7. 如图,把三角尺的直角顶点放在直线$b$上.若$∠ 1=40^{ \circ }$,则当$∠ 2=$时,$a // b$.

7.$50°$

【分析】要使直线a与b平行，需结合三角尺的直角性质，利用平行线的性质分析：三角尺的直角为90°，当a//b时，∠1与∠2的和等于直角的度数，据此可计算∠2的大小。
【解析】已知三角尺的直角为90°，若a//b，根据平行线的性质，可得∠1 + ∠2 = 90°。因为∠1=40°，所以∠2=90°−40°=50°。
【答案】50°
【知识点】平行线的性质、直角的性质
【点评】本题结合三角尺的直角和平行线的性质进行考查，属于基础几何题，难度较低，主要考查学生对平行线性质的应用能力。
【难度系数】0.7

8. 如图,已知$∠ 1=(3x+24)°$,$∠ 2=(5x+20)°$,要使直线$m// n$,则$∠ 1=$$°$.

8.75

【分析】
要使直线$m//n$，需利用平行线的性质：两直线平行时，同位角相等。观察图形可知，$∠2$的邻补角与$∠1$是同位角，因此当$m//n$时，这两个角相等，据此建立方程求解$x$，再计算$∠1$的度数。
【解析】
解：若直线$m//n$，根据“两直线平行，同位角相等”，$∠2$的邻补角与$∠1$相等，即：
$180° - ∠2 = ∠1$
将$∠1=(3x+24)°$，$∠2=(5x+20)°$代入上式：
$180 - (5x + 20) = 3x + 24$
化简得：$160 - 5x = 3x + 24$
移项合并同类项得：$8x = 136$
解得：$x = 17$
则$∠1=(3×17 + 24)° = 75°$
【答案】
75
【知识点】
平行线的性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合平行线的性质与一元一次方程，考查学生对平行线判定的实际应用，关键是找准角之间的等量关系，建立方程求解，属于中等难度的题型。
【难度系数】
0.5

9. 如图，$∠ 1:∠ 2:∠ 3=2:3:4$，$∠ AFE=60°$，$∠ BDE=120°$. 写出图中互相平行的直线，并说明理由.

9.解:$EF// BC,DE// AB.$
理由:因为$∠1:∠2:∠3=2:3:4$,
$∠1+∠2+∠3=180°$,所以$∠1=40°,∠2=60°,∠3=80°.$
因为$∠AFE=60°,∠BDE=120°$,
所以$∠AFE=∠2,∠BDE+∠2=180°$,
所以$EF// BC,DE// AB.$

【分析】首先，根据∠1、∠2、∠3组成平角，和为180°，结合它们的比例关系计算出各角的度数；再利用已知的∠AFE、∠BDE的度数，结合算出的∠2的度数，依据平行线的判定定理（内错角相等、同旁内角互补）判断互相平行的直线。
【解析】因为∠1、∠2、∠3组成平角，所以∠1+∠2+∠3=180°，又∠1:∠2:∠3=2:3:4，设∠1=2x，∠2=3x，∠3=4x，则2x+3x+4x=180°，解得x=20°，因此∠1=40°，∠2=60°，∠3=80°。
已知∠AFE=60°，所以∠AFE=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可得EF//BC；
已知∠BDE=120°，所以∠BDE+∠2=120°+60°=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得DE//AB。
【答案】EF//BC，DE//AB
【知识点】平行线的判定，平角的性质
【点评】本题通过角度比例计算角的度数，再结合平行线的判定定理推导直线平行关系，核心是掌握平行线的判定方法，难度适中。
【难度系数】0.6

10. 如图,直线 EF 上有两点 A,C,在直线 EF 两侧分别引射线 AB,CD,使$∠ BAF=110°$,$∠ DCF=60°$.射线 AB,CD 分别绕点 A,C 以 1 度/秒和 6 度/秒的速度同时顺时针转动,设转动时间为 t 秒,在射线 CD 转动一周的时间内,当 t 的值为多少时,CD 与 AB 平行?

10.解:因为$360÷6=60$(秒),$110°-1°×60=50°$,
所以 AB 恒在 EF 的右侧.分两种情况：
①如答图①,CD 在 EF 的左侧时，

因为$(180-60)÷6=20$(秒),
所以$0＜t＜20$.
由题意知$∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°$,
$∠BAC=110°-t°$,
要使$AB// CD$,则$∠ACD=∠BAC$,
即$120°-(6t)°=110°-t°$,解得$t=2$.
②如答图②,CD 在 EF 的右侧时，

因为$(360-60)÷6=50$(秒),
所以$20＜t＜50$.
由题意知$∠DCF=360°-(6t)°-60°=300°-(6t)°$,
$∠BAC=110°-t°$,
要使$AB// CD$,则$∠DCF=∠BAC$,
即$300°-(6t)°=110°-t°$,
解得$t=38$.
综上所述,当 t 的值为 2 或 38 时,CD 与 AB 平行.

【分析】
要解决这个问题，需先明确两条射线转动时的角度变化，结合平行线的判定定理，分CD在直线EF左侧和右侧两种情况讨论，确定t的取值范围，再通过角度关系建立一元一次方程求解，同时注意CD转动一周的时间限制。
【解析】
首先，CD转动一周的时间为 $ 360° ÷ 6°/\mathrm{秒} = 60 $ 秒，AB转动速度为 $ 1°/\mathrm{秒} $，初始 $ ∠ BAF=110° $，转动t秒后 $ ∠ BAF=(110 - t)° $，且AB始终在EF右侧（因 $ t ≤ 60 $ 时，$ 110 - t ≥ 50° ＞ 0 $）。分两种情况：
① 当CD在EF左侧时，t的范围为 $ 0 ＜ t ＜ 20 $ 秒（$ (180° - 60°) ÷ 6°/\mathrm{秒}=20 $）。此时，$ ∠ ACD = 180° - 60° - (6t)° = (120 - 6t)° $，$ ∠ BAC=(110 - t)° $。若 $ AB // CD $，则内错角相等，即 $ ∠ ACD = ∠ BAC $，得方程：
$ 120 - 6t = 110 - t $，解得 $ t=2 $。
② 当CD在EF右侧时，t的范围为 $ 20 ＜ t ＜ 50 $ 秒（$ (360° - 60°) ÷ 6°/\mathrm{秒}=50 $）。此时，$ ∠ DCF = 360° - (6t)° - 60° = (300 - 6t)° $，$ ∠ BAC=(110 - t)° $。若 $ AB // CD $，则同位角相等，即 $ ∠ DCF = ∠ BAC $，得方程：
$ 300 - 6t = 110 - t $，解得 $ t=38 $。
综上，在CD转动一周内，t的值为2或38时，CD与AB平行。
【答案】
2或38
【知识点】
平行线的判定、动态角度计算、一元一次方程应用
【点评】
本题为动态几何问题，需通过分类讨论射线转动后的位置，结合平行线判定建立方程求解，考查学生的分类思想和动态分析能力，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.3