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1. 计算$\sqrt{\frac{1}{8}} × \sqrt{32}$正确的结果是 （
A.4
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
B
）A.4
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题时有两种常用思路：思路一，直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个被开方数相乘，再对乘积开平方；思路二，先将两个二次根式分别化为最简二次根式，再将化简后的结果相乘，两种思路都能快速算出结果。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）可得：
$\sqrt{\frac{1}{8}} × \sqrt{32} = \sqrt{\frac{1}{8} × 32}$
计算根号内的乘法：$\frac{1}{8}×32=4$
对结果开平方：$\sqrt{4}=2$
方法二：先化简再计算
先将两个二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{32} = \sqrt{16×2} = 4\sqrt{2}$
再计算乘法：$\frac{\sqrt{2}}{4} × 4\sqrt{2} = (\frac{1}{4}×4)×(\sqrt{2}×\sqrt{2}) = 1×2 = 2$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法法则；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的运算能力，解题时可灵活选择计算方法，熟练掌握二次根式的相关性质和运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的乘法运算，解题时有两种常用思路：思路一，直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个被开方数相乘，再对乘积开平方；思路二，先将两个二次根式分别化为最简二次根式，再将化简后的结果相乘，两种思路都能快速算出结果。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）可得：
$\sqrt{\frac{1}{8}} × \sqrt{32} = \sqrt{\frac{1}{8} × 32}$
计算根号内的乘法：$\frac{1}{8}×32=4$
对结果开平方：$\sqrt{4}=2$
方法二：先化简再计算
先将两个二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{32} = \sqrt{16×2} = 4\sqrt{2}$
再计算乘法：$\frac{\sqrt{2}}{4} × 4\sqrt{2} = (\frac{1}{4}×4)×(\sqrt{2}×\sqrt{2}) = 1×2 = 2$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法法则；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的运算能力，解题时可灵活选择计算方法，熟练掌握二次根式的相关性质和运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 下列计算中正确的是 （
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{4}=\pm2$
C.$(\sqrt{3})^2=3$
D.$\pm\sqrt{9}=3$
C
）A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{4}=\pm2$
C.$(\sqrt{3})^2=3$
D.$\pm\sqrt{9}=3$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质以及平方根、算术平方根的概念，解题时需逐个分析选项，结合对应性质判断对错：首先明确算术平方根的结果为非负数，平方根有正负两个值，再结合二次根式的核心性质逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算根号内的部分，$(-2)^2=4$，$\sqrt{4}$是4的算术平方根，结果为2，不是-2，故A错误；
选项B：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根只有非负的结果，即$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，故B错误；
选项C：根据二次根式的性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，$\sqrt{3}$满足被开方数非负，因此$(\sqrt{3})^2=3$，故C正确；
选项D：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，平方根有两个互为相反数的结果，即$\pm\sqrt{9}=\pm3$，不是只有3，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质
2.算术平方根的定义
3.平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次根式相关概念的辨析，解题的关键是区分平方根和算术平方根的符号意义及取值要求，避免混淆两类运算的结果。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关性质以及平方根、算术平方根的概念，解题时需逐个分析选项，结合对应性质判断对错：首先明确算术平方根的结果为非负数，平方根有正负两个值，再结合二次根式的核心性质逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算根号内的部分，$(-2)^2=4$，$\sqrt{4}$是4的算术平方根，结果为2，不是-2，故A错误；
选项B：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根只有非负的结果，即$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，故B错误；
选项C：根据二次根式的性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，$\sqrt{3}$满足被开方数非负，因此$(\sqrt{3})^2=3$，故C正确；
选项D：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，平方根有两个互为相反数的结果，即$\pm\sqrt{9}=\pm3$，不是只有3，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质
2.算术平方根的定义
3.平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次根式相关概念的辨析，解题的关键是区分平方根和算术平方根的符号意义及取值要求，避免混淆两类运算的结果。
【难度系数】
0.8
3. 下列从左到右的变形不一定正确的是 （
A.$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{a^2} = |a|$
C.$(\sqrt{a})^2 = a\ (a ≥ 0)$
D.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
D
）A.$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{a^2} = |a|$
C.$(\sqrt{a})^2 = a\ (a ≥ 0)$
D.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断哪个变形不一定正确，需结合二次根式的定义（被开方数非负）、性质及运算法则的适用条件逐一分析每个选项：首先明确所有二次根式的被开方数必须≥0，再看每个等式左右两边成立的前提是否一致，若左边成立时右边不一定成立，那该变形就不一定正确。
【解析】
我们结合二次根式的相关要求逐一判断：
A. 等号左边$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$有意义，说明隐含条件$a≥0$，$b≥0$，此时$ab≥0$，符合二次根式乘法法则，变形一定正确。
B. 无论$a$取何值，$\sqrt{a^2}$的结果都是非负数，$|a|$的结果也恒为非负数，二者始终相等，变形一定正确。
C. 已经给出前提$a≥0$，此时$\sqrt{a}$有意义，根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2=a$恒成立，变形一定正确。
