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9.【数学应用】用一根长为 $ a $ cm 的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图所示的方式向外等距扩1 cm，得到新的正方形，则这根铁丝需增加（
A.4 cm
B.8 cm
C.$(a + 4)$cm
D.$(a + 8)$cm
B
）。A.4 cm
B.8 cm
C.$(a + 4)$cm
D.$(a + 8)$cm
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先回忆正方形周长与边长的关系：正方形周长=边长×4，反过来边长=周长÷4。第一步先根据原铁丝总长度求出原正方形的边长；第二步结合图形理解“向外等距扩1cm”的含义：每条边的左右（或上下）两侧各向外延伸1cm，因此新正方形的每条边长比原边长多2cm；第三步计算新正方形的周长，用新周长减去原周长即可得到需要增加的铁丝长度。
【解析】
解：已知原正方形的周长为$ a $ cm，根据正方形周长公式可得：
原正方形的边长为$ \frac{a}{4} $ cm。
结合图形可知，向外等距扩1cm后，新正方形的每条边比原边长长$ 1+1=2 $ cm，因此新正方形的边长为$ (\frac{a}{4}+2) $ cm。
新正方形的周长为：$ 4×(\frac{a}{4}+2)=a+8 $（cm）。
需要增加的铁丝长度=新周长-原周长，即$ (a+8)-a=8 $（cm）。
综上，铁丝需增加8cm，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形周长计算
2. 整式的加减运算
【点评】
本题的易错点是误将向外扩1cm理解为每条边仅增加1cm，实际每条边两侧各扩1cm，共增加2cm，结合图形分析边长变化能有效避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正方形周长与边长的关系：正方形周长=边长×4，反过来边长=周长÷4。第一步先根据原铁丝总长度求出原正方形的边长；第二步结合图形理解“向外等距扩1cm”的含义：每条边的左右（或上下）两侧各向外延伸1cm，因此新正方形的每条边长比原边长多2cm；第三步计算新正方形的周长，用新周长减去原周长即可得到需要增加的铁丝长度。
【解析】
解：已知原正方形的周长为$ a $ cm，根据正方形周长公式可得：
原正方形的边长为$ \frac{a}{4} $ cm。
结合图形可知，向外等距扩1cm后，新正方形的每条边比原边长长$ 1+1=2 $ cm，因此新正方形的边长为$ (\frac{a}{4}+2) $ cm。
新正方形的周长为：$ 4×(\frac{a}{4}+2)=a+8 $（cm）。
需要增加的铁丝长度=新周长-原周长，即$ (a+8)-a=8 $（cm）。
综上，铁丝需增加8cm，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形周长计算
2. 整式的加减运算
【点评】
本题的易错点是误将向外扩1cm理解为每条边仅增加1cm，实际每条边两侧各扩1cm，共增加2cm，结合图形分析边长变化能有效避免出错。
【难度系数】
0.7
10.若$m$，$n$互为相反数，则$(5m - 3n) - (2m - 6n)=$______。
答案
10.0
解析
【分析】
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，可得$m + n = 0$。求解给定整式的值时，需先对整式进行去括号、合并同类项化简，再将$m + n = 0$整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先对整式进行化简：
$\begin{aligned}(5m - 3n) - (2m - 6n)&=5m - 3n - 2m + 6n\\&=(5m - 2m)+(-3n + 6n)\\&=3m + 3n\\&=3(m + n)\end{aligned}$
因为$m$，$n$互为相反数，所以$m + n = 0$，将其代入上式得：
$3×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；整式的加减运算
【点评】
本题考查相反数性质与整式加减的综合应用，解题的核心是先化简整式再整体代入求值，不需要单独求出$m$、$n$的具体值，体现了整体代入的解题思路，是整式加减章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.85
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，可得$m + n = 0$。求解给定整式的值时，需先对整式进行去括号、合并同类项化简，再将$m + n = 0$整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先对整式进行化简：
$\begin{aligned}(5m - 3n) - (2m - 6n)&=5m - 3n - 2m + 6n\\&=(5m - 2m)+(-3n + 6n)\\&=3m + 3n\\&=3(m + n)\end{aligned}$
因为$m$，$n$互为相反数，所以$m + n = 0$，将其代入上式得：
$3×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；整式的加减运算
【点评】
本题考查相反数性质与整式加减的综合应用，解题的核心是先化简整式再整体代入求值，不需要单独求出$m$、$n$的具体值，体现了整体代入的解题思路，是整式加减章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.85
11.已知关于$x,y$的多项式$(4x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)$，若多项式的值与字母$x$的取值无关，则$a^b=$
9
。答案
11.9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即合并同类项后，所有含x的项的系数都为0，这样无论x取何值，都不会影响多项式的结果。解题步骤依次为：先对多项式去括号、合并同类项，找到含x的各项的系数，令系数等于0，求解得到a、b的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
先对多项式进行化简：
