登录
17. 如图，两根高度分别是2米和3米的直杆AB，CD竖直立在水平地面MN上，相距12米，现要从点A绷直拉一根绳索，接地后再拉到点C处，为了节省绳索材料，则绳索的最短长度为米（不计接头部分）.
答案
13
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类实际应用问题，解题思路如下：首先我们需要在直线MN上找一个接点，使得从A到接点再到C的路径总长最短，根据轴对称的性质，我们可以作其中一个点关于MN的对称点，将折线距离转化为两点之间的直线段距离（两点之间线段最短），得到最短路径的长度后，构造直角三角形，利用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
1. 作点A关于直线MN的对称点$A'$，连接$A'C$，交MN于点P，此时$AP+PC=A'P+PC=A'C$，根据两点之间线段最短，$A'C$的长度就是绳索的最短长度。
2. 过点$A'$作$A'E⊥ CD$，交CD的延长线于点E。由题意可知：$AB=2$米，$CD=3$米，$BD=12$米，由轴对称性质得$A'B=AB=2$米。
3. 易知四边形$A'BDE$是矩形，因此$A'E=BD=12$米，$DE=A'B=2$米，可得$CE=CD+DE=3+2=5$米。
4. 在$Rt△ A'EC$中，根据勾股定理：
$A'C=\sqrt{A'E^2 + CE^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
即绳索的最短长度为13米。
【答案】
13
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过对称将折线路径转化为直线段，结合勾股定理计算求解，掌握“对称转化”的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类实际应用问题，解题思路如下：首先我们需要在直线MN上找一个接点，使得从A到接点再到C的路径总长最短，根据轴对称的性质，我们可以作其中一个点关于MN的对称点，将折线距离转化为两点之间的直线段距离（两点之间线段最短），得到最短路径的长度后，构造直角三角形，利用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
1. 作点A关于直线MN的对称点$A'$，连接$A'C$，交MN于点P，此时$AP+PC=A'P+PC=A'C$，根据两点之间线段最短，$A'C$的长度就是绳索的最短长度。
2. 过点$A'$作$A'E⊥ CD$，交CD的延长线于点E。由题意可知：$AB=2$米，$CD=3$米，$BD=12$米，由轴对称性质得$A'B=AB=2$米。
3. 易知四边形$A'BDE$是矩形，因此$A'E=BD=12$米，$DE=A'B=2$米，可得$CE=CD+DE=3+2=5$米。
4. 在$Rt△ A'EC$中，根据勾股定理：
$A'C=\sqrt{A'E^2 + CE^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
即绳索的最短长度为13米。
【答案】
13
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过对称将折线路径转化为直线段，结合勾股定理计算求解，掌握“对称转化”的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
18. 在$△ ABC$中，高$AD=15$，若$AB=25$，$AC=17$，则$△ ABC$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
210或90
解析
【分析】
解题时首先根据高的定义得到两个直角三角形，利用勾股定理分别求出BD、CD的长度；接下来注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（钝角三角形的高在外部），需要分两种情况计算BC的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$
分两种情况讨论：
①当高AD在△ABC内部时，$BC=BD+CD=20+8=28$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×28×15=210$。
②当高AD在△ABC外部时，$BC=BD-CD=20-8=12$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×15=90$。
【答案】
210或90
【知识点】
勾股定理；三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题需要分类讨论高的位置，容易漏解，重点考查分类讨论思想以及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据高的定义得到两个直角三角形，利用勾股定理分别求出BD、CD的长度；接下来注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（钝角三角形的高在外部），需要分两种情况计算BC的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$
分两种情况讨论：
①当高AD在△ABC内部时，$BC=BD+CD=20+8=28$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×28×15=210$。
②当高AD在△ABC外部时，$BC=BD-CD=20-8=12$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×15=90$。
【答案】
210或90
【知识点】
勾股定理；三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题需要分类讨论高的位置，容易漏解，重点考查分类讨论思想以及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
19. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆 AB 的高度，同学们发现系在旗杆顶端 A 的绳子垂到地面多出的一段长度为 3 米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点 C 处，到旗杆底部 B 的距离为 9 米.
