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二、知识巩固
11. 如图，圆柱的底面圆的周长为 10 cm，高为 12 cm，一只蚂蚁沿圆柱外壁从下底面的点 A 爬行到上底面与点 A 正相对的点 B 最少要爬行（）。
A.22 cm
B.17 cm
C.$2\sqrt{61}$ cm
D.13 cm
11. 如图，圆柱的底面圆的周长为 10 cm，高为 12 cm，一只蚂蚁沿圆柱外壁从下底面的点 A 爬行到上底面与点 A 正相对的点 B 最少要爬行（）。
A.22 cm
B.17 cm
C.$2\sqrt{61}$ cm
D.13 cm
答案
D
解析
【分析】
要解决圆柱外壁蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体的圆柱侧面转化为平面图形，因为平面内两点之间线段最短，这是求这类最短路径的常用方法。首先回忆圆柱侧面展开后是长方形，长方形的长对应圆柱底面周长，宽对应圆柱的高。由于点B是上底面和A正相对的点，所以展开后A、B两点的水平距离是底面周长的一半，竖直距离等于圆柱的高，最后用勾股定理计算线段AB的长度就是最短路径。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的母线展开，得到一个长方形：
该长方形的长等于圆柱底面周长，为10cm，长方形的宽等于圆柱的高，为12cm。
因为点B是上底面与点A正相对的点，所以展开后A、B两点的水平距离为底面周长的一半，即$10÷2=5\mathrm{cm}$，竖直距离等于圆柱的高12cm。
根据两点之间线段最短，线段AB的长度就是最短爬行距离，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
因此蚂蚁最少要爬行13cm。
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径计算
【点评】
这道题是立体图形最短路径问题的常见题型，解题的关键是建立“立体转平面”的转化思维，结合两点之间线段最短的原理和勾股定理求解，能有效考查空间想象能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决圆柱外壁蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体的圆柱侧面转化为平面图形，因为平面内两点之间线段最短，这是求这类最短路径的常用方法。首先回忆圆柱侧面展开后是长方形，长方形的长对应圆柱底面周长，宽对应圆柱的高。由于点B是上底面和A正相对的点，所以展开后A、B两点的水平距离是底面周长的一半，竖直距离等于圆柱的高，最后用勾股定理计算线段AB的长度就是最短路径。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的母线展开，得到一个长方形：
该长方形的长等于圆柱底面周长，为10cm，长方形的宽等于圆柱的高，为12cm。
因为点B是上底面与点A正相对的点，所以展开后A、B两点的水平距离为底面周长的一半，即$10÷2=5\mathrm{cm}$，竖直距离等于圆柱的高12cm。
根据两点之间线段最短，线段AB的长度就是最短爬行距离，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
因此蚂蚁最少要爬行13cm。
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径计算
【点评】
这道题是立体图形最短路径问题的常见题型，解题的关键是建立“立体转平面”的转化思维，结合两点之间线段最短的原理和勾股定理求解，能有效考查空间想象能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
12. 我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的. 如图，直角三角形的两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$. 若$b - a = 4$，$c = 16$，则每个直角三角形的面积为（）.
A.60
B.64
C.120
D.128
A.60
B.64
C.120
D.128
答案
A
解析
【分析】
要求直角三角形的面积，已知直角三角形面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此核心是求出$ab$的值。题目给出直角三角形斜边长$c=16$，可先通过勾股定理得到$a^2+b^2$的值，再结合已知条件$b-a=4$，对该式两边平方后利用完全平方公式展开，将$a^2+b^2$的值整体代入即可求出$ab$，最终计算得到三角形面积。
【解析】
解：
∵直角三角形的两直角边长为$a$、$b$，斜边长$c=16$
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2 = 16^2 = 256$
已知$b - a = 4$，将等式两边同时平方：
$(b-a)^2 = 4^2$
由完全平方公式展开得：$b^2 - 2ab + a^2 = 16$
把$a^2 + b^2 = 256$代入上式：
$256 - 2ab = 16$
移项计算得：$2ab = 256 - 16 = 240$，即$ab=120$
因此每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 120 = 60$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为命题背景，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，解题的关键是掌握公式的变形技巧，通过整体代入的方法简化计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【难度系数】
0.7
要求直角三角形的面积，已知直角三角形面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此核心是求出$ab$的值。题目给出直角三角形斜边长$c=16$，可先通过勾股定理得到$a^2+b^2$的值，再结合已知条件$b-a=4$，对该式两边平方后利用完全平方公式展开，将$a^2+b^2$的值整体代入即可求出$ab$，最终计算得到三角形面积。
【解析】
解：
∵直角三角形的两直角边长为$a$、$b$，斜边长$c=16$
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2 = 16^2 = 256$
已知$b - a = 4$，将等式两边同时平方：
$(b-a)^2 = 4^2$
由完全平方公式展开得：$b^2 - 2ab + a^2 = 16$
把$a^2 + b^2 = 256$代入上式：
$256 - 2ab = 16$
移项计算得：$2ab = 256 - 16 = 240$，即$ab=120$
因此每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 120 = 60$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为命题背景，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，解题的关键是掌握公式的变形技巧，通过整体代入的方法简化计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记作 $S_1$，$S_2$，$S_3$.若 $S_3+S_2-S_1=15$，则图中阴影部分的面积为（$\quad$）.