$\begin{aligned}&(4x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&4x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(4 - 2b)x^2 + (a + 3)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$\begin{cases}4 - 2b = 0\\a + 3 = 0\end{cases}$
解第一个方程：$4 - 2b = 0$，得$2b = 4$，$b = 2$；
解第二个方程：$a + 3 = 0$，得$a = -3$。
将$a=-3$，$b=2$代入$a^b$，得：
$a^b = (-3)^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
整式的加减、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式加减章节的典型常考题，解题核心是理解“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同次项的系数为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即合并同类项后，所有含x的项的系数都为0，这样无论x取何值，都不会影响多项式的结果。解题步骤依次为：先对多项式去括号、合并同类项，找到含x的各项的系数，令系数等于0，求解得到a、b的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
先对多项式进行化简：
$\begin{aligned}&(4x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&4x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(4 - 2b)x^2 + (a + 3)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$\begin{cases}4 - 2b = 0\\a + 3 = 0\end{cases}$
解第一个方程：$4 - 2b = 0$，得$2b = 4$，$b = 2$；
解第二个方程：$a + 3 = 0$，得$a = -3$。
将$a=-3$，$b=2$代入$a^b$，得：
$a^b = (-3)^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
整式的加减、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式加减章节的典型常考题，解题核心是理解“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同次项的系数为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
12.【数学应用】小梅用3天看完了一本书，第一天看了$x$页，第二天看的比第一天多50页，第三天看的比第二天少85页，用含$x$的代数式表示这本书的页数为
$3x+15$
；当$x=100$时，这本书的页数是$315$
。答案
12.$3x+15$ $315$
解析
【分析】
要计算这本书的总页数，需先分别表示出三天每天看的页数，再将三天看的页数相加得到总页数的代数式，最后将x=100代入化简后的代数式计算即可。第一步，根据“第二天比第一天多50页”，用第一天的页数x加50得到第二天的页数；第二步，根据“第三天比第二天少85页”，用第二天的页数减85得到第三天的页数；第三步，把三天页数相加合并同类项得到总页数的代数式；第四步，代入x=100计算具体数值。
【解析】
1. 表示每天看的页数：
第一天看了$x$页；
第二天看的页数：$x + 50$（页）；
第三天看的页数：$(x + 50) - 85 = x - 35$（页）。
2. 计算这本书的总页数：
总页数 = 第一天页数 + 第二天页数 + 第三天页数，即：
$\begin{aligned}&x + (x + 50) + (x - 35)\\=&x + x + 50 + x - 35\\=&3x + 15\end{aligned}$
3. 当$x=100$时，代入$3x + 15$得：
$3×100 + 15 = 300 + 15 = 315$
【答案】
$3x+15$；$315$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是理清不同量之间的数量关系，正确列出对应代数式后按照整式加减的规则合并同类项，代入求值时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.85
要计算这本书的总页数，需先分别表示出三天每天看的页数，再将三天看的页数相加得到总页数的代数式，最后将x=100代入化简后的代数式计算即可。第一步，根据“第二天比第一天多50页”，用第一天的页数x加50得到第二天的页数；第二步，根据“第三天比第二天少85页”，用第二天的页数减85得到第三天的页数；第三步，把三天页数相加合并同类项得到总页数的代数式；第四步，代入x=100计算具体数值。
【解析】
1. 表示每天看的页数：
第一天看了$x$页；
第二天看的页数：$x + 50$（页）；
第三天看的页数：$(x + 50) - 85 = x - 35$（页）。
2. 计算这本书的总页数：
总页数 = 第一天页数 + 第二天页数 + 第三天页数，即：
$\begin{aligned}&x + (x + 50) + (x - 35)\\=&x + x + 50 + x - 35\\=&3x + 15\end{aligned}$
3. 当$x=100$时，代入$3x + 15$得：
$3×100 + 15 = 300 + 15 = 315$
【答案】
$3x+15$；$315$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是理清不同量之间的数量关系，正确列出对应代数式后按照整式加减的规则合并同类项，代入求值时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.85
13.先化简,再求值:$5a^2 + [a^2 + (5a^2 - 2a) - 2(a^2 - 3a)]$,其中$a=-\dfrac{1}{2}$。
答案
13.解:原式=$9a^2+4a$,当$a=-\dfrac{1}{2}$时,原式=$9a^2+4a=9×(-\dfrac{1}{2})^2+4×(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
遇到整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则，能大幅降低计算出错概率。解题思路分两步走：第一步化简整式，先按照去括号法则去掉式子中的括号（多层括号可从内向外依次去，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号，括号前的系数要乘遍括号内的每一项），再根据同类项的定义找出所有同类项，合并同类项得到最简整式；第二步代入求值，将已知的a的值代入化简后的最简整式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
解：先去括号化简原式：
$\begin{aligned}原式&=5a^2 + [a^2 + 5a^2 - 2a - 2a^2 + 6a]\\&=5a^2 + (4a^2 + 4a)\\&=5a^2 + 4a^2 + 4a\\&=9a^2 + 4a\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=9×(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2})\\&=9×\dfrac{1}{4} - 2\\&=\dfrac{9}{4} - \dfrac{8}{4}\\&=\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$9a^2+4a$，求值结果为$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号的符号规则和合并同类项的运算能力，先化简后代入求值的思路能有效减少直接代入原式计算的运算量，降低出错可能，解题时需注意去括号时不要漏乘系数、不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
遇到整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则，能大幅降低计算出错概率。解题思路分两步走：第一步化简整式，先按照去括号法则去掉式子中的括号（多层括号可从内向外依次去，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号，括号前的系数要乘遍括号内的每一项），再根据同类项的定义找出所有同类项，合并同类项得到最简整式；第二步代入求值，将已知的a的值代入化简后的最简整式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
解：先去括号化简原式：
$\begin{aligned}原式&=5a^2 + [a^2 + 5a^2 - 2a - 2a^2 + 6a]\\&=5a^2 + (4a^2 + 4a)\\&=5a^2 + 4a^2 + 4a\\&=9a^2 + 4a\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=9×(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2})\\&=9×\dfrac{1}{4} - 2\\&=\dfrac{9}{4} - \dfrac{8}{4}\\&=\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$9a^2+4a$，求值结果为$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号的符号规则和合并同类项的运算能力，先化简后代入求值的思路能有效减少直接代入原式计算的运算量，降低出错可能，解题时需注意去括号时不要漏乘系数、不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
14.【数学应用】用一根铁丝正好围成一个长是$2a+3b$、宽是$a+b$的长方形，把这根铁丝剪开，其中一部分可围成一个长是$a$、宽是$b$的长方形（均不计接缝），求另一部分铁丝的长。
答案
14.$4a+6b$
解析
【分析】
解题时首先要明确铁丝的总长度等于原长方形的周长，要求剩余部分铁丝的长，只需用总长度减去剪去的小长方形的周长即可。第一步先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，第二步分别计算两个长方形的周长，第三步做整式的减法运算，合并同类项得到最终结果。
【解析】
首先计算原长方形的周长，也就是铁丝的总长度：
$\begin{aligned}C_{\mathrm{大}}&=2×[(2a+3b)+(a+b)]\\&=2×(3a+4b)\\&=6a+8b\end{aligned}$
再计算剪去的小长方形的周长：
$\begin{aligned}C_{\mathrm{小}}&=2×(a+b)\\&=2a+2b\end{aligned}$
剩余部分铁丝的长为总长度减去小长方形周长：
$\begin{aligned}&(6a+8b)-(2a+2b)\\=&6a+8b-2a-2b\\=&4a+6b\end{aligned}$
【答案】
$4a+6b$
【知识点】
长方形周长公式、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题结合长方形周长的几何场景，考查整式加减的基础运算，解题的核心是理清铁丝总长、剪去部分长度和剩余长度的数量关系，计算时需注意去括号时的符号变化，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确铁丝的总长度等于原长方形的周长，要求剩余部分铁丝的长，只需用总长度减去剪去的小长方形的周长即可。第一步先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，第二步分别计算两个长方形的周长，第三步做整式的减法运算，合并同类项得到最终结果。
【解析】
首先计算原长方形的周长，也就是铁丝的总长度：
$\begin{aligned}C_{\mathrm{大}}&=2×[(2a+3b)+(a+b)]\\&=2×(3a+4b)\\&=6a+8b\end{aligned}$
再计算剪去的小长方形的周长：
$\begin{aligned}C_{\mathrm{小}}&=2×(a+b)\\&=2a+2b\end{aligned}$
剩余部分铁丝的长为总长度减去小长方形周长：
$\begin{aligned}&(6a+8b)-(2a+2b)\\=&6a+8b-2a-2b\\=&4a+6b\end{aligned}$
【答案】
$4a+6b$
【知识点】
长方形周长公式、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题结合长方形周长的几何场景，考查整式加减的基础运算，解题的核心是理清铁丝总长、剪去部分长度和剩余长度的数量关系，计算时需注意去括号时的符号变化，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
