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25.如图,小正方形的边长为1,连接小正方形的三个顶点得△ABC,则△ABC的面积是
（第25题图）
（第26题图）
$\frac{3}{2}$
,AC边上的高是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
.（第25题图）
（第26题图）
答案
25.$\frac{3}{2}$ $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
观察图形可知△ABC位于边长为2的大正方形内，直接找△ABC的底和高计算面积较为复杂，因此优先采用割补法：用大正方形的总面积减去周围3个不属于△ABC的直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。求AC边上的高时，先通过勾股定理算出AC的长度，再结合已得的三角形面积，利用三角形面积公式的变形：高=2×面积÷底，即可求出对应高的长度。
【解析】
1. 计算△ABC的面积
大正方形由4个边长为1的小正方形组成，边长为2，因此大正方形面积为：$2×2=4$。
△ABC周围3个直角三角形的面积分别为：
① 底为2、高为1的直角三角形：$S_1=\frac{1}{2}×2×1=1$
② 底为1、高为1的直角三角形：$S_2=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
③ 底为2、高为1的直角三角形：$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$
因此△ABC的面积为：$S_{△ ABC}=4 - 1 - \frac{1}{2} - 1=\frac{3}{2}$。
2. 计算AC边上的高
根据勾股定理，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
设AC边上的高为$h$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h=\frac{3}{2}$
解得：$h=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$；$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
割补法求面积、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题主要考查网格中不规则图形的面积计算和勾股定理的应用，割补法是计算网格内不规则图形面积的常用技巧，结合三角形面积公式即可快速求解对应高线，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
观察图形可知△ABC位于边长为2的大正方形内，直接找△ABC的底和高计算面积较为复杂，因此优先采用割补法：用大正方形的总面积减去周围3个不属于△ABC的直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。求AC边上的高时，先通过勾股定理算出AC的长度，再结合已得的三角形面积，利用三角形面积公式的变形：高=2×面积÷底，即可求出对应高的长度。
【解析】
1. 计算△ABC的面积
大正方形由4个边长为1的小正方形组成，边长为2，因此大正方形面积为：$2×2=4$。
△ABC周围3个直角三角形的面积分别为：
① 底为2、高为1的直角三角形：$S_1=\frac{1}{2}×2×1=1$
② 底为1、高为1的直角三角形：$S_2=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
③ 底为2、高为1的直角三角形：$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$
因此△ABC的面积为：$S_{△ ABC}=4 - 1 - \frac{1}{2} - 1=\frac{3}{2}$。
2. 计算AC边上的高
根据勾股定理，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
设AC边上的高为$h$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h=\frac{3}{2}$
解得：$h=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$；$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
割补法求面积、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题主要考查网格中不规则图形的面积计算和勾股定理的应用，割补法是计算网格内不规则图形面积的常用技巧，结合三角形面积公式即可快速求解对应高线，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
26.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处.过了5 s后，测得这辆小汽车行驶到B处，与车速检测仪间的距离为50 m，则这段时间内这辆小汽车的行驶速度是
8
m/s.答案
26.8
解析
【分析】
首先观察图形可知△ACB是直角三角形，∠C为直角。我们的目标是求小汽车的行驶速度，需要先求出小汽车5s行驶的路程BC的长度。已知直角三角形的斜边AB=50m，一条直角边AC=30m，可利用勾股定理算出BC的长度，再根据“速度=路程÷时间”的公式即可算出速度。
【解析】
解：由题意可知，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=30m，AB=50m，小汽车行驶BC段的时间t=5s。
根据勾股定理，在Rt△ABC中：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
代入数据得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{50^2 - 30^2}=\sqrt{2500 - 900}=\sqrt{1600}=40\mathrm{m}$
根据速度计算公式：
$v=\frac{s}{t}=\frac{BC}{t}=\frac{40\mathrm{m}}{5\mathrm{s}}=8\mathrm{m/s}$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理，速度计算
【点评】
这是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，先利用勾股定理求出行驶路程，再结合行程公式计算速度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△ACB是直角三角形，∠C为直角。我们的目标是求小汽车的行驶速度，需要先求出小汽车5s行驶的路程BC的长度。已知直角三角形的斜边AB=50m，一条直角边AC=30m，可利用勾股定理算出BC的长度，再根据“速度=路程÷时间”的公式即可算出速度。
【解析】
解：由题意可知，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=30m，AB=50m，小汽车行驶BC段的时间t=5s。
