登录
30. 求代数式 $a+\sqrt{a^2-2a+1}$ 的值，其中 $a=-2026$.
下面是小亮和小芳的解答过程：
小亮 解:原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+1-a=1$.
小芳 解:原式$=a+\sqrt{(a-1)^2}=a+a-1=-4053$.
(1)
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质，即
(3)求代数式 $a+2\sqrt{a^2-6a+9}$ 的值，其中 $a=-2026$.
下面是小亮和小芳的解答过程：
小亮 解:原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+1-a=1$.
小芳 解:原式$=a+\sqrt{(a-1)^2}=a+a-1=-4053$.
(1)
小亮
的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质，即
$\sqrt{a^2}=|a|$
；(3)求代数式 $a+2\sqrt{a^2-6a+9}$ 的值，其中 $a=-2026$.
答案
30.解:(1)小亮
(2)$\sqrt{a^2}=|a|$
(3)$\sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$.
$\because a=-2\ 026$,$a-3=-2\ 029＜0$,
$\therefore |a-3|=3-a$.
代入,得$a+2(3-a)=a+6-2a=-a+6$.
当$a=-2\ 026$时,
原式$=-(-2\ 026)+6=2\ 032$.
(2)$\sqrt{a^2}=|a|$
(3)$\sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$.
$\because a=-2\ 026$,$a-3=-2\ 029＜0$,
$\therefore |a-3|=3-a$.
代入,得$a+2(3-a)=a+6-2a=-a+6$.
当$a=-2\ 026$时,
原式$=-(-2\ 026)+6=2\ 032$.
解析
【分析】
这道题围绕二次根式的化简考查相关性质应用，解题思路如下：①首先明确二次根式的核心化简性质$\sqrt{a^2}=|a|$，去根号时必须先转化为绝对值形式，再根据绝对值内代数式的正负去绝对值；②第(1)问对比两人解法，判断谁没有遵循上述化简规则；③第(2)问直接对应二次根式的化简性质即可；④第(3)问先将根号内的式子配成完全平方，再代入a的取值判断绝对值内的正负，去绝对值后代入计算即可。
【解析】
(1) 小亮化简$\sqrt{(1-a)^2}$时，没有先转化为绝对值形式，直接去掉根号得到$1-a$，未遵循二次根式的化简规则，因此小亮的解法是错误的。
(2) 二次根式的核心化简性质为$\sqrt{a^2}=|a|$，即开平方的结果为非负数，需要根据底数的正负去绝对值，这是小亮未掌握的性质。
(3) 解：先化简代数式
$\sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$
$\because a=-2026$，$\therefore a-3=-2026-3=-2029＜0$
$\therefore |a-3|=3-a$
代入原式得：
$a+2\sqrt{a^2-6a+9}=a+2(3-a)=a+6-2a=-a+6$
将$a=-2026$代入得：
原式$=-(-2026)+6=2026+6=2032$
【答案】
(1) 小亮
(2) $\sqrt{a^2}=|a|$
(3) $2032$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质，完全平方公式
【点评】
本题易错点是化简二次根式时直接去掉根号忽略绝对值的运用，做题时要牢记二次根式的结果是非负的，先判断完全平方式底数的正负，再正确去绝对值计算，避免因忽略符号判断出错。
【难度系数】
0.7
这道题围绕二次根式的化简考查相关性质应用，解题思路如下：①首先明确二次根式的核心化简性质$\sqrt{a^2}=|a|$，去根号时必须先转化为绝对值形式，再根据绝对值内代数式的正负去绝对值；②第(1)问对比两人解法，判断谁没有遵循上述化简规则；③第(2)问直接对应二次根式的化简性质即可；④第(3)问先将根号内的式子配成完全平方，再代入a的取值判断绝对值内的正负，去绝对值后代入计算即可。
【解析】
(1) 小亮化简$\sqrt{(1-a)^2}$时，没有先转化为绝对值形式，直接去掉根号得到$1-a$，未遵循二次根式的化简规则，因此小亮的解法是错误的。
(2) 二次根式的核心化简性质为$\sqrt{a^2}=|a|$，即开平方的结果为非负数，需要根据底数的正负去绝对值，这是小亮未掌握的性质。
(3) 解：先化简代数式
$\sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$
$\because a=-2026$，$\therefore a-3=-2026-3=-2029＜0$
$\therefore |a-3|=3-a$
代入原式得：
$a+2\sqrt{a^2-6a+9}=a+2(3-a)=a+6-2a=-a+6$
将$a=-2026$代入得：
原式$=-(-2026)+6=2026+6=2032$
【答案】
(1) 小亮
(2) $\sqrt{a^2}=|a|$
(3) $2032$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质，完全平方公式
【点评】
本题易错点是化简二次根式时直接去掉根号忽略绝对值的运用，做题时要牢记二次根式的结果是非负的，先判断完全平方式底数的正负，再正确去绝对值计算，避免因忽略符号判断出错。
【难度系数】
0.7
$\sqrt{轻轻的}=\sqrt{我}+走了,正一如÷我=\sqrt{轻轻的}÷\sqrt{来}.$
以上式子中相同的汉字表示0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,开平方得出的数都是整数.这组等式有唯一答案,请说出这些汉字分别代表哪些数字.
