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一、选择题
1. 计算$\sqrt{(-3)^2}$的结果是 （）
A.3
B.$-3$
C.9
D.$-9$
1. 计算$\sqrt{(-3)^2}$的结果是 （）
A.3
B.$-3$
C.9
D.$-9$
答案
A
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，对应选项A。
2. 下列二次根式中，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式的是 （）
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{18}$
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{18}$
答案
B
解析
先将各选项二次根式化为最简形式：A选项$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，B选项$\sqrt{4}=2$，C选项$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，D选项$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。同类二次根式要求化简后被开方数相同，$\sqrt{2}$化简后被开方数为2，仅B选项化简后无被开方数2，故不是同类二次根式。
3. 下列计算正确的是 （）
A.$3+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=3$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{8}$
D.$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=3$
A.$3+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=3$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{8}$
D.$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=3$
答案
B
解析
根据二次根式的运算法则：A选项中3与√3不是同类二次根式，不能合并，错误；B选项中√27÷√3=√(27÷3)=√9=3，正确；C选项中√3×√5=√(3×5)=√15≠√8，错误；D选项中3√5 -√5=2√5≠3，错误。
4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （）
A.$\sqrt{x^2 - 3}$
B.$\sqrt{\dfrac{x - y}{x}}$
C.$\sqrt{3a^2b}$
D.$\sqrt{9x}$
A.$\sqrt{x^2 - 3}$
B.$\sqrt{\dfrac{x - y}{x}}$
C.$\sqrt{3a^2b}$
D.$\sqrt{9x}$
答案
A
解析
最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。A选项：$\sqrt{x^2 - 3}$，被开方数不含分母，也无开得尽方的因式，是最简二次根式；B选项：被开方数含分母，不是；C选项：被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是；D选项：被开方数含能开得尽方的因数9，不是。
5. 已知$b＜0$，化简$\sqrt{-a^3b}$的结果是 （）
A.$a\sqrt{ab}$
B.$-a\sqrt{ab}$
C.$-a\sqrt{-ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$
A.$a\sqrt{ab}$
B.$-a\sqrt{ab}$
C.$-a\sqrt{-ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$
答案
C
解析
要化简$\sqrt{-a^3b}$，需先确定字母取值范围：二次根式有意义则被开方数$-a^3b≥0$，已知$b＜0$，则$-b＞0$，故$a^3≤0$，即$a≤0$。化简时，将被开方数变形为$\sqrt{a^2·(-ab)}$，因$a≤0$，$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，所以结果为$-a\sqrt{-ab}$。
6. 海伦-秦九韶公式：古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，记$p = \frac{a + b + c}{2}$，那么三角形的面积为：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$，若$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，则$△ ABC$的面积$S$为（）
A.$6\sqrt{2}$
B.$30$
C.$6\sqrt{6}$
D.$45$
A.$6\sqrt{2}$
B.$30$
C.$6\sqrt{6}$
D.$45$
答案
C
解析
先计算半周长$p=\frac{5+6+7}{2}=9$，再代入海伦-秦九韶公式得$S=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$，对应选项C。
7. 已知二次根式$\sqrt{2+x}$有意义，则的取值范围是.
答案
$x≥-2$
解析
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此对于$\sqrt{2+x}$，需满足$2+x≥0$，解此不等式得$x≥-2$。
8. 化简：$\sqrt{\dfrac{3}{5}}=$ ______；$\dfrac{3}{\sqrt{18}}=$ ______.
答案
$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$；$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
1. 化简$\sqrt{\dfrac{3}{5}}$：根据二次根式的除法法则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，得$\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，再分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$，计算得$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$；2. 化简$\dfrac{3}{\sqrt{18}}$：先化简分母，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，则原式变为$\dfrac{3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，再分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，计算得$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
9. 若 $ n $ 为正整数，且满足 $ n＜\sqrt{26}＜n+1 $，则 $ n=\_\_\_\_\_\_ $。
答案
5
解析
因为25＜26＜36，所以√25＜√26＜√36，即5＜√26＜6，又n为正整数且满足n＜√26＜n+1，因此n=5。
10. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，$AB=\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$，则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$
答案
$2\sqrt{6}$
解析
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
将$AC=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，$AB=\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$代入公式，得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - (\sqrt{10})^2} = \sqrt{34 - 10} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
将$AC=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，$AB=\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$代入公式，得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - (\sqrt{10})^2} = \sqrt{34 - 10} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
11. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简$\sqrt{a^2} + (\sqrt{b})^2$的结果是________。
答案
$-a + b$
解析
由数轴可知，$a ＜ 0$，$b ＞ 0$。根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，$(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$），则$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，$(\sqrt{b})^2=b$，所以$\sqrt{a^2} + (\sqrt{b})^2=-a + b$。
12.已知$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-\frac{1}{2}$，则$y^x=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$\frac{1}{4}$
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
1. 由$\sqrt{x-2}$有意义，得$x-2≥0$，即$x≥2$；
2. 由$\sqrt{2-x}$有意义，得$2-x≥0$，即$x≤2$；
因此$x=2$。
将$x=2$代入原式，得$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}-\frac{1}{2}=0+0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$；
则$y^x=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
1. 由$\sqrt{x-2}$有意义，得$x-2≥0$，即$x≥2$；
2. 由$\sqrt{2-x}$有意义，得$2-x≥0$，即$x≤2$；
因此$x=2$。
将$x=2$代入原式，得$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}-\frac{1}{2}=0+0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$；
则$y^x=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
三、解答题
13. 计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$
(2) $(3 + 2\sqrt{5})^2$
13. 计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$
(2) $(3 + 2\sqrt{5})^2$
答案
(1) $4+\sqrt{6}$；(2) $29+12\sqrt{5}$
解析
(1) 根据二次根式的乘除法则计算：$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，再合并同类二次根式；(2) 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开，其中$a=3$，$b=2\sqrt{5}$，分别计算各项后合并。
