5. a,b,c,d是成比例线段,其中$a=3\ \mathrm{cm},d=4\ \mathrm{cm},c=6\ \mathrm{cm}$,则$b=(\quad)$。

A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$
C.$\frac{2}{9}\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$

D

【分析】
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a,b,c,d成比例，则按给定顺序满足a:b = c:d。解题时先根据定义列出比例式，再利用比例的基本性质“交叉相乘相等”将比例式转化为一元一次方程，最后代入已知数值求解即可，注意不要打乱四条线段的给定顺序，否则会出现计算错误。
【解析】
∵a,b,c,d是成比例线段
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
将$a=3\ \mathrm{cm},d=4\ \mathrm{cm},c=6\ \mathrm{cm}$代入上式得：
$\frac{3}{b}=\frac{6}{4}$
由比例的基本性质交叉相乘得：$6b=3×4$
即$6b=12$，解得$b=2\ \mathrm{cm}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对成比例线段概念的理解，解题的关键是明确成比例线段的排列顺序，避免因调换线段顺序导致计算错误，熟练掌握比例的基本性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.8

6. 如果$mn=ab≠0$,那么下列比例式错误的是()。

A.$\frac{a}{m}=\frac{n}{b}$
B.$\frac{a}{n}=\frac{m}{b}$
C.$\frac{m}{a}=\frac{n}{b}$
D.$\frac{m}{a}=\frac{b}{n}$

6. C

【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题思路是：根据“比例的两个内项之积等于两个外项之积”，将每个选项的比例式转化为等积式，再与题干给出的已知条件$mn=ab$进行比对，若转化后的等积式与已知不一致，对应的比例式就是错误的。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两内项的乘积等于两外项的乘积，且题干已知$mn=ab≠0$，所有分母均不为0，逐一验证选项：
选项A：$\frac{a}{m}=\frac{n}{b}$，交叉相乘得$ab=mn$，与已知一致，该比例式正确，不符合题意；
选项B：$\frac{a}{n}=\frac{m}{b}$，交叉相乘得$ab=mn$，与已知一致，该比例式正确，不符合题意；
选项C：$\frac{m}{a}=\frac{n}{b}$，交叉相乘得$mb=na$，与已知$mn=ab$不一致，该比例式错误，符合题意；
选项D：$\frac{m}{a}=\frac{b}{n}$，交叉相乘得$mn=ab$，与已知一致，该比例式正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础题型，核心考查比例式与等积式的互化方法，做题时注意区分比例的内项和外项，避免交叉相乘时混淆对应项即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

7. 若$\frac{a - b}{b} = \frac{5}{4}$，则$\frac{a}{b} =$ 。

7. $\frac{9}{4}$

【分析】
本题是已知含a、b的比例式求$\frac{a}{b}$的值，可从两个基础思路入手：思路1：利用分式减法规则将等号左侧的分式拆分，直接得到含$\frac{a}{b}$的式子，移项即可求解；思路2：利用比例的基本性质交叉相乘，先推导a和b的数量关系，再变形得到比值，两种方法均为初中阶段基础运算方法，难度较低。
【解析】
方法一：拆分分式法
根据分式的运算规则，$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a}{b}-1$，
已知$\frac{a-b}{b}=\frac{5}{4}$，代入可得：
$\frac{a}{b}-1=\frac{5}{4}$，
移项计算得：$\frac{a}{b}=\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$。
方法二：比例基本性质法
根据比例“两内项之积等于两外项之积”的性质，交叉相乘得：
$4(a-b)=5b$，
去括号得：$4a-4b=5b$，
移项合并同类项得：$4a=9b$，
由原式分母为$b$可知$b≠0$，等式两边同时除以$4b$得：
$\frac{a}{b}=\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
分式的运算、比例的基本性质
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，解题方法灵活，核心考查对分式运算规则和比例基本性质的掌握，熟练掌握基础运算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

8. 已知CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=8，BC=6，则CD·AB=，$\frac{CD}{AB}$=。

