14. 若$a=1+\sqrt{2}$，$b=1-\sqrt{2}$，求代数式$a^2 - ab + b^2$的值.

7

先将代数式$a^2 - ab + b^2$变形为$(a+b)^2 - 3ab$，方便计算。
计算$a+b=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$；
计算$ab=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2 - (\sqrt{2})^2=1 - 2=-1$；
将$a+b=2$、$ab=-1$代入变形后的式子，得$2^2 - 3×(-1)=4 + 3=7$。

15. 已知$\sqrt{x - 3y} + |x - 3| = 0$，求$\dfrac{x + 1}{y + 1}$的值.

2

因为算术平方根$\sqrt{x - 3y}$和绝对值$|x - 3|$都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可得方程组：$\begin{cases}x - 3 = 0 \\ x - 3y = 0\end{cases}$，解方程组得$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}$。将$x=3$，$y=1$代入$\dfrac{x + 1}{y + 1}$，得$\dfrac{3 + 1}{1 + 1} = \dfrac{4}{2} = 2$。

16. 已知长方形的长宽分别为$\frac{1}{2}\sqrt{48}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}$.
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长的大小关系.

（1）长方形周长为$6\sqrt{3}$；
（2）正方形周长为$4\sqrt{6}$，长方形周长大于正方形周长。

（1）先化简长方形的长和宽：
长：$\frac{1}{2}\sqrt{48} = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，
宽：$\frac{1}{3}\sqrt{27} = \frac{1}{3} × 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$，
根据长方形周长公式$C=2(长+宽)$，代入得：
$C_{长方形}=2×(2\sqrt{3}+\sqrt{3})=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$；
（2）先计算长方形面积：$S_{长方形}=长×宽=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$，
因为正方形与长方形等面积，所以正方形面积$S_{正方形}=6$，
则正方形边长$a=\sqrt{6}$，正方形周长$C_{正方形}=4a=4\sqrt{6}$；
比较周长大小：计算两者平方，$(6\sqrt{3})^2=108$，$(4\sqrt{6})^2=96$，
因为$108＞96$，且$6\sqrt{3}$、$4\sqrt{6}$均为正数，所以$6\sqrt{3}＞4\sqrt{6}$，即长方形周长大于正方形周长。

17. 射击时，子弹射出枪口的速度可以用公式 $v=\sqrt{2as}$ 进行计算，其中 $a$ 是子弹的加速度，$s$ 为枪筒的长度。已知 $a=5× 10^{5}\ \mathrm{m/s}^2$，$s=0.64\ \mathrm{m}$，求子弹射出枪口时的速度。

$800\ \mathrm{m/s}$

将$a=5×10^{5}\ \mathrm{m/s}^2$，$s=0.64\ \mathrm{m}$代入公式$v=\sqrt{2as}$，先计算$2as=2×5×10^{5}×0.64=6.4×10^{5}$，再开平方得$v=\sqrt{6.4×10^{5}}=800\ \mathrm{m/s}$。

四、拓展题
18. 已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$2a^2 - 8a + 1$的值，小明是这样分析与解答的：
∵$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$，∴$a - 2=-\sqrt{3}$.
∴$(a - 2)^2=3$，即$a^2 - 4a + 4=3$.
∴$a^2 - 4a=-1$，∴$2a^2 - 8a + 1=2(a^2 - 4a) + 1=2×(-1) + 1=-1$.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题.
（1）计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\_\_\_\_\_\_$；
（2）计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}$；
（3）若$a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}$，求$2a^2 - 8a + 1$的值.

（1）$\sqrt{2}-1$；
（2）$2\sqrt{506}-1$；
（3）$3$

（1）对$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}-1$，得：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$；
（2）观察每一项，对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）分母有理化，得$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，因此原式展开后中间项相互抵消，剩余：
$\sqrt{2024}-1$，化简$\sqrt{2024}=2\sqrt{506}$，故结果为$2\sqrt{506}-1$；
（3）先对$a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+2$，得：
$a=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
则$a-2=\sqrt{5}$，两边平方得$(a-2)^2=5$，整理得$a^2-4a=1$，
代入$2a^2-8a+1=2(a^2-4a)+1=2×1+1=3$。