A.$5$
B.$\dfrac{15}{2}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$10$
A.$5$
B.$\dfrac{15}{2}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$10$
答案
B
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：首先，正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方；其次，根据直角三角形的勾股定理，可推导得到三个正方形面积的关系$S_3=S_1+S_2$；再将该关系代入题目给出的$S_3+S_2-S_1=15$，化简即可求出$S_2$的值；最后观察阴影部分的构成，可知阴影部分是两个底和高都等于AB的三角形，面积之和等于$S_2$，即可得到结果。
【解析】
设Rt△ABC中，$AC=b$，$AB=c$，$BC=a$，
由正方形面积公式可得：$S_1=b^2$，$S_2=c^2$，$S_3=a^2$。
∵△ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$，
根据勾股定理得：$b^2 + c^2 = a^2$，即$S_1 + S_2 = S_3$。
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3 + S_2 - S_1 = 15$，
得：$(S_1 + S_2) + S_2 - S_1 = 15$，
化简得$2S_2=15$，即$S_2=\frac{15}{2}$。
观察图形：阴影部分由两个三角形组成，两个三角形的底均为$AB=c$，高均等于AB的长度$c$，
单个三角形面积为$\frac{1}{2} × c × c = \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}S_2$，
因此阴影部分总面积为$\frac{1}{2}S_2 + \frac{1}{2}S_2 = S_2=\frac{15}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，将勾股定理与图形面积计算结合考查，解题的核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合阴影部分和边长的对应关系求解，需要具备一定的图形观察能力。
【难度系数】
0.6
解题可按以下步骤思考：首先，正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方；其次，根据直角三角形的勾股定理，可推导得到三个正方形面积的关系$S_3=S_1+S_2$；再将该关系代入题目给出的$S_3+S_2-S_1=15$，化简即可求出$S_2$的值；最后观察阴影部分的构成，可知阴影部分是两个底和高都等于AB的三角形，面积之和等于$S_2$，即可得到结果。
【解析】
设Rt△ABC中，$AC=b$，$AB=c$，$BC=a$，
由正方形面积公式可得：$S_1=b^2$，$S_2=c^2$，$S_3=a^2$。
∵△ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$，
根据勾股定理得：$b^2 + c^2 = a^2$，即$S_1 + S_2 = S_3$。
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3 + S_2 - S_1 = 15$，
得：$(S_1 + S_2) + S_2 - S_1 = 15$，
化简得$2S_2=15$，即$S_2=\frac{15}{2}$。
观察图形：阴影部分由两个三角形组成，两个三角形的底均为$AB=c$，高均等于AB的长度$c$，
单个三角形面积为$\frac{1}{2} × c × c = \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}S_2$，
因此阴影部分总面积为$\frac{1}{2}S_2 + \frac{1}{2}S_2 = S_2=\frac{15}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，将勾股定理与图形面积计算结合考查，解题的核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合阴影部分和边长的对应关系求解，需要具备一定的图形观察能力。
【难度系数】
0.6
14. 已知$ a $，$ b $，$ c $是一个三角形的三条边，且满足$ |a - 2| + (b - \sqrt{13})^2 + \sqrt{c - 3} = 0 $，则这个三角形的面积是________。
答案
3
解析
【分析】
首先观察已知等式，等式左边是绝对值、偶次方、算术平方根三类非负数的和，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可先求出三角形三边a、b、c的长度；得到三边长后，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，若为直角三角形，就可以用直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
解：
∵$|a-2|≥0$，$(b-\sqrt{13})^2≥0$，$\sqrt{c-3}≥0$，且$|a - 2| + (b - \sqrt{13})^2 + \sqrt{c - 3} = 0$
∴根据非负数的性质得：
$a-2=0$，解得$a=2$
$b-\sqrt{13}=0$，解得$b=\sqrt{13}$
$c-3=0$，解得$c=3$
验证三角形形状：
∵$a^2+c^2=2^2+3^2=4+9=13$，$b^2=(\sqrt{13})^2=13$
∴$a^2+c^2=b^2$，由勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且$a$、$c$为两条直角边
∴三角形的面积$=\frac{1}{2}×a×c=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
3
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出三边长度，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状后计算面积，属于常考题型。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式，等式左边是绝对值、偶次方、算术平方根三类非负数的和，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可先求出三角形三边a、b、c的长度；得到三边长后，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，若为直角三角形，就可以用直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
解：
∵$|a-2|≥0$，$(b-\sqrt{13})^2≥0$，$\sqrt{c-3}≥0$，且$|a - 2| + (b - \sqrt{13})^2 + \sqrt{c - 3} = 0$
∴根据非负数的性质得：
$a-2=0$，解得$a=2$
$b-\sqrt{13}=0$，解得$b=\sqrt{13}$
$c-3=0$，解得$c=3$
验证三角形形状：
∵$a^2+c^2=2^2+3^2=4+9=13$，$b^2=(\sqrt{13})^2=13$
∴$a^2+c^2=b^2$，由勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且$a$、$c$为两条直角边
∴三角形的面积$=\frac{1}{2}×a×c=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
3
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出三边长度，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状后计算面积，属于常考题型。
【难度系数】
0.8
15. 如图，一架梯子 AB 长为 2.5 米，斜靠在竖直的墙上，梯子底端 B 离墙角 O 的距离为 0.7 米，若梯子的顶端 A 下滑了 0.4 米至点 C，则梯子的底端在水平方向上滑动的距离 BD 为 米.