（1）求旗杆 AB 的高度.
（2）小明在点 C 处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的 2 米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点 E 处，问小明需要后退几米（即 CD 的长）？$(\sqrt{5}\approx2.24$，结果保留整数)
（1）求旗杆 AB 的高度.
（2）小明在点 C 处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的 2 米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点 E 处，问小明需要后退几米（即 CD 的长）？$(\sqrt{5}\approx2.24$，结果保留整数)
答案
（1）12米；（2）约2米
解析
【分析】
（1）旗杆AB垂直于地面BD，可知△ABC为直角三角形。已知绳子比旗杆长3米，点C到B的距离为9米，我们可以设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。（2）绳子总长度不变，后退后绳子AE的长度和AC长度相等，台阶ED高2米，AB、ED都垂直于地面BD，我们先构造直角三角形求出A到E的水平总长度，再减去BC的长度即可得到后退的距离CD。
【解析】
（1）设旗杆AB的高度为$x$米，则绳子$AC$的长度为$(x+3)$米。
∵$AB⊥ BD$，
∴$∠ B=90°$，在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数据得：$x^2 + 9^2 = (x+3)^2$
展开化简：$x^2 + 81 = x^2 + 6x +9$
解得：$x=12$
（2）由（1）得绳子总长度$AC=12+3=15$米，
∴$AE=AC=15$米。
过点E作$EF⊥ AB$于点F，可知四边形FBDE为矩形，因此$FB=ED=2$米，$EF=BD$。
则$AF=AB - FB=12-2=10$米，在$Rt△ AFE$中，由勾股定理得：
$AF^2 + EF^2 = AE^2$
代入数据得：$10^2 + EF^2 = 15^2$
解得：$EF=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx5×2.24=11.2$米，即$BD\approx11.2$米。
∴$CD=BD - BC\approx11.2-9\approx2$米。
【答案】
（1）12米；（2）约2米
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用，矩形的性质
【点评】
本题属于实际测量类应用题，解题关键是将实际场景转化为直角三角形数学模型，利用勾股定理列式计算，能有效考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）旗杆AB垂直于地面BD，可知△ABC为直角三角形。已知绳子比旗杆长3米，点C到B的距离为9米，我们可以设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。（2）绳子总长度不变，后退后绳子AE的长度和AC长度相等，台阶ED高2米，AB、ED都垂直于地面BD，我们先构造直角三角形求出A到E的水平总长度，再减去BC的长度即可得到后退的距离CD。
【解析】
（1）设旗杆AB的高度为$x$米，则绳子$AC$的长度为$(x+3)$米。
∵$AB⊥ BD$，
∴$∠ B=90°$，在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数据得：$x^2 + 9^2 = (x+3)^2$
展开化简：$x^2 + 81 = x^2 + 6x +9$
解得：$x=12$
（2）由（1）得绳子总长度$AC=12+3=15$米，
∴$AE=AC=15$米。
过点E作$EF⊥ AB$于点F，可知四边形FBDE为矩形，因此$FB=ED=2$米，$EF=BD$。
则$AF=AB - FB=12-2=10$米，在$Rt△ AFE$中，由勾股定理得：
$AF^2 + EF^2 = AE^2$
代入数据得：$10^2 + EF^2 = 15^2$
解得：$EF=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx5×2.24=11.2$米，即$BD\approx11.2$米。
∴$CD=BD - BC\approx11.2-9\approx2$米。
【答案】
（1）12米；（2）约2米
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用，矩形的性质
【点评】
本题属于实际测量类应用题，解题关键是将实际场景转化为直角三角形数学模型，利用勾股定理列式计算，能有效考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