8. 48 $\frac{12}{25}$

【分析】
解题思路可分三步：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；②根据直角三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，直接推导得到CD·AB的结果；③结合AB的长度求出CD的具体值，再计算CD与AB的比值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6：
1. 求斜边AB的长度
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，因此$AB=10$（边长取正值）。
2. 计算$CD·AB$的值
△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD$，
因此$\frac{1}{2}×AB×CD=24$，两边同乘2得：$AB·CD=48$。
3. 计算$\frac{CD}{AB}$的值
由$AB·CD=48$，$AB=10$，得$CD=\frac{48}{AB}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}$，
因此$\frac{CD}{AB}=\frac{\frac{24}{5}}{10}=\frac{24}{50}=\frac{12}{25}$。
【答案】
48；$\frac{12}{25}$
【知识点】
勾股定理，等面积法求高，比例计算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是掌握直角三角形面积的两种表达形式，利用等面积法快速建立边和高的关系，是高频基础考点。
【难度系数】
0.8

9. 下列两个图形一定相似的是()。

A.三角形与四边形
B.两个正五边形
C.两个六边形
D.两个四边形
只有对应边成比例，不能判定两个多边形相似，比如：两个任意的菱形。
只有对应角相等，也不能判定两个多边形相似，比如：两个任意的矩形。

9. B

【分析】
要判断两个多边形是否相似，首先要明确相似多边形的判定条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例，三个条件缺一不可。我们可以结合这个判定标准逐个分析选项：先排除边数不同的选项，再验证剩余选项是否满足对应角、对应边的要求，就能快速得出答案。
【解析】
相似多边形的定义为：各对应角相等、各对应边成比例的多边形是相似多边形，且相似多边形的边数必须相等。
选项A：三角形有3条边，四边形有4条边，边数不相同，一定不相似，排除；
选项B：正五边形的每个内角都为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，对应角全部相等；且正五边形的各条边长都相等，因此两个正五边形的对应边的比值一定相等，满足相似多边形的全部条件，一定相似；
选项C：两个六边形没有说明是正六边形，无法保证对应角相等、对应边成比例，不一定相似，排除；
选项D：两个四边形没有说明特殊属性，无法保证对应角相等、对应边成比例，不一定相似，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似多边形的判定 2. 正多边形的性质
【点评】
本题是相似多边形判定的基础题，解题关键是牢记相似多边形需要同时满足边数相同、对应角相等、对应边成比例三个条件，注意仅满足对应角相等或仅满足对应边成比例都不能判定多边形相似，边数相同的正多边形一定相似是常考结论。
【难度系数】
0.8

10. 下列说法正确的是()。

A.对应边成比例的多边形都相似
B.两个等腰梯形一定相似
C.有一个内角相等的两个菱形相似
D.两个角对应相等的梯形都相似

10. C

【分析】
解题时首先要明确相似多边形的核心判定条件：需同时满足对应角全部相等、对应边全部成比例，两个条件缺一不可。接下来结合各选项中特殊多边形的性质，逐一验证是否同时满足上述两个条件，不符合任意一个即可排除，最终确定正确答案。
【解析】
相似多边形的定义为：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，两个条件必须同时满足。
选项A：对应边成比例的多边形，对应角不一定相等，例如边长相等的菱形和正方形，对应边成比例，但内角不全部相等，二者不相似，故A错误；
选项B：两个等腰梯形的底角不一定相等，对应边也不一定成比例，例如底角为60°的等腰梯形和底角为45°的等腰梯形，对应角不相等，不相似，故B错误；
选项C：菱形的四条边都相等，因此任意两个菱形的对应边一定成比例；若有一个内角相等，结合菱形邻角互补的性质，可知其余三个内角也全部对应相等，同时满足相似多边形的两个判定条件，故两个菱形相似，C正确；
选项D：两个角对应相等的梯形，只能保证对应角相等，但对应边不一定成比例，例如两个底角均为60°的等腰梯形，一个上底长为1，另一个上底长为2，若二者腰长相等，则对应边不成比例，不相似，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.相似多边形的判定
2.菱形的性质
3.梯形的性质
【点评】
本题考查相似多边形的判定，解题的关键是牢记相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，不可遗漏任意一个，解题时要结合特殊四边形的性质逐一分析选项，避免因判断条件考虑不全出错。
【难度系数】
0.7