答案
0.8
解析
【分析】
本题属于勾股定理的实际应用问题，解题核心是抓住梯子长度始终不变这一隐含条件。首先在初始的直角三角形ABO中，利用勾股定理求出墙高AO；再结合顶端下滑的距离求出下滑后墙高CO，接着在新的直角三角形CDO中，再次利用勾股定理求出滑动后底端到墙角的距离OD，最后用OD减去初始的OB即可得到滑动距离BD。
【解析】
解：由题意可知，$∠ O=90°$，$AB=CD=2.5$米，$OB=0.7$米，$AC=0.4$米。
1. 在$Rt△ ABO$中，根据勾股定理得：
$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = \sqrt{6.25 - 0.49} = \sqrt{5.76} = 2.4$（米）
2. 顶端A下滑0.4米到C，故$CO = AO - AC = 2.4 - 0.4 = 2$（米）
3. 在$Rt△ CDO$中，根据勾股定理得：
$OD = \sqrt{CD^2 - CO^2} = \sqrt{2.5^2 - 2^2} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = 1.5$（米）
4. 则滑动距离$BD = OD - OB = 1.5 - 0.7 = 0.8$（米）
【答案】
0.8
【知识点】
勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题的关键是明确梯子长度为不变量，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过两次运用勾股定理即可求解，注重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
本题属于勾股定理的实际应用问题，解题核心是抓住梯子长度始终不变这一隐含条件。首先在初始的直角三角形ABO中，利用勾股定理求出墙高AO；再结合顶端下滑的距离求出下滑后墙高CO，接着在新的直角三角形CDO中，再次利用勾股定理求出滑动后底端到墙角的距离OD，最后用OD减去初始的OB即可得到滑动距离BD。
【解析】
解：由题意可知，$∠ O=90°$，$AB=CD=2.5$米，$OB=0.7$米，$AC=0.4$米。
1. 在$Rt△ ABO$中，根据勾股定理得：
$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = \sqrt{6.25 - 0.49} = \sqrt{5.76} = 2.4$（米）
2. 顶端A下滑0.4米到C，故$CO = AO - AC = 2.4 - 0.4 = 2$（米）
3. 在$Rt△ CDO$中，根据勾股定理得：
$OD = \sqrt{CD^2 - CO^2} = \sqrt{2.5^2 - 2^2} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = 1.5$（米）
4. 则滑动距离$BD = OD - OB = 1.5 - 0.7 = 0.8$（米）
【答案】
0.8
【知识点】
勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题的关键是明确梯子长度为不变量，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过两次运用勾股定理即可求解，注重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
16. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点E为CD边上的一点，将△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，则CE的长为.
答案
8/3
解析
【分析】
这是一道折叠类的几何计算题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的线段。首先由翻折可得AF=AD、EF=DE，先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而得到FC的长；再设CE为未知数，用含未知数的式子表示EF的长度，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵将△ADE沿AE翻折，点D落在BC边上的点F处，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=10，EF=DE。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6，BC=AD=10，∠B=∠C=90°。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$。
设$CE=x$，则$DE=CD-CE=6-x$，
∴$EF=DE=6-x$。
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE^2 + FC^2 = EF^2$，
即$x^2 + 2^2 = (6-x)^2$，
展开得：$x^2 +4 = 36 -12x +x^2$，
化简得：$12x=32$，
解得：$x=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题的常考题型，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合矩形的直角特征，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
这是一道折叠类的几何计算题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的线段。首先由翻折可得AF=AD、EF=DE，先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而得到FC的长；再设CE为未知数，用含未知数的式子表示EF的长度，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵将△ADE沿AE翻折，点D落在BC边上的点F处，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=10，EF=DE。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6，BC=AD=10，∠B=∠C=90°。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$。
设$CE=x$，则$DE=CD-CE=6-x$，
∴$EF=DE=6-x$。
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE^2 + FC^2 = EF^2$，
即$x^2 + 2^2 = (6-x)^2$，
展开得：$x^2 +4 = 36 -12x +x^2$，
化简得：$12x=32$，
解得：$x=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题的常考题型，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合矩形的直角特征，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
