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7.(2025·苏州月考)图①是某新款茶吧机,开始加热时,水温每分钟上升$20\ °\mathrm{C}$,加热到$100\ °\mathrm{C}$时,停止加热,水温开始下降,此时水温$y(°\mathrm{C})$是通电时间$x(\mathrm{min})$的反比例函数.若给水温为$20\ °\mathrm{C}$的水进行加热,水温$y$与通电时间$x$之间的函数关系如图②所示.
(1)在水温下降的过程中,求水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式;
(2)在该过程中,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间有多少分钟?
(1)在水温下降的过程中,求水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式;
(2)在该过程中,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间有多少分钟?
答案
7.解:(1)
∵开始加热时每分钟上升$20\ °\mathrm{C}$，
∴水温从$20\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$,所需时间为$\dfrac{100-20}{20}=4(\mathrm{min})$.
设水温下降过程中,$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}$，
由题意,得点$(4,100)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
$\therefore \dfrac{k}{4}=100$,解得$k=400$，
$\therefore$水温下降过程中,$y$与$x$的函数表达式是$y=\dfrac{400}{x}$.
(2)在加热过程中,水温为$40\ °\mathrm{C}$时,所需时间为$\dfrac{40-20}{20}=1(\mathrm{min})$，
即$1∼4\ \mathrm{min}$温度都不低于$40\ °\mathrm{C}$.
在降温过程中,水温为$40\ °\mathrm{C}$时,$40=\dfrac{400}{x}$，
解得$x=10$，
即$4∼10\ \mathrm{min}$内温度都不低于$40\ °\mathrm{C}$.
$\because 10-1=9(\mathrm{min})$，
$\therefore$一个加热周期内水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间为$9\ \mathrm{min}$.
∵开始加热时每分钟上升$20\ °\mathrm{C}$，
∴水温从$20\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$,所需时间为$\dfrac{100-20}{20}=4(\mathrm{min})$.
设水温下降过程中,$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}$，
由题意,得点$(4,100)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
$\therefore \dfrac{k}{4}=100$,解得$k=400$，
$\therefore$水温下降过程中,$y$与$x$的函数表达式是$y=\dfrac{400}{x}$.
(2)在加热过程中,水温为$40\ °\mathrm{C}$时,所需时间为$\dfrac{40-20}{20}=1(\mathrm{min})$，
即$1∼4\ \mathrm{min}$温度都不低于$40\ °\mathrm{C}$.
在降温过程中,水温为$40\ °\mathrm{C}$时,$40=\dfrac{400}{x}$，
解得$x=10$，
即$4∼10\ \mathrm{min}$内温度都不低于$40\ °\mathrm{C}$.
$\because 10-1=9(\mathrm{min})$，
$\therefore$一个加热周期内水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间为$9\ \mathrm{min}$.
8. 实验数据显示,一般成人喝 50 毫升某品牌白酒后,血液中酒精含量 y(毫克/百毫升)关于时间x(时)变化的图象如图所示(图象由线段 OA 与部分双曲线 AB 组成). 国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.
(1)求部分双曲线 AB 的函数表达式；
(2)参照上述数学模型,假设某驾驶员 22:00 在家喝完 50 毫升该品牌白酒,第二天早上6:30能否驾车去上班？请说明理由.
(1)求部分双曲线 AB 的函数表达式；
(2)参照上述数学模型,假设某驾驶员 22:00 在家喝完 50 毫升该品牌白酒,第二天早上6:30能否驾车去上班？请说明理由.
答案
8.解:(1)根据题意,直线$OA$过点$(\dfrac{1}{4},20)$,则直线$OA$的函数表达式为$y=80x$.
当$x=\dfrac{3}{2}$时,$y=120$,即$A(\dfrac{3}{2},120)$.
设双曲线的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}$,将点$A(\dfrac{3}{2},120)$代入,得$k=180$，
$\therefore$部分双曲线$AB$的函数表达式为$y=\dfrac{180}{x}(x≥\dfrac{3}{2})$.
(2)不能.理由如下:
由$y=\dfrac{180}{x}$,得当$y=20$时,$x=9$.
从$22:00$到第二天早上$6:30$时间间距为$8.5$小时，
$\because 8.5＜9$，
$\therefore$驾驶员第二天早上$6:30$不能驾车去上班.
当$x=\dfrac{3}{2}$时,$y=120$,即$A(\dfrac{3}{2},120)$.
设双曲线的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}$,将点$A(\dfrac{3}{2},120)$代入,得$k=180$，
$\therefore$部分双曲线$AB$的函数表达式为$y=\dfrac{180}{x}(x≥\dfrac{3}{2})$.
(2)不能.理由如下:
由$y=\dfrac{180}{x}$,得当$y=20$时,$x=9$.
从$22:00$到第二天早上$6:30$时间间距为$8.5$小时，
$\because 8.5＜9$，
$\therefore