是同类项且系数互为相反数，合并后五次项相互抵消，此时A+B的最高次数小于5（可为4、3…甚至常数）。
又因为多项式属于整式，两个整式相加的结果仍为整式，因此A+B是次数不高于5的整式。
逐个判断选项：
A. 整式加减不会升高次数，不可能得到十次多项式，错误；
B. 当五次项抵消时，结果不是五次多项式，错误；
C. 符合上述分析，正确；
D. 结果的次数可以低于5，“不低于5”的描述错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；整式的加减；合并同类项
【点评】
这道题是整式加减部分的常考易错题，核心考查合并同类项后多项式次数的变化规律，易错点是容易忽略两个多项式的最高次项可能抵消的情况，误选B选项，解题时要全面考虑合并同类项的所有可能性。
【难度系数】
0.6
8.【数学应用】一根铁丝的长为$5a+4b$，剪下一部分围成一个长为$2a$、宽为$b$的长方形，则这根铁丝剩下的长为
$a+2b$
。答案
8.$a+2b$
解析
【分析】
解题时首先要明确数量关系：剩余铁丝长度=铁丝总长度-围成长方形用去的铁丝长度。第一步先根据长方形周长公式计算出围长方形需要的铁丝长度，第二步将总长度和用去的长度代入关系式，再通过去括号、合并同类项的整式加减运算即可得到结果。
【解析】
首先计算围成长方形所需的铁丝长度，也就是长方形的周长：
长方形周长 = 2×(长+宽) = 2×(2a + b) = 4a + 2b
已知铁丝总长为$5a + 4b$，因此剩余铁丝长度为：
$\begin{aligned}&(5a + 4b) - (4a + 2b)\\=&5a + 4b - 4a - 2b\\=&(5a - 4a) + (4b - 2b)\\=&a + 2b\end{aligned}$
【答案】
$a+2b$
【知识点】
长方形周长计算；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算应用题，将几何图形周长计算和整式加减运算相结合，只要理清总量、消耗量、剩余量三者的数量关系，熟练掌握整式加减的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确数量关系：剩余铁丝长度=铁丝总长度-围成长方形用去的铁丝长度。第一步先根据长方形周长公式计算出围长方形需要的铁丝长度，第二步将总长度和用去的长度代入关系式，再通过去括号、合并同类项的整式加减运算即可得到结果。
【解析】
首先计算围成长方形所需的铁丝长度，也就是长方形的周长：
长方形周长 = 2×(长+宽) = 2×(2a + b) = 4a + 2b
已知铁丝总长为$5a + 4b$，因此剩余铁丝长度为：
$\begin{aligned}&(5a + 4b) - (4a + 2b)\\=&5a + 4b - 4a - 2b\\=&(5a - 4a) + (4b - 2b)\\=&a + 2b\end{aligned}$
【答案】
$a+2b$
【知识点】
长方形周长计算；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算应用题，将几何图形周长计算和整式加减运算相结合，只要理清总量、消耗量、剩余量三者的数量关系，熟练掌握整式加减的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.定义一种新运算:$a * b = 3a -2b$,则$(2x + y) * (3x -2y)=$
$7y$
。答案
9.$7y$
解析
【分析】
解题时首先要理解新定义运算的规则：$a*b$的运算结果等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍。求解时先确定待运算式子中对应规则里的a和b：待运算式中第一个整体$(2x+y)$对应a，第二个整体$(3x-2y)$对应b，再将两个整体代入规则转化为常规整式运算，最后通过去括号、合并同类项得到结果即可。
【解析】
根据新运算规则$a*b=3a-2b$，将$a=2x+y$，$b=3x-2y$代入得：
$\begin{aligned}(2x+y)*(3x-2y)&=3(2x+y)-2(3x-2y)\\&=6x+3y-6x+4y\\&=7y\end{aligned}$
【答案】
$7y$
【知识点】
新定义运算，去括号，合并同类项
【点评】
本题核心是将新定义运算转化为熟悉的整式加减运算，解题时要注意将两个多项式作为整体代入运算，去括号时要注意括号前系数的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解新定义运算的规则：$a*b$的运算结果等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍。求解时先确定待运算式子中对应规则里的a和b：待运算式中第一个整体$(2x+y)$对应a，第二个整体$(3x-2y)$对应b，再将两个整体代入规则转化为常规整式运算，最后通过去括号、合并同类项得到结果即可。
【解析】
根据新运算规则$a*b=3a-2b$，将$a=2x+y$，$b=3x-2y$代入得：
$\begin{aligned}(2x+y)*(3x-2y)&=3(2x+y)-2(3x-2y)\\&=6x+3y-6x+4y\\&=7y\end{aligned}$
【答案】
$7y$
【知识点】
新定义运算，去括号，合并同类项
【点评】
本题核心是将新定义运算转化为熟悉的整式加减运算，解题时要注意将两个多项式作为整体代入运算，去括号时要注意括号前系数的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