根据勾股定理，在Rt△ABC中：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
代入数据得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{50^2 - 30^2}=\sqrt{2500 - 900}=\sqrt{1600}=40\mathrm{m}$
根据速度计算公式：
$v=\frac{s}{t}=\frac{BC}{t}=\frac{40\mathrm{m}}{5\mathrm{s}}=8\mathrm{m/s}$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理，速度计算
【点评】
这是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，先利用勾股定理求出行驶路程，再结合行程公式计算速度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
27. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$∠ B = 45°$，$∠ C = 60°$，$AD = \sqrt{3}$。
(1) 求$BD$，$CD$的长；
(2) 求$△ ABC$的面积及$BC$的长。
(1) 求$BD$，$CD$的长；
(2) 求$△ ABC$的面积及$BC$的长。
答案
27.解:(1)$\because AD⊥BC$,
$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°.$
由$∠B=45°$,得$△ABD$ 为等腰直角三角形,$\therefore BD=AD=\sqrt{3}.$
由$∠C=60°$,得$∠DAC=30°$,
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC.$
设$CD=x$,根据勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2,$
$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得 $x=1$,
$\therefore CD=1.$
(2)$BC=BD+CD=\sqrt{3}+1.$
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AD=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}.$
$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°.$
由$∠B=45°$,得$△ABD$ 为等腰直角三角形,$\therefore BD=AD=\sqrt{3}.$
由$∠C=60°$,得$∠DAC=30°$,
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC.$
设$CD=x$,根据勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2,$
$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得 $x=1$,
$\therefore CD=1.$
(2)$BC=BD+CD=\sqrt{3}+1.$
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AD=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
本题需将△ABC拆分为两个直角三角形分别求解。(1)首先由AD⊥BC得到两个直角三角形，在Rt△ABD中，∠B=45°，可判定该三角形为等腰直角三角形，直接得到BD与AD相等；在Rt△ADC中，由∠C=60°可推出∠DAC=30°，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”得到AC与CD的数量关系，再结合勾股定理列方程即可求出CD的长度。(2)BC的长度为BD与CD的和，再以BC为底、AD为高，代入三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
(1) $\because AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.
由$∠ B=45°$，得$△ ABD$为等腰直角三角形，$\therefore BD=AD=\sqrt{3}$.
由$∠ C=60°$，得$∠ DAC=90°-∠ C=30°$,
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC$.
设$CD=x$，则$AC=2x$，根据勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$,
$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，解得$x=1$（边长为正，舍去负根）,
$\therefore CD=1$.
(2) $BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
【答案】
(1) $BD=\sqrt{3}$，$CD=1$；
(2) $BC$的长为$\sqrt{3}+1$，$△ ABC$的面积为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质，含30°角直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于三角形计算的基础题型，解题核心是利用三角形的高将原三角形转化为两个特殊直角三角形，结合特殊角的性质和勾股定理求出边长，再计算面积，计算时注意遵循二次根式的运算规则即可。
【难度系数】
0.75
本题需将△ABC拆分为两个直角三角形分别求解。(1)首先由AD⊥BC得到两个直角三角形，在Rt△ABD中，∠B=45°，可判定该三角形为等腰直角三角形，直接得到BD与AD相等；在Rt△ADC中，由∠C=60°可推出∠DAC=30°，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”得到AC与CD的数量关系，再结合勾股定理列方程即可求出CD的长度。(2)BC的长度为BD与CD的和，再以BC为底、AD为高，代入三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
(1) $\because AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.
由$∠ B=45°$，得$△ ABD$为等腰直角三角形，$\therefore BD=AD=\sqrt{3}$.
由$∠ C=60°$，得$∠ DAC=90°-∠ C=30°$,
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC$.
设$CD=x$，则$AC=2x$，根据勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$,
$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，解得$x=1$（边长为正，舍去负根）,
$\therefore CD=1$.