11. 已知四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$，$AB=4$，$A'B'=2$，$BC=6$，$∠ B' = 70°$。
(1)求$∠ B$的度数；
(2)求$B'C'$的长。

11. (1) $70°$ (2) 3

【分析】
解题时先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第(1)问求∠B的度数，已知两个四边形相似，∠B与∠B'是对应角，直接用对应角相等的性质即可求解；第(2)问求B'C'的长度，AB与A'B'、BC与B'C'分别是两组对应边，根据对应边成比例列等式，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：(1)
∵ 四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$，相似多边形的对应角相等，且∠B和∠B'是对应角，
∴ $∠ B = ∠ B' = 70°$。
(2)
∵ 四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$，相似多边形的对应边成比例，
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$，
把$AB=4$，$A'B'=2$，$BC=6$代入比例式得：
$\frac{4}{2} = \frac{6}{B'C'}$，
解得$B'C' = 3$。
【答案】
(1) $70°$；(2) $3$
【知识点】
相似多边形对应角相等、相似多边形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题，直接考查相似多边形性质的应用，解题关键是准确找到相似图形中的对应角和对应边，牢记性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1. 若10,15,6,x四个数成比例,则x的值为。

1. 9

【分析】
要解决这个问题，首先需明确四个数成比例的含义：若四个数按给定顺序a、b、c、d成比例，则对应比例式为a:b = c:d。接下来可以利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）列出关于x的一元一次方程，最后解方程即可求出x的值。
【解析】
已知10、15、6、x四个数成比例，按顺序列出比例式：
$10:15 = 6:x$
根据比例的基本性质“两内项积等于两外项积”可得：
$10x = 15×6$
计算等号右侧：$15×6=90$，即：
$10x=90$
两边同时除以10，解得：
$x=9$
【答案】
9
【知识点】
比例的定义；比例的基本性质
【点评】
本题考查比例相关性质的基础应用，解题的核心是根据四个数成比例的要求列出正确的比例式，再结合等式性质解方程即可，计算量小，掌握基础概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图,将一张大矩形纸片沿图中的虚线裁成三张大小相同的小矩形纸片。若得到的小矩形纸片的长与宽的比等于原来大矩形纸片的长与宽的比,求大矩形纸片的长与宽的比。（第2题）

$\sqrt{3}:1$

【分析】
解题时先通过设未知数表示出大矩形和小矩形的长、宽，再利用题目给出的比例相等的关系列方程求解。第一步：设大矩形的长为a、宽为b，结合图形可知裁出的小矩形的长等于大矩形的宽b，小矩形的宽为大矩形长的$\frac{1}{3}$，即$\frac{a}{3}$；第二步：根据“小矩形长与宽的比等于大矩形长与宽的比”列出比例式，再结合边长为正的实际意义求解比值即可。
【解析】
设大矩形纸片的长为$a$，宽为$b$（$a＞0$，$b＞0$）。
由图形可得，裁得的小矩形纸片的长为$b$，宽为$\frac{a}{3}$。
根据题意，小矩形长与宽的比与大矩形长与宽的比相等，列方程得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{3}}$
整理得：$a^2=3b^2$，
由于$a$、$b$均为正数，对等式两边开平方得$a=\sqrt{3}b$，
因此大矩形长与宽的比为$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}b}{b}=\sqrt{3}:1$。
【答案】
$\sqrt{3}:1$
【知识点】
比例的性质，一元二次方程的应用，矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确梳理大小矩形各边的对应关系，根据题干给出的等量关系列方程求解，计算时要注意结合边长为正的实际情况舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7