10.已知$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$，计算：
(1)$2M-3N$；
(2)$3N-2M$。
(1)$2M-3N$；
(2)$3N-2M$。
答案
10.解:(1)$2M-3N$
$=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)$
$=2x^3-x^2-x+2$。
(2)$3N-2M$
$=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)$
$=-2x^3+x^2+x-2$。
$=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)$
$=2x^3-x^2-x+2$。
(2)$3N-2M$
$=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)$
$=-2x^3+x^2+x-2$。
解析
【分析】
本题考查整式的加减运算，解题思路清晰明确：第一步，将已知的M、N对应的多项式整体代入所求代数式，注意代入时要给M、N分别加上括号，避免运算时出现符号错误或漏乘系数的问题；第二步，依据去括号法则去掉括号，括号前是正号时，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号时，去括号后括号内各项符号都要改变，同时要注意系数要乘括号内的每一项；第三步，识别同类项并合并，将结果化为最简形式。另外第(2)小问也可以直接利用第(1)问的结果，取其相反数快速得到答案，简化运算过程。
【解析】
(1) 计算$2M-3N$，将$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$整体代入：
$\begin{aligned}2M-3N&=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)\\&=2x^3+2x^2+2x+2-3x^2-3x\\&=2x^3+(2x^2-3x^2)+(2x-3x)+2\\&=2x^3 - x^2 - x + 2\end{aligned}$
(2) 计算$3N-2M$，可直接代入计算，也可利用(1)的结果简化运算：
方法一：直接代入计算
$\begin{aligned}3N-2M&=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)\\&=3x^2+3x-2x^3-2x^2-2x-2\\&=-2x^3+(3x^2-2x^2)+(3x-2x)-2\\&=-2x^3 + x^2 + x - 2\end{aligned}$
方法二：利用(1)的结果计算
$3N-2M=-(2M-3N)=-(2x^3 - x^2 - x + 2)=-2x^3 + x^2 + x - 2$
【答案】
(1)$2x^3 - x^2 - x + 2$；(2)$-2x^3 + x^2 + x - 2$
【知识点】
整式的加减运算，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，重点考察整体代入的数学思想以及去括号、合并同类项的基础运算能力，解题时需注意将多项式整体代入时要加括号，去括号时避免出现符号错误和漏乘系数的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的加减运算，解题思路清晰明确：第一步，将已知的M、N对应的多项式整体代入所求代数式，注意代入时要给M、N分别加上括号，避免运算时出现符号错误或漏乘系数的问题；第二步，依据去括号法则去掉括号，括号前是正号时，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号时，去括号后括号内各项符号都要改变，同时要注意系数要乘括号内的每一项；第三步，识别同类项并合并，将结果化为最简形式。另外第(2)小问也可以直接利用第(1)问的结果，取其相反数快速得到答案，简化运算过程。
【解析】
(1) 计算$2M-3N$，将$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$整体代入：
$\begin{aligned}2M-3N&=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)\\&=2x^3+2x^2+2x+2-3x^2-3x\\&=2x^3+(2x^2-3x^2)+(2x-3x)+2\\&=2x^3 - x^2 - x + 2\end{aligned}$
(2) 计算$3N-2M$，可直接代入计算，也可利用(1)的结果简化运算：
方法一：直接代入计算
$\begin{aligned}3N-2M&=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)\\&=3x^2+3x-2x^3-2x^2-2x-2\\&=-2x^3+(3x^2-2x^2)+(3x-2x)-2\\&=-2x^3 + x^2 + x - 2\end{aligned}$
方法二：利用(1)的结果计算
$3N-2M=-(2M-3N)=-(2x^3 - x^2 - x + 2)=-2x^3 + x^2 + x - 2$
【答案】
(1)$2x^3 - x^2 - x + 2$；(2)$-2x^3 + x^2 + x - 2$
【知识点】
整式的加减运算，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，重点考察整体代入的数学思想以及去括号、合并同类项的基础运算能力，解题时需注意将多项式整体代入时要加括号，去括号时避免出现符号错误和漏乘系数的问题。
【难度系数】
0.8
