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3. 已知 A,B 两市的实际距离是 300 km,量得两地在地图上的距离是 5 cm。
(1)该地图的比例尺是多少?
(2)若在地图上量得 A,C 两市的距离是 16 cm,则 A,C 两市的实际距离是多少千米?
(1)该地图的比例尺是多少?
(2)若在地图上量得 A,C 两市的距离是 16 cm,则 A,C 两市的实际距离是多少千米?
答案
(1) 1:6 000 000
(2) 960 km
(2) 960 km
解析
【分析】
(1) 求地图比例尺的核心是牢记比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，解题时首先要将实际距离的单位换算为和图上距离一致的厘米单位，再化简得到前项为1的最简整数比即可。
(2) 求A、C两市的实际距离，可利用比例尺的定义列比例式求解，或直接用“实际距离=图上距离÷比例尺”计算，最后再将计算结果的单位换算为千米即可。
【解析】
(1) 先统一单位：
∵ $1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$
∴ $300\mathrm{km}=300×100000\mathrm{cm}=30000000\mathrm{cm}$
根据比例尺公式：
$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}=5\mathrm{cm}:30000000\mathrm{cm}=1:6000000$
(2) 设A、C两市的实际距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据比例尺相等列比例式：
$\frac{16}{x}=\frac{1}{6000000}$
解得：$x=16×6000000=96000000$
将单位换算为千米：
$96000000\mathrm{cm}=96000000÷100000\mathrm{km}=960\mathrm{km}$
【答案】
(1) $1:6000000$
(2) $960\ \mathrm{km}$
【知识点】
比例尺的计算，长度单位换算，比例的应用
【点评】
本题属于比例尺应用的基础题型，解题的关键是计算过程中必须统一图上距离和实际距离的单位，避免因单位不匹配导致计算错误，是日常测试的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
(1) 求地图比例尺的核心是牢记比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，解题时首先要将实际距离的单位换算为和图上距离一致的厘米单位，再化简得到前项为1的最简整数比即可。
(2) 求A、C两市的实际距离，可利用比例尺的定义列比例式求解，或直接用“实际距离=图上距离÷比例尺”计算，最后再将计算结果的单位换算为千米即可。
【解析】
(1) 先统一单位：
∵ $1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$
∴ $300\mathrm{km}=300×100000\mathrm{cm}=30000000\mathrm{cm}$
根据比例尺公式：
$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}=5\mathrm{cm}:30000000\mathrm{cm}=1:6000000$
(2) 设A、C两市的实际距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据比例尺相等列比例式：
$\frac{16}{x}=\frac{1}{6000000}$
解得：$x=16×6000000=96000000$
将单位换算为千米：
$96000000\mathrm{cm}=96000000÷100000\mathrm{km}=960\mathrm{km}$
【答案】
(1) $1:6000000$
(2) $960\ \mathrm{km}$
【知识点】
比例尺的计算，长度单位换算，比例的应用
【点评】
本题属于比例尺应用的基础题型，解题的关键是计算过程中必须统一图上距离和实际距离的单位，避免因单位不匹配导致计算错误，是日常测试的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
4. 如图，四个相同的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形。
（1）试说明大正方形与小正方形相似；
（2）若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边长的和是5，求大正方形与小正方形的相似比。
（1）试说明大正方形与小正方形相似；
（2）若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边长的和是5，求大正方形与小正方形的相似比。
答案
(1)
∵ 正方形四条边相等,四个角都是直角,
∴ 大正方形与小正方形相似
(2) 设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b(a ＞ b),则小正方形的边长为 a - b,由题意,得$\begin{cases} a^{2}+b^{2}=13, \\ a + b = 5, \end{cases}$由方程组得 2ab = 12,
∴ (a - b)² = a² - 2ab + b² = 13 - 12 = 1。
∴ 小正方形的面积为 1,
∴ 小正方形的边长为 1。
∵ 大正方形的面积为 13,
∴ 大正方形的边长为$\sqrt{13}$,
∴ 大正方形与小正方形的相似比为$\sqrt{13}:1$
∵ 正方形四条边相等,四个角都是直角,
∴ 大正方形与小正方形相似
