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5. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$在函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上,$AB⊥ x$轴于点$B$,$AB$的垂直平分线与$y$轴交于点$C$,与函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象交于点$D$,连接$AC,CB,BD,DA$,则四边形$ACBD$的面积等于
2
.答案
5. 2
6. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD$的顶点$C$与原点$O$重合,点$B$在$y$轴的正半轴上,点$A$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点$D$的坐标为$(3,4)$.
(1)菱形$ABCD$的边长为
(2)求$k$的值;
(3)若将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移,当菱形的顶点$D$落在函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上时,求菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移的距离.
(1)菱形$ABCD$的边长为
5
;(2)求$k$的值;
(3)若将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移,当菱形的顶点$D$落在函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上时,求菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移的距离.
答案
6. (1)5
(2)解:$\because$ 菱形 $ABCD$ 的边长为 5,
$\therefore OD=AD=5,AD// OB$.
$\because D(3,4),\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,9)$,
代入 $y=\frac{k}{x}$, 得 $k=27$.
(3)解:将菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移, 使得点 $D$ 落在函数 $y=\frac{27}{x}(x＞0)$ 的图象点 $D'$ 处, 则点 $D'$ 的坐标为 $(\frac{27}{4},4),\frac{27}{4}-3=\frac{15}{4}$,
即菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移的距离为 $\frac{15}{4}$.
(2)解:$\because$ 菱形 $ABCD$ 的边长为 5,
$\therefore OD=AD=5,AD// OB$.
$\because D(3,4),\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,9)$,
代入 $y=\frac{k}{x}$, 得 $k=27$.
(3)解:将菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移, 使得点 $D$ 落在函数 $y=\frac{27}{x}(x＞0)$ 的图象点 $D'$ 处, 则点 $D'$ 的坐标为 $(\frac{27}{4},4),\frac{27}{4}-3=\frac{15}{4}$,
即菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移的距离为 $\frac{15}{4}$.
7. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点 $A(m,0),B(m-a,0)(a＞m＞0)$ 的位置和函数 $y_1=\dfrac{m}{x}(x＞0)$,
$y_2=\dfrac{m-a}{x}(x＜0)$ 的图象如图所示. 以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作正方形 $ABCD$,$AD$ 边与函数 $y_1$ 的图象相交于点 $E$,$CD$ 边与函数 $y_1,y_2$ 的图象分别相交于点 $G,H$,一次函数 $y_3$ 的图象经过点 $E$, $G$,与 $y$ 轴相交于点 $P$,连接 $PH$.
(1)若 $m=2,a=4$,
①求函数 $y_3$ 的表达式及 $△ PGH$ 的面积；
②直接写出使 $y_1＞y_3＞0$ 成立的 $x$ 的取值范围.
(2)当 $a,m$ 在满足 $a＞m＞0$ 的条件下任意变化时, $△ PGH$ 的面积是否变化? 请说明理由.
$y_2=\dfrac{m-a}{x}(x＜0)$ 的图象如图所示. 以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作正方形 $ABCD$,$AD$ 边与函数 $y_1$ 的图象相交于点 $E$,$CD$ 边与函数 $y_1,y_2$ 的图象分别相交于点 $G,H$,一次函数 $y_3$ 的图象经过点 $E$, $G$,与 $y$ 轴相交于点 $P$,连接 $PH$.
(1)若 $m=2,a=4$,
①求函数 $y_3$ 的表达式及 $△ PGH$ 的面积；
②直接写出使 $y_1＞y_3＞0$ 成立的 $x$ 的取值范围.
(2)当 $a,m$ 在满足 $a＞m＞0$ 的条件下任意变化时, $△ PGH$ 的面积是否变化? 请说明理由.
答案
7. 解:(1)①$\because m=2,a=4$,
$\therefore$ 点 $A(2,0),B(-2,0),y_1=\frac{2}{x},y_2=-\frac{2}{x}$,
$\therefore$ 点 $E(2,1),G(\frac{1}{2},4),H(-\frac{1}{2},4),\therefore HG=1$.
$\because$ 一次函数 $y_3$ 的图象经过点 $E,G$,
$\therefore$ 设 $y_3=kx+b$, 则 $\begin{cases}2k+b=1,\\\frac{1}{2}k+b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=5,\end{cases}$
$\therefore$ 函数 $y_3$ 的表达式为 $y_3=-2x+5,\therefore P(0,5)$.
设 $CD$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$,
$PM=OP-OM=1$,
$\therefore S_{△ PGH}=\frac{1}{2}HG· PM=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$.
②当 $y_3=0$ 时, 则 $-2x+5=0$, 即 $x=\frac{5}{2}$,
$\therefore$ 当 $0＜x＜\frac{1}{2}$ 或 $2＜x＜\frac{5}{2}$ 时, $y_1＞y_3＞0$.
(2)$△ PGH$ 的面积不变化. 理由如下:
$\because$ 点 $A(m,0),B(m-a,0),y_1=\frac{m}{x},y_2=\frac{m-a}{x}$,
$\therefore$ 点 $E(m,1),G(\frac{m}{a},a),H(\frac{m-a}{a},a)$.
设 $y_3=k_1x+b_1$, 则 $\begin{cases}k_1m+b_1=1,\\k_1\frac{m}{a}+b_1=a,\end{cases}\therefore b_1=a+1$,
$\therefore P(0,a+1)$,
$\therefore PM=OP-OM=1$,
$\therefore S_{△ PGH}=\frac{1}{2}HG· PM=\frac{1}{2}(\frac{m}{a}-\frac{m-a}{a})×1=\frac{1}{2}$.
$\therefore$ 点 $A(2,0),B(-2,0),y_1=\frac{2}{x},y_2=-\frac{2}{x}$,
$\therefore$ 点 $E(2,1),G(\frac{1}{2},4),H(-\frac{1}{2},4),\therefore HG=1$.
$\because$ 一次函数 $y_3$ 的图象经过点 $E,G$,
$\therefore$ 设 $y_3=kx+b$, 则 $\begin{cases}2k+b=1,\\\frac{1}{2}k+b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=5,\end{cases}$
$\therefore$ 函数 $y_3$ 的表达式为 $y_3=-2x+5,\therefore P(0,5)$.
设 $CD$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$,
$PM=OP-OM=1$,
$\therefore S_{△ PGH}=\frac{1}{2}HG· PM=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$.
②当 $y_3=0$ 时, 则 $-2x+5=0$, 即 $x=\frac{5}{2}$,
$\therefore$ 当 $0＜x＜\frac{1}{2}$ 或 $2＜x＜\frac{5}{2}$ 时, $y_1＞y_3＞0$.
(2)$△ PGH$ 的面积不变化. 理由如下:
$\because$ 点 $A(m,0),B(m-a,0),y_1=\frac{m}{x},y_2=\frac{m-a}{x}$,
$\therefore$ 点 $E(m,1),G(\frac{m}{a},a),H(\frac{m-a}{a},a)$.
设 $y_3=k_1x+b_1$, 则 $\begin{cases}k_1m+b_1=1,\\k_1\frac{m}{a}+b_1=a,\end{cases}\therefore b_1=a+1$,
$\therefore P(0,a+1)$,
$\therefore PM=OP-OM=1$,
$\therefore S_{△ PGH}=\frac{1}{2}HG· PM=\frac{1}{2}(\frac{m}{a}-\frac{m-a}{a})×1=\frac{1}{2}$.
