1. 如图，$D$是$□ OABC$内一点，$AD$与$x$轴平行，$BD$与$y$轴平行，$BD=\sqrt{3}$，$∠ BDC=120°$，$S_{△ BCD}=\frac{9}{2}\sqrt{3}$，若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过$C,D$两点，则$k$的值为.

1. $-12\sqrt{3}$

2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图象与$y$轴交于点$C$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A,B$两点,点$A$在第一象限,纵坐标为$4$,点$B$在第三象限,$BM⊥x$轴,垂足为$M$,$BM=OM=2$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接$OB$,$MC$,求四边形$MBOC$的面积.

2. 解:(1)$\because BM=OM=2,\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-2,-2)$.
$\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过点 $B$,
则 $-2=\frac{k}{-2}$, 解得 $k=4$,
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{4}{x}$.
$\because$ 点 $A$ 的纵坐标是 $4,\therefore4=\frac{4}{x}$, 解得 $x=1$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$.
$\because$ 一次函数 $y=mx+n(m≠0)$ 的图象过点 $A(1,4)$,$B(-2,-2)$,
$\therefore \begin{cases}m+n=4,\\-2m+n=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=2,\\n=2,\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=2x+2$.
(2)$\because y=2x+2$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0,2)$.
$\because$ 点 $B(-2,-2)$,$BM⊥ x$ 轴,
$\therefore M(-2,0),MB// OC,\therefore OC=MB=2$,
$\therefore$ 四边形 $MBOC$ 是平行四边形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}MBOC}=OM· OC=4$.

3. 如图,在平面直角坐标系中,矩形$ABCD$的顶点$A$,$D$分别在$x$轴,$y$轴上,对角线$BD// x$轴,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过矩形对角线的交点$E$,若点$A(1,0),D(0,2)$,则$k$的值为.

3. 5

4. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知反比例函数 $y_1=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 的图象与正比
例函数 $y_2=mx(m＞0)$ 的图象交于点 $A,C$, 与正比例函数 $y_3=nx(n＞0)$ 的图象交于点 $B,D$,
设点 $A,D$ 的横坐标分别为 $s,t(0＜s＜t)$.
(1) 如图①, 若点 $A$ 的坐标为 $(2,4)$.
① 求 $m,k$ 的值;
② 若点 $D$ 的横坐标为 4, 连接 $AD$, 求 $△ AOD$ 的面积.
(2) 如图②, 依次连接 $AB,BC,CD$, 若四边形 $ABCD$ 为矩形,
求 $mn$ 的值.

4. 解:(1)①把 $A(2,4)$ 代入 $y_2=mx$, 得 $4=2m,\therefore m=2$.
把 $A(2,4)$ 代入 $y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$, 得 $4=\frac{k}{2},\therefore k=8$.
故 $m=2,k=8$.
②如答图, 延长 $DA$ 交 $y$ 轴于点 $K$.
$\because$ 反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象过点 $D$, 点 $D$ 的横坐标为 4,
$\therefore D(4,2)$.
设直线 $AD$ 的函数表达式为 $y=ax+b$,
则 $\begin{cases}2a+b=4,\\4a+b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=6,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AD$ 的函数表达式为 $y=-x+6$,
$\therefore K(0,6),\therefore OK=6$,
$\therefore S_{△ AOD}=S_{△ DOK}-S_{△ AOK}=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×6×2=6$,
故 $△ AOD$ 的面积为 6.

第4题答图
(2)由题意, 得 $A(s,ms),D(t,nt)$,
$\because$ 反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象经过点 $A,D$,
$\therefore k=ms^2=nt^2$ ①.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形, $\therefore AC=BD,\therefore OA=OD$,
$\therefore s^2+m^2s^2=t^2+n^2t^2$ ②,
由①②联立, 得 $(1+m^2)\frac{n}{m}t^2=(1+n^2)t^2$,
$\because t≠0,\therefore(1+m^2)n=(1+n^2)m$,
$\therefore(m-n)(mn-1)=0.\because m≠ n,\therefore1-mn=0$, 即 $mn=1$.