(2) 设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b(a ＞ b),则小正方形的边长为 a - b,由题意,得$\begin{cases} a^{2}+b^{2}=13, \\ a + b = 5, \end{cases}$由方程组得 2ab = 12,
∴ (a - b)² = a² - 2ab + b² = 13 - 12 = 1。
∴ 小正方形的面积为 1,
∴ 小正方形的边长为 1。
∵ 大正方形的面积为 13,
∴ 大正方形的边长为$\sqrt{13}$,
∴ 大正方形与小正方形的相似比为$\sqrt{13}:1$
解析
【分析】
（1）证明两个多边形相似需满足对应角相等、对应边成比例。正方形的四个角均为直角，四条边都相等，天然满足相似多边形的判定条件，可直接推导证明。
（2）相似比为两个正方形的边长之比，因此需要分别求出大小正方形的边长。大正方形边长是直角三角形的斜边，由勾股定理可得直角边$a、b$满足$a^2+b^2=13$，结合已知$a+b=5$，利用完全平方公式的变形求出$a-b$的值（即小正方形边长），最后计算边长比即可得到相似比。
【解析】
(1) 证明：
∵ 正方形的四条边相等，四个角都是直角，
∴ 大、小正方形的对应角均相等（都为$90°$），对应边的比为定值，满足相似多边形的判定要求，因此大正方形与小正方形相似。
(2) 解：设直角三角形两条直角边长为$a、b$（$a＞b$），则小正方形的边长为$a-b$。
由题意可得方程组：
$\begin{cases} a^{2}+b^{2}=13 \\ a + b = 5 \end{cases}$
将$a+b=5$两边平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25$，代入$a^2+b^2=13$，解得$2ab=12$。
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=13-12=1$，因此小正方形边长$a-b=1$。
已知大正方形面积为13，故大正方形边长为$\sqrt{13}$。
相似比为对应边的比，因此大正方形与小正方形的相似比为$\sqrt{13}:1$。
【答案】
(1)
∵ 正方形四条边相等,四个角都是直角,
∴ 大正方形与小正方形相似
(2) 大正方形与小正方形的相似比为$\sqrt{13}:1$
【知识点】
相似多边形判定，完全平方公式，勾股定理
【点评】
本题是数形结合的基础综合题，将几何图形性质和代数公式变形结合考查，解题的核心是找到直角三角形边长与大小正方形边长的关联，熟练掌握完全平方公式的变形是求解第二问的关键。
【难度系数】
0.7
（1）证明两个多边形相似需满足对应角相等、对应边成比例。正方形的四个角均为直角，四条边都相等，天然满足相似多边形的判定条件，可直接推导证明。
（2）相似比为两个正方形的边长之比，因此需要分别求出大小正方形的边长。大正方形边长是直角三角形的斜边，由勾股定理可得直角边$a、b$满足$a^2+b^2=13$，结合已知$a+b=5$，利用完全平方公式的变形求出$a-b$的值（即小正方形边长），最后计算边长比即可得到相似比。
【解析】
(1) 证明：
∵ 正方形的四条边相等，四个角都是直角，
∴ 大、小正方形的对应角均相等（都为$90°$），对应边的比为定值，满足相似多边形的判定要求，因此大正方形与小正方形相似。
(2) 解：设直角三角形两条直角边长为$a、b$（$a＞b$），则小正方形的边长为$a-b$。
由题意可得方程组：
$\begin{cases} a^{2}+b^{2}=13 \\ a + b = 5 \end{cases}$
将$a+b=5$两边平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25$，代入$a^2+b^2=13$，解得$2ab=12$。
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=13-12=1$，因此小正方形边长$a-b=1$。
已知大正方形面积为13，故大正方形边长为$\sqrt{13}$。
相似比为对应边的比，因此大正方形与小正方形的相似比为$\sqrt{13}:1$。
【答案】
(1)
∵ 正方形四条边相等,四个角都是直角,
∴ 大正方形与小正方形相似
(2) 大正方形与小正方形的相似比为$\sqrt{13}:1$
【知识点】
相似多边形判定，完全平方公式，勾股定理
【点评】
本题是数形结合的基础综合题，将几何图形性质和代数公式变形结合考查，解题的核心是找到直角三角形边长与大小正方形边长的关联，熟练掌握完全平方公式的变形是求解第二问的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20。
(1)如图①,若矩形ABCD四周有宽为1的环形区域,则图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗?请说明理由。
(2)如图②,当x的值为多少时,图中的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似。
(1)如图①,若矩形ABCD四周有宽为1的环形区域,则图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗?请说明理由。
(2)如图②,当x的值为多少时,图中的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似。
答案
5. (1) 不相似。理由如下:AB = 30,A'B' = 28,BC = 20,B'C' = 18,而$\frac{28}{30} ≠ \frac{18}{20}$,故矩形 ABCD 与矩形A'B'C'D'不相似
