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18. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,点$D$在$BC$边上,$∠ ADC=2∠ B$,$AD=5$,则$BC$的长为（
A.7
B.8
C.9
D.10
C
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
18.C
解析
【分析】
解题时首先观察角的关系：∠ADC是△ABD的外角，结合已知∠ADC=2∠B，可推出∠B=∠BAD，根据等角对等边得到BD=AD；再在Rt△ACD中利用勾股定理求出CD的长度，最后将CD与BD相加即可得到BC的长度。
【解析】
1. 推导BD的长度：
∵∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，得∠ADC=∠B+∠BAD
又
∵已知∠ADC=2∠B
∴2∠B=∠B+∠BAD，化简得∠B=∠BAD
根据等角对等边，可得BD=AD
∵AD=5，
∴BD=5
2. 计算CD的长度：
在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=3，AD=5，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
3. 计算BC的长度：
$BC=CD+BD=4+5=9$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质、等腰三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用二倍角条件结合外角性质转化得到等角，进而得到相等线段，再结合勾股定理求解线段长度，考察学生对基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察角的关系：∠ADC是△ABD的外角，结合已知∠ADC=2∠B，可推出∠B=∠BAD，根据等角对等边得到BD=AD；再在Rt△ACD中利用勾股定理求出CD的长度，最后将CD与BD相加即可得到BC的长度。
【解析】
1. 推导BD的长度：
∵∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，得∠ADC=∠B+∠BAD
又
∵已知∠ADC=2∠B
∴2∠B=∠B+∠BAD，化简得∠B=∠BAD
根据等角对等边，可得BD=AD
∵AD=5，
∴BD=5
2. 计算CD的长度：
在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=3，AD=5，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
3. 计算BC的长度：
$BC=CD+BD=4+5=9$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质、等腰三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用二倍角条件结合外角性质转化得到等角，进而得到相等线段，再结合勾股定理求解线段长度，考察学生对基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
19. 如图，在边长为1的立方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着立方体的外表面爬到顶点B的最短路径长度是（
A.3
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1
B
）A.3
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1
答案
19.B
解析
【分析】
要计算立方体表面从A到B的最短路径，由于蚂蚁沿外表面爬行，不能直接穿过立方体内部，因此需要把包含A、B两点的两个相邻面展开为同一平面。根据两点之间线段最短，此时A、B两点的线段长度就是最短路径，再结合勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将立方体中A所在的正面和B所在的右侧面展开为同一平面，得到一个长为$1+1=2$、宽为1的长方形，此时A、B为该长方形的两个对角顶点。
根据勾股定理，最短路径长度为：
$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
【答案】
B
【知识点】
平面展开最短路径问题；勾股定理；两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题目，核心解题思路是“化立体为平面”，将曲面路径转化为平面内的线段求解，需要熟练掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
要计算立方体表面从A到B的最短路径，由于蚂蚁沿外表面爬行，不能直接穿过立方体内部，因此需要把包含A、B两点的两个相邻面展开为同一平面。根据两点之间线段最短，此时A、B两点的线段长度就是最短路径，再结合勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将立方体中A所在的正面和B所在的右侧面展开为同一平面，得到一个长为$1+1=2$、宽为1的长方形，此时A、B为该长方形的两个对角顶点。
根据勾股定理，最短路径长度为：
$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
【答案】
B
【知识点】
平面展开最短路径问题；勾股定理；两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题目，核心解题思路是“化立体为平面”，将曲面路径转化为平面内的线段求解，需要熟练掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
20.在平面直角坐标系中，O为原点，已知点A(-2,4)，点B(1,0)，则线段AB的长度是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
20.C
解析
【分析】
本题要求计算平面直角坐标系中两点连线的长度，解题核心是运用两点间距离公式求解。首先需明确两点间距离公式的形式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，接下来将点A、B的坐标对应代入公式，按运算顺序逐步计算即可得到线段AB的长度。
【解析】
已知点A坐标为$(-2,4)$，点B坐标为$(1,0)$，代入两点间距离公式可得：
$\begin{aligned}AB&=\sqrt{(-2-1)^2+(4-0)^2}\\&=\sqrt{(-3)^2+4^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 平方根运算
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查对两点间距离公式的记忆和应用，计算时注意坐标相减的符号处理，避免运算错误即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题要求计算平面直角坐标系中两点连线的长度，解题核心是运用两点间距离公式求解。首先需明确两点间距离公式的形式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，接下来将点A、B的坐标对应代入公式，按运算顺序逐步计算即可得到线段AB的长度。
【解析】
已知点A坐标为$(-2,4)$，点B坐标为$(1,0)$，代入两点间距离公式可得：
$\begin{aligned}AB&=\sqrt{(-2-1)^2+(4-0)^2}\\&=\sqrt{(-3)^2+4^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 平方根运算
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查对两点间距离公式的记忆和应用，计算时注意坐标相减的符号处理，避免运算错误即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
21.定义:对角线互相垂直的四边形叫作“垂直四边形”.如图,四边形ABCD为“垂直四边形”,对角线AC,BD交于点O,若$AO=1$,$BO=2$,$CO=3$,$DO=4$,则$AB^2+CD^2$的值为 (
A.20
B.25
C.30
D.35
C
)A.20
B.25
C.30
D.35
答案
21.C
解析
【分析】
首先读懂“垂直四边形”的新定义，可知其对角线互相垂直，因此图中AC与BD垂直，△AOB和△COD均为直角三角形。要求$AB^2+CD^2$的值，我们可以利用勾股定理，分别将$AB^2$和$CD^2$用已知的AO、BO、CO、DO的长度表示，再代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是“垂直四边形”，
∴$AC⊥ BD$，即$∠ AOB=∠ COD=90°$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB^2=AO^2+BO^2$，
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得：$CD^2=CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$。
将$AO=1$，$BO=2$，$CO=3$，$DO=4$代入得：
原式$=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理的应用，解题核心是读懂新定义得到直角三角形，再结合勾股定理列式计算，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.75
