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20. 如图，$△ ACB$ 和 $△ ECD$ 都是等腰直角三角形，$CA = CB$，$CE = CD$，$△ ACB$ 的顶点 $A$ 在 $△ ECD$ 的斜边 $DE$ 上. 求证：$AE^2+AD^2=2AC^2$.（提示：连接 $BD$）
答案
AE²+AD²=2AC²
解析
【分析】
要证明$AE^2+AD^2=2AC^2$，首先观察等腰直角$△ ACB$，由勾股定理可知$AB^2=AC^2+BC^2=2AC^2$，因此只需证明$AE^2+AD^2=AB^2$即可。根据提示连接$BD$，我们可以先证明$△ EAC≌△ DBC$，将$AE$转化为$BD$，再证明$∠ ADB=90°$，即可在$Rt△ ADB$中利用勾股定理得到所需关系。
【解析】
证明：连接$BD$，
$\because △ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore CA=CB$，$CE=CD$，$∠ ECD=∠ ACB=90°$，$∠ E=∠ CDE=45°$，
$\therefore ∠ ECD - ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ ACD$，即$∠ ECA=∠ DCB$，
在$△ ECA$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}CE=CD \\∠ ECA=∠ DCB \\CA=CB\end{cases}$
$\therefore △ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=BD$，$∠ E=∠ CDB=45°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ CDE + ∠ CDB=45° + 45°=90°$，即$△ ADB$是直角三角形，
由勾股定理得：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
又$\because$在$Rt△ ACB$中，$AB^2=AC^2 + BC^2=AC^2 + AC^2=2AC^2$，且$BD=AE$，
$\therefore AE^2 + AD^2 = 2AC^2$，原式得证。
【答案】
$AE^2+AD^2=2AC^2$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题的核心解题思路是通过辅助线构造全等三角形，将分散的三条线段$AE$、$AD$、$AC$的数量关系转化为同一个直角三角形的三边关系，解题时需要熟练掌握全等三角形的判定方法以及等腰直角三角形的边角特征，灵活运用勾股定理推导线段平方的关系。
【难度系数】
0.6
要证明$AE^2+AD^2=2AC^2$，首先观察等腰直角$△ ACB$，由勾股定理可知$AB^2=AC^2+BC^2=2AC^2$，因此只需证明$AE^2+AD^2=AB^2$即可。根据提示连接$BD$，我们可以先证明$△ EAC≌△ DBC$，将$AE$转化为$BD$，再证明$∠ ADB=90°$，即可在$Rt△ ADB$中利用勾股定理得到所需关系。
【解析】
证明：连接$BD$，
$\because △ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore CA=CB$，$CE=CD$，$∠ ECD=∠ ACB=90°$，$∠ E=∠ CDE=45°$，
$\therefore ∠ ECD - ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ ACD$，即$∠ ECA=∠ DCB$，
在$△ ECA$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}CE=CD \\∠ ECA=∠ DCB \\CA=CB\end{cases}$
$\therefore △ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=BD$，$∠ E=∠ CDB=45°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ CDE + ∠ CDB=45° + 45°=90°$，即$△ ADB$是直角三角形，
由勾股定理得：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
又$\because$在$Rt△ ACB$中，$AB^2=AC^2 + BC^2=AC^2 + AC^2=2AC^2$，且$BD=AE$，
$\therefore AE^2 + AD^2 = 2AC^2$，原式得证。
【答案】
$AE^2+AD^2=2AC^2$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题的核心解题思路是通过辅助线构造全等三角形，将分散的三条线段$AE$、$AD$、$AC$的数量关系转化为同一个直角三角形的三边关系，解题时需要熟练掌握全等三角形的判定方法以及等腰直角三角形的边角特征，灵活运用勾股定理推导线段平方的关系。
【难度系数】
0.6