(2) 若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似,则$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC} = \frac{B'C'}{AB}$,即$\frac{30 - 2x}{30} = \frac{20 - 2}{20}$或$\frac{30 - 2x}{20} = \frac{20 - 2}{30}$,解得 x = 1.5 或 x = 9。故当x = 1.5 或 x = 9 时,矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D'相似
(2) 若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似,则$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC} = \frac{B'C'}{AB}$,即$\frac{30 - 2x}{30} = \frac{20 - 2}{20}$或$\frac{30 - 2x}{20} = \frac{20 - 2}{30}$,解得 x = 1.5 或 x = 9。故当x = 1.5 或 x = 9 时,矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D'相似
解析
【分析】
(1) 判断两个矩形是否相似，因为矩形四个角都是直角，所以只需验证两组邻边的比是否相等即可。先计算内部小矩形的长和宽，再分别计算长的比值和宽的比值，对比是否相等即可判断是否相似。
(2) 两个矩形相似时，对应边的比例关系存在两种情况：一是小矩形的长对应大矩形的长、小矩形的宽对应大矩形的宽；二是小矩形的长对应大矩形的宽、小矩形的宽对应大矩形的长。分别根据两种情况列比例式，解方程即可求出x的取值。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
由题意得，$A'B' = AB - 2×1 = 30-2=28$，$B'C' = BC - 2×1=20-2=18$。
计算邻边的比值：$\frac{A'B'}{AB}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$。
因为$\frac{14}{15}≠\frac{9}{10}$，对应边不成比例，所以矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似。
(2) 若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，分两种情况讨论：
① 当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$时，代入$A'B'=30-2x$，$B'C'=18$，得：
$\frac{30-2x}{30}=\frac{18}{20}$
交叉相乘化简得：$600-40x=540$，解得$x=1.5$。
② 当$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$时，代入数值得：
$\frac{30-2x}{20}=\frac{18}{30}$
交叉相乘化简得：$900-60x=360$，解得$x=9$。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；(2) $x=1.5$或$x=9$
【知识点】
相似多边形的判定，矩形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定条件，解题核心是明确矩形相似只需邻边对应成比例，需要注意对应边的两种匹配情况，避免遗漏第二种解。
【难度系数】
0.6
(1) 判断两个矩形是否相似，因为矩形四个角都是直角，所以只需验证两组邻边的比是否相等即可。先计算内部小矩形的长和宽，再分别计算长的比值和宽的比值，对比是否相等即可判断是否相似。
(2) 两个矩形相似时，对应边的比例关系存在两种情况：一是小矩形的长对应大矩形的长、小矩形的宽对应大矩形的宽；二是小矩形的长对应大矩形的宽、小矩形的宽对应大矩形的长。分别根据两种情况列比例式，解方程即可求出x的取值。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
由题意得，$A'B' = AB - 2×1 = 30-2=28$，$B'C' = BC - 2×1=20-2=18$。
计算邻边的比值：$\frac{A'B'}{AB}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$。
因为$\frac{14}{15}≠\frac{9}{10}$，对应边不成比例，所以矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似。
(2) 若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，分两种情况讨论：
① 当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$时，代入$A'B'=30-2x$，$B'C'=18$，得：
$\frac{30-2x}{30}=\frac{18}{20}$
交叉相乘化简得：$600-40x=540$，解得$x=1.5$。
② 当$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$时，代入数值得：
$\frac{30-2x}{20}=\frac{18}{30}$
交叉相乘化简得：$900-60x=360$，解得$x=9$。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；(2) $x=1.5$或$x=9$
【知识点】
相似多边形的判定，矩形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定条件，解题核心是明确矩形相似只需邻边对应成比例，需要注意对应边的两种匹配情况，避免遗漏第二种解。
【难度系数】
0.6
