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28.已知自由下落的物体的高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与下落时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)的关系是$h=\frac{1}{2}gt^2$，那么一个物体从15 m高的建筑物上自由下落到达地面所需要的时间是多少秒？($g=10\ \mathrm{m/s}^2$)
答案
28.解:由$h=\frac{1}{2}gt^2$,$g=10\ \mathrm{m/s}^2$,$h=15\ \mathrm{m}$,
代入公式,得$15=\frac{1}{2}×10× t^2$,
化简,得$15=5t^2$,则$t^2=3$.
$\because$时间$t＞0$,$\therefore t=\sqrt{3}\ \mathrm{s}$.
代入公式,得$15=\frac{1}{2}×10× t^2$,
化简,得$15=5t^2$,则$t^2=3$.
$\because$时间$t＞0$,$\therefore t=\sqrt{3}\ \mathrm{s}$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的高度与下落时间的关系式，已知下落高度h和重力加速度g的具体取值，我们只需将已知量代入公式，得到关于t的方程，再结合时间为正数的实际意义，求解算术平方根即可得到物体下落的所需时间。
【解析】
解：已知自由下落高度公式为$h=\frac{1}{2}gt^2$，其中$g=10\ \mathrm{m/s}^2$，物体下落高度$h=15\ \mathrm{m}$，
将已知数值代入公式，得：$15=\frac{1}{2}×10× t^2$，
化简计算得：$15=5t^2$，进一步变形得$t^2=3$，
因为时间t为正数，即$t＞0$，所以$t=\sqrt{3}\ \mathrm{s}$。
【答案】
$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
【知识点】
公式代入求值；算术平方根的应用；实际问题解方程
【点评】
本题是结合物理公式的基础应用题，考查学生代数运算能力和对实际问题中未知数取值范围的判断能力，解题时注意不要漏掉时间为正的限制条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的高度与下落时间的关系式，已知下落高度h和重力加速度g的具体取值，我们只需将已知量代入公式，得到关于t的方程，再结合时间为正数的实际意义，求解算术平方根即可得到物体下落的所需时间。
【解析】
解：已知自由下落高度公式为$h=\frac{1}{2}gt^2$，其中$g=10\ \mathrm{m/s}^2$，物体下落高度$h=15\ \mathrm{m}$，
将已知数值代入公式，得：$15=\frac{1}{2}×10× t^2$，
化简计算得：$15=5t^2$，进一步变形得$t^2=3$，
因为时间t为正数，即$t＞0$，所以$t=\sqrt{3}\ \mathrm{s}$。
【答案】
$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
【知识点】
公式代入求值；算术平方根的应用；实际问题解方程
【点评】
本题是结合物理公式的基础应用题，考查学生代数运算能力和对实际问题中未知数取值范围的判断能力，解题时注意不要漏掉时间为正的限制条件。
【难度系数】
0.8
29. 观察下列等式：
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2}$；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2} = \frac{2}{3}$；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2} = \frac{3}{4}$；
……
(1)按照你所发现的规律,请写出第4个等式；
(2)按照你所发现的规律,请写出第$n$($n$为正整数)个等式；
(3)利用这一规律计算$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} × \sqrt{1 - \frac{5}{9}} × \sqrt{1 - \frac{7}{16}} × \dots × \sqrt{1 - \frac{21}{121}}$。
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2}$；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2} = \frac{2}{3}$；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2} = \frac{3}{4}$；
……
(1)按照你所发现的规律,请写出第4个等式；
(2)按照你所发现的规律,请写出第$n$($n$为正整数)个等式；
(3)利用这一规律计算$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} × \sqrt{1 - \frac{5}{9}} × \sqrt{1 - \frac{7}{16}} × \dots × \sqrt{1 - \frac{21}{121}}$。
答案
29.解:(1)$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2}=\frac{4}{5}$.
(2)$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n}{n+1})^2}=\frac{n}{n+1}$.
(3)原式$=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{10}{11}=\frac{1}{11}$.
(2)$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n}{n+1})^2}=\frac{n}{n+1}$.
(3)原式$=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{10}{11}=\frac{1}{11}$.
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的结构特征：每个等式左侧是$\sqrt{1减去一个分数}$，该分数的分子是连续奇数、分母是连续正整数的平方，化简后的结果分子等于等式序号、分母等于序号加1。第(1)问直接对应第4个序号代入规律即可；第(2)问将序号替换为正整数$n$，推导通用表达式并验证化简过程；第(3)问先利用规律将每个二次根式转化为分数形式，再通过相邻分数的分子分母约分快速算出结果。
【解析】
解：(1)观察前3个等式，第$k$个等式中，减数的分子为$2k+1$，分母为$(k+1)^2$，结果为$\frac{k}{k+1}$。当$k=4$时，减数分子$=2×4+1=9$，分母$=(4+1)^2=25$，因此第4个等式为：
$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2}=\frac{4}{5}$
(2)对正整数$n$，代入规律推导：
左边被开方数通分计算得$1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{n^2}{(n+1)^2}$，开根号后得$\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$（$n$为正整数，$\frac{n}{n+1}＞0$），因此第$n$个等式为：
$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n}{n+1})^2}=\frac{n}{n+1}$
(3)先确定最后一项对应的$n$：令减数分子$2n+1=21$，解得$n=10$，因此原式可转化为从$n=1$到$n=10$的对应分数相乘：
原式$=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{10}{11}$
相邻项的分子分母相互约分，最终剩余首项分子1和末项分母11，即得结果。
【答案】
(1)$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2}=\frac{4}{5}$
(2)$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n}{n+1})^2}=\frac{n}{n+1}$
(3)$\frac{1}{11}$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，分数约分
【点评】
本题综合考查规律归纳能力与根式、分数运算能力，需要先通过已知等式提炼通用规律再代入应用，计算时利用约分可大幅简化运算过程，避免逐项计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式的结构特征：每个等式左侧是$\sqrt{1减去一个分数}$，该分数的分子是连续奇数、分母是连续正整数的平方，化简后的结果分子等于等式序号、分母等于序号加1。第(1)问直接对应第4个序号代入规律即可；第(2)问将序号替换为正整数$n$，推导通用表达式并验证化简过程；第(3)问先利用规律将每个二次根式转化为分数形式，再通过相邻分数的分子分母约分快速算出结果。
【解析】
解：(1)观察前3个等式，第$k$个等式中，减数的分子为$2k+1$，分母为$(k+1)^2$，结果为$\frac{k}{k+1}$。当$k=4$时，减数分子$=2×4+1=9$，分母$=(4+1)^2=25$，因此第4个等式为：
$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2}=\frac{4}{5}$
(2)对正整数$n$，代入规律推导：
左边被开方数通分计算得$1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{n^2}{(n+1)^2}$，开根号后得$\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$（$n$为正整数，$\frac{n}{n+1}＞0$），因此第$n$个等式为：
$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n}{n+1})^2}=\frac{n}{n+1}$
(3)先确定最后一项对应的$n$：令减数分子$2n+1=21$，解得$n=10$，因此原式可转化为从$n=1$到$n=10$的对应分数相乘：
原式$=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{10}{11}$
相邻项的分子分母相互约分，最终剩余首项分子1和末项分母11，即得结果。
【答案】
(1)$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2}=\frac{4}{5}$
(2)$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n}{n+1})^2}=\frac{n}{n+1}$
(3)$\frac{1}{11}$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，分数约分
【点评】
本题综合考查规律归纳能力与根式、分数运算能力，需要先通过已知等式提炼通用规律再代入应用，计算时利用约分可大幅简化运算过程，避免逐项计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