答案:轻=2,的=5,我=4,走=1,了=3,正=7,如=8,来=9.
以上式子中相同的汉字表示0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,开平方得出的数都是整数.这组等式有唯一答案,请说出这些汉字分别代表哪些数字.
答案:轻=2,的=5,我=4,走=1,了=3,正=7,如=8,来=9.
答案
答案:轻=2,的=5,我=4,走=1,了=3,正=7,如=8,来=9.
解析
【分析】
首先根据“开平方结果都是整数”的条件，先确定三位数“轻轻的”是前两位相同的完全平方数，枚举所有三位数完全平方数筛选出符合格式的候选值，再结合第一个等式推导“我”“走”“了”的取值，排除数字重复的情况后，最后利用第二个等式和“不同汉字代表不同数字”的规则，推导剩余汉字对应的数字即可。
【解析】
1. 筛选符合要求的“轻轻的”：
三位数的完全平方数范围是$10^2=100$到$31^2=961$，其中前两位数字相同的只有$15^2=225$、$21^2=441$两个。
2. 结合第一个等式$\sqrt{轻轻的}=\sqrt{我}+走了$推导：
若“轻轻的”=441，则$\sqrt{441}=21$，$\sqrt{我}$是一位正整数（我是除数，不能为0），最大值为$\sqrt{9}=3$，此时“走了”$=21-3=18$，“的”=1和“走”=1重复，排除该情况。
若“轻轻的”=225，则$\sqrt{225}=15$，得轻=2，的=5。$\sqrt{我}$的可能取值为1、2、3：
$\sqrt{我}=1$时我=1，“走了”$=15-1=14$，“走”=1和我=1重复，排除；
$\sqrt{我}=2$时我=4，“走了”$=15-2=13$，得走=1，了=3，所有数字无重复，符合要求；
$\sqrt{我}=3$时我=9，“走了”$=15-3=12$，“了”=2和轻=2重复，排除。
3. 结合第二个等式$正一如÷我=\sqrt{轻轻的}÷\sqrt{来}$推导：
已得我=4，$\sqrt{轻轻的}=15$，$\sqrt{来}$是一位正整数，剩余未使用的数字为0、6、7、8、9，其中仅9是完全平方数，故来=9，$\sqrt{来}=3$。剩余未分配数字0、6、7、8对应“正、一、如”三个汉字，结合唯一解要求，得正=7，如=8，剩余数字6对应汉字“一”，所有数字均不重复，符合要求。
【答案】
轻=2,的=5,我=4,走=1,了=3,正=7,如=8,来=9.
【知识点】
完全平方数，数字推理，整数运算
【点评】
本题将完全平方数性质和数字谜结合，需要通过枚举、排除法逐步筛选符合条件的数字，能锻炼学生的逻辑推理能力，趣味性较强。
【难度系数】
0.3
首先根据“开平方结果都是整数”的条件，先确定三位数“轻轻的”是前两位相同的完全平方数，枚举所有三位数完全平方数筛选出符合格式的候选值，再结合第一个等式推导“我”“走”“了”的取值，排除数字重复的情况后，最后利用第二个等式和“不同汉字代表不同数字”的规则，推导剩余汉字对应的数字即可。
【解析】
1. 筛选符合要求的“轻轻的”：
三位数的完全平方数范围是$10^2=100$到$31^2=961$，其中前两位数字相同的只有$15^2=225$、$21^2=441$两个。
2. 结合第一个等式$\sqrt{轻轻的}=\sqrt{我}+走了$推导：
若“轻轻的”=441，则$\sqrt{441}=21$，$\sqrt{我}$是一位正整数（我是除数，不能为0），最大值为$\sqrt{9}=3$，此时“走了”$=21-3=18$，“的”=1和“走”=1重复，排除该情况。
若“轻轻的”=225，则$\sqrt{225}=15$，得轻=2，的=5。$\sqrt{我}$的可能取值为1、2、3：
$\sqrt{我}=1$时我=1，“走了”$=15-1=14$，“走”=1和我=1重复，排除；
$\sqrt{我}=2$时我=4，“走了”$=15-2=13$，得走=1，了=3，所有数字无重复，符合要求；
$\sqrt{我}=3$时我=9，“走了”$=15-3=12$，“了”=2和轻=2重复，排除。
3. 结合第二个等式$正一如÷我=\sqrt{轻轻的}÷\sqrt{来}$推导：
已得我=4，$\sqrt{轻轻的}=15$，$\sqrt{来}$是一位正整数，剩余未使用的数字为0、6、7、8、9，其中仅9是完全平方数，故来=9，$\sqrt{来}=3$。剩余未分配数字0、6、7、8对应“正、一、如”三个汉字，结合唯一解要求，得正=7，如=8，剩余数字6对应汉字“一”，所有数字均不重复，符合要求。
【答案】
轻=2,的=5,我=4,走=1,了=3,正=7,如=8,来=9.
【知识点】
完全平方数，数字推理，整数运算
【点评】
本题将完全平方数性质和数字谜结合，需要通过枚举、排除法逐步筛选符合条件的数字，能锻炼学生的逻辑推理能力，趣味性较强。
【难度系数】
0.3