(2) $BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
【答案】
(1) $BD=\sqrt{3}$，$CD=1$；
(2) $BC$的长为$\sqrt{3}+1$，$△ ABC$的面积为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质，含30°角直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于三角形计算的基础题型，解题核心是利用三角形的高将原三角形转化为两个特殊直角三角形，结合特殊角的性质和勾股定理求出边长，再计算面积，计算时注意遵循二次根式的运算规则即可。
【难度系数】
0.75
28.某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过测量得到如下记录表：
测量示意图：
测量数据：
①测得水平距离$BC$的长为$24$ m
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$AB$的长为$25$ m
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为$1.7$ m
数据处理组得到上面数据以后做了分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度$AD$。
(1)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=24$ m，$AB=25$ m，求线段$AD$的长；
(2)如果小明想要风筝沿$DA$方向再上升$11$ m，$BC$的长度不变，则他应该再放出多少米线？
测量示意图：
测量数据：
①测得水平距离$BC$的长为$24$ m
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$AB$的长为$25$ m
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为$1.7$ m
数据处理组得到上面数据以后做了分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度$AD$。
(1)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=24$ m，$AB=25$ m，求线段$AD$的长；
(2)如果小明想要风筝沿$DA$方向再上升$11$ m，$BC$的长度不变，则他应该再放出多少米线？
答案
28.解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7(\mathrm{m}).$
$\because AD=AC+1.7,$
$\therefore AD=7+1.7=8.7(\mathrm{m}).$
(2)风筝上升 11 m 后,新高度 $A'D=8.7+11=19.7(\mathrm{m}),$
$A'C=A'D-1.7=19.7-1.7=18(\mathrm{m}).$
新风筝线长:$A'B=\sqrt{BC^2+A'C^2}=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30(\mathrm{m}).$
需放线长度:$30-25=5(\mathrm{m}).$
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7(\mathrm{m}).$
$\because AD=AC+1.7,$
$\therefore AD=7+1.7=8.7(\mathrm{m}).$
(2)风筝上升 11 m 后,新高度 $A'D=8.7+11=19.7(\mathrm{m}),$
$A'C=A'D-1.7=19.7-1.7=18(\mathrm{m}).$
新风筝线长:$A'B=\sqrt{BC^2+A'C^2}=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30(\mathrm{m}).$
需放线长度:$30-25=5(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
(1)要求风筝离地面的垂直高度AD，观察图形可知AD由AC和CD两段组成，其中CD是小明手到地面的距离1.7m，因此只需要求出AC的长度即可。已知△ABC是直角三角形，给出了斜边AB和直角边BC的长度，直接运用勾股定理就能求出AC，进而计算出AD的长。
(2)风筝沿DA方向上升11m后，新的垂直高度为原AD加11m，先算出新的直角边A'C的长度，BC长度保持不变，再次用勾股定理求出新的风筝线长度，用新的线长减去原来的线长，就是需要再放出的线的长度。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7(\mathrm{m})$
由题意可知$CD=1.7\mathrm{m}$，因此$AD=AC+CD=7+1.7=8.7(\mathrm{m})$
(2)风筝上升11m后，新高度$A'D=8.7+11=19.7(\mathrm{m})$，此时$A'C=A'D-CD=19.7-1.7=18(\mathrm{m})$
在$\mathrm{Rt}△A'BC$中，由勾股定理得新风筝线长：
$A'B=\sqrt{BC^2+A'C^2}=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30(\mathrm{m})$
需再放出的线长为$30-25=5(\mathrm{m})$
【答案】
(1)线段$AD$的长为$8.7\mathrm{m}$；(2)他应该再放出$5\mathrm{m}$线。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查数学知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要理清各线段的数量关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1)要求风筝离地面的垂直高度AD，观察图形可知AD由AC和CD两段组成，其中CD是小明手到地面的距离1.7m，因此只需要求出AC的长度即可。已知△ABC是直角三角形，给出了斜边AB和直角边BC的长度，直接运用勾股定理就能求出AC，进而计算出AD的长。
(2)风筝沿DA方向上升11m后，新的垂直高度为原AD加11m，先算出新的直角边A'C的长度，BC长度保持不变，再次用勾股定理求出新的风筝线长度，用新的线长减去原来的线长，就是需要再放出的线的长度。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7(\mathrm{m})$
由题意可知$CD=1.7\mathrm{m}$，因此$AD=AC+CD=7+1.7=8.7(\mathrm{m})$
(2)风筝上升11m后，新高度$A'D=8.7+11=19.7(\mathrm{m})$，此时$A'C=A'D-CD=19.7-1.7=18(\mathrm{m})$
在$\mathrm{Rt}△A'BC$中，由勾股定理得新风筝线长：
$A'B=\sqrt{BC^2+A'C^2}=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30(\mathrm{m})$
需再放出的线长为$30-25=5(\mathrm{m})$
【答案】
(1)线段$AD$的长为$8.7\mathrm{m}$；(2)他应该再放出$5\mathrm{m}$线。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查数学知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要理清各线段的数量关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