D. 等号左边$\sqrt{ab}$有意义仅要求$ab≥0$，存在两种情况：①$a≥0$且$b≥0$；②$a≤0$且$b≤0$。当出现第②种情况时，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$的被开方数为负数，无意义，此时等式不成立，因此该变形不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式有意义的条件；二次根式乘法法则
【点评】
本题易错点是忽略二次根式被开方数必须非负的前提，混淆二次根式乘法法则的正反适用条件，做题时要注意公式成立的限制范围，不能随意套用。
【难度系数】
0.7
要判断哪个变形不一定正确，需结合二次根式的定义（被开方数非负）、性质及运算法则的适用条件逐一分析每个选项：首先明确所有二次根式的被开方数必须≥0，再看每个等式左右两边成立的前提是否一致，若左边成立时右边不一定成立，那该变形就不一定正确。
【解析】
我们结合二次根式的相关要求逐一判断：
A. 等号左边$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$有意义，说明隐含条件$a≥0$，$b≥0$，此时$ab≥0$，符合二次根式乘法法则，变形一定正确。
B. 无论$a$取何值，$\sqrt{a^2}$的结果都是非负数，$|a|$的结果也恒为非负数，二者始终相等，变形一定正确。
C. 已经给出前提$a≥0$，此时$\sqrt{a}$有意义，根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2=a$恒成立，变形一定正确。
D. 等号左边$\sqrt{ab}$有意义仅要求$ab≥0$，存在两种情况：①$a≥0$且$b≥0$；②$a≤0$且$b≤0$。当出现第②种情况时，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$的被开方数为负数，无意义，此时等式不成立，因此该变形不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式有意义的条件；二次根式乘法法则
【点评】
本题易错点是忽略二次根式被开方数必须非负的前提，混淆二次根式乘法法则的正反适用条件，做题时要注意公式成立的限制范围，不能随意套用。
【难度系数】
0.7
4. 下列各数中与$\sqrt{2}$的积为有理数的是 （
A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题要求选出与$\sqrt{2}$的积为有理数的选项，解题思路为：首先明确有理数是整数和分数的统称，二次根式相乘时遵循$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$的运算法则，我们只需将每个选项分别与$\sqrt{2}$相乘，计算出结果后判断是否为有理数，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积，再判断结果属性：
A选项：$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
B选项：$3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{2×2}=\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求；
D选项：$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算、有理数的概念、无理数的判定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查二次根式的基础运算以及有理数、无理数的区分，难度较低，只要熟练掌握二次根式的运算法则和有理数的定义，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题要求选出与$\sqrt{2}$的积为有理数的选项，解题思路为：首先明确有理数是整数和分数的统称，二次根式相乘时遵循$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$的运算法则，我们只需将每个选项分别与$\sqrt{2}$相乘，计算出结果后判断是否为有理数，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积，再判断结果属性：
A选项：$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
B选项：$3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{2×2}=\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求；
D选项：$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算、有理数的概念、无理数的判定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查二次根式的基础运算以及有理数、无理数的区分，难度较低，只要熟练掌握二次根式的运算法则和有理数的定义，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
5. 计算$-\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12}$的结果为 （
A.$-6$
B.$-\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}$
D.$6$
B
）A.$-6$
B.$-\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}$
D.$6$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先确定运算结果的符号，再运用二次根式的乘法法则计算，最后化简得到结果即可。首先观察算式，一个负的二次根式乘一个正的二次根式，结果符号为负；再根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，将两个被开方数相乘，最后化简即可。
【解析】
根据二次根式的乘法运算法则计算：
$\begin{aligned}-\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12}&=-(\sqrt{\dfrac{1}{2}×12})\\&=-\sqrt{6}\end{aligned}$
所以结果为$-\sqrt{6}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘法法则的应用，解题时需注意先判断运算结果的符号，避免符号出错，同时要熟练掌握二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.8
解题时先确定运算结果的符号，再运用二次根式的乘法法则计算，最后化简得到结果即可。首先观察算式，一个负的二次根式乘一个正的二次根式，结果符号为负；再根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，将两个被开方数相乘，最后化简即可。
【解析】
根据二次根式的乘法运算法则计算：
$\begin{aligned}-\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12}&=-(\sqrt{\dfrac{1}{2}×12})\\&=-\sqrt{6}\end{aligned}$
所以结果为$-\sqrt{6}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘法法则的应用，解题时需注意先判断运算结果的符号，避免符号出错，同时要熟练掌握二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.8
6.化简$(-\sqrt{9})^2$的结果是（
A.－3
B.3
C.－9
D.9
D
）A.－3
B.3
C.－9
D.9
答案
6.D
解析
【分析】
本题是含二次根式与乘方的混合运算题，解题时遵循先算根号内、再算括号内、最后算乘方的顺序即可。首先要明确算术平方根的定义：$\sqrt{a}(a≥0)$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{9}$的结果是3而非$\pm3$；得到括号内的结果为-3后，再根据乘方的运算法则，负数的偶次幂为正数，计算平方即可得到最终结果。
【解析】
解：①计算算术平方根：根据算术平方根的定义，$\sqrt{9}=3$；
②化简括号内的式子：$-\sqrt{9}=-3$；
③计算乘方运算：$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$。