首先读懂“垂直四边形”的新定义，可知其对角线互相垂直，因此图中AC与BD垂直，△AOB和△COD均为直角三角形。要求$AB^2+CD^2$的值，我们可以利用勾股定理，分别将$AB^2$和$CD^2$用已知的AO、BO、CO、DO的长度表示，再代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是“垂直四边形”，
∴$AC⊥ BD$，即$∠ AOB=∠ COD=90°$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB^2=AO^2+BO^2$，
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得：$CD^2=CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$。
将$AO=1$，$BO=2$，$CO=3$，$DO=4$代入得：
原式$=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理的应用，解题核心是读懂新定义得到直角三角形，再结合勾股定理列式计算，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.75
22.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$的对边长$a=3$，则斜边长$c=$
6
，$∠ B$的对边长$b=$$3\sqrt{3}$
。答案
22.6 $3\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道直角三角形边角计算的基础题，解题思路如下：首先观察到题干给出含30°角的直角三角形，先回忆该类三角形的特殊性质：30°角所对的直角边长度是斜边的一半，已知30°角的对边a=3，可直接求出斜边c；求出斜边后，已知直角三角形的两条边长，再利用勾股定理就能计算出另一条直角边b的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$的对边$a=3$。
1. 求斜边长$c$：
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$c=2a=2×3=6$
2. 求$∠ B$的对边长$b$：
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形得$b=\sqrt{c^2 - a^2}$，代入数值计算：
$b=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
$6$；$3\sqrt{3}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查直角三角形的相关性质，只要熟练掌握30°直角三角形的边角特征和勾股定理的应用即可快速求解，计算时注意二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.9
这是一道直角三角形边角计算的基础题，解题思路如下：首先观察到题干给出含30°角的直角三角形，先回忆该类三角形的特殊性质：30°角所对的直角边长度是斜边的一半，已知30°角的对边a=3，可直接求出斜边c；求出斜边后，已知直角三角形的两条边长，再利用勾股定理就能计算出另一条直角边b的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$的对边$a=3$。
1. 求斜边长$c$：
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$c=2a=2×3=6$
2. 求$∠ B$的对边长$b$：
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形得$b=\sqrt{c^2 - a^2}$，代入数值计算：
$b=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
$6$；$3\sqrt{3}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查直角三角形的相关性质，只要熟练掌握30°直角三角形的边角特征和勾股定理的应用即可快速求解，计算时注意二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.9
23.若一个等腰直角三角形的直角边长为$\sqrt{2}$，则它的斜边长为
2
，面积为1
。答案
23.2 1
解析
【分析】
本题需要分别求解等腰直角三角形的斜边长和面积，解题思路如下：1. 求斜边长：等腰直角三角形两条直角边长度相等，已知直角边长，可直接用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）计算斜边；2. 求面积：等腰直角三角形的两条直角边互为底和高，结合三角形面积公式即可求解。
【解析】
1. 计算斜边长：
已知等腰直角三角形直角边长为$\sqrt{2}$，设斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$c^2=(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{4}=2$。
2. 计算面积：
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，该等腰直角三角形的两条直角边可分别作为底和高，代入得：
$S=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
2；1
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理和三角形面积公式在等腰直角三角形中的应用，熟练掌握相关公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题需要分别求解等腰直角三角形的斜边长和面积，解题思路如下：1. 求斜边长：等腰直角三角形两条直角边长度相等，已知直角边长，可直接用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）计算斜边；2. 求面积：等腰直角三角形的两条直角边互为底和高，结合三角形面积公式即可求解。
【解析】
1. 计算斜边长：
已知等腰直角三角形直角边长为$\sqrt{2}$，设斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$c^2=(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{4}=2$。
2. 计算面积：
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，该等腰直角三角形的两条直角边可分别作为底和高，代入得：
$S=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
2；1
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理和三角形面积公式在等腰直角三角形中的应用，熟练掌握相关公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
24. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，$BC=4$，则$AB=$
8
，$AC=$$4\sqrt{3}$
。答案
24.8 $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是特殊直角三角形的计算问题，解题思路如下：第一步，先根据直角三角形的内角和求出第三个角的度数，得到30°的锐角；第二步，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合已知的BC长度求出斜边AB；第三步，运用勾股定理，代入AB和BC的长度计算出AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-60°=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$对应的直角边为$BC$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
已知$BC=4$，代入得$AB=2× BC=2×4=8$；
根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$8$；$4\sqrt{3}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是直角三角形相关性质的基础应用题型，核心考查对特殊直角三角形边角关系和勾股定理的掌握，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题是特殊直角三角形的计算问题，解题思路如下：第一步，先根据直角三角形的内角和求出第三个角的度数，得到30°的锐角；第二步，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合已知的BC长度求出斜边AB；第三步，运用勾股定理，代入AB和BC的长度计算出AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-60°=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$对应的直角边为$BC$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
已知$BC=4$，代入得$AB=2× BC=2×4=8$；
根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$8$；$4\sqrt{3}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是直角三角形相关性质的基础应用题型，核心考查对特殊直角三角形边角关系和勾股定理的掌握，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