因此化简结果为9，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的概念，有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点为混淆算术平方根和平方根的概念，误将$\sqrt{9}$取值为$\pm3$，或忽略负号参与平方运算错误得到负结果，掌握基础概念和运算顺序即可正确解答。
【难度系数】
0.9
本题是含二次根式与乘方的混合运算题，解题时遵循先算根号内、再算括号内、最后算乘方的顺序即可。首先要明确算术平方根的定义：$\sqrt{a}(a≥0)$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{9}$的结果是3而非$\pm3$；得到括号内的结果为-3后，再根据乘方的运算法则，负数的偶次幂为正数，计算平方即可得到最终结果。
【解析】
解：①计算算术平方根：根据算术平方根的定义，$\sqrt{9}=3$；
②化简括号内的式子：$-\sqrt{9}=-3$；
③计算乘方运算：$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$。
因此化简结果为9，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的概念，有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点为混淆算术平方根和平方根的概念，误将$\sqrt{9}$取值为$\pm3$，或忽略负号参与平方运算错误得到负结果，掌握基础概念和运算顺序即可正确解答。
【难度系数】
0.9
7. 已知$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3}$，用含$a,b$的代数式表示$\sqrt{6}$为（
A.$a+b$
B.$2a$
C.$2b$
D.$ab$
D
）A.$a+b$
B.$2a$
C.$2b$
D.$ab$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的乘法法则：非负数的算术平方根的乘积等于乘积的算术平方根，反之乘积的算术平方根也可以拆分为各因数算术平方根的乘积。本题中$\sqrt{6}$可以拆分为$\sqrt{2×3}$，刚好对应已知的$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{3}$，再逐一验证各选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）可得：
$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}=\sqrt{2}×\sqrt{3}$
将$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3}$代入，得$\sqrt{6}=ab$。
验证其余选项：
A：$a+b=\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{6}$，错误；
B：$2a=2\sqrt{2}=\sqrt{8}≠\sqrt{6}$，错误；
C：$2b=2\sqrt{3}=\sqrt{12}≠\sqrt{6}$，错误。
因此只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，代数式表示
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察二次根式乘法法则的正向与逆向应用，熟悉二次根式运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次根式的乘法法则：非负数的算术平方根的乘积等于乘积的算术平方根，反之乘积的算术平方根也可以拆分为各因数算术平方根的乘积。本题中$\sqrt{6}$可以拆分为$\sqrt{2×3}$，刚好对应已知的$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{3}$，再逐一验证各选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）可得：
$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}=\sqrt{2}×\sqrt{3}$
将$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3}$代入，得$\sqrt{6}=ab$。
验证其余选项：
A：$a+b=\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{6}$，错误；
B：$2a=2\sqrt{2}=\sqrt{8}≠\sqrt{6}$，错误；
C：$2b=2\sqrt{3}=\sqrt{12}≠\sqrt{6}$，错误。
因此只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，代数式表示
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察二次根式乘法法则的正向与逆向应用，熟悉二次根式运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8. 下列二次根式中是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{50}$
A
）A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{50}$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先回忆最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来将每个选项依次对照这两个条件排查，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
先明确最简二次根式的判定规则：1.被开方数不含分母；2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐个分析选项：
A. $\sqrt{5}$：被开方数5是整数，且没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求。
B. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：被开方数含有分母，可化简为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式。
C. $\sqrt{12}$：被开方数$12=4×3$，其中4是能开得尽方的因数，可化简为$2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
D. $\sqrt{50}$：被开方数$50=25×2$，其中25是能开得尽方的因数，可化简为$5\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定，二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，牢记判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来将每个选项依次对照这两个条件排查，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
先明确最简二次根式的判定规则：1.被开方数不含分母；2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐个分析选项：
A. $\sqrt{5}$：被开方数5是整数，且没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求。
B. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：被开方数含有分母，可化简为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式。
C. $\sqrt{12}$：被开方数$12=4×3$，其中4是能开得尽方的因数，可化简为$2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
D. $\sqrt{50}$：被开方数$50=25×2$，其中25是能开得尽方的因数，可化简为$5\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定，二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，牢记判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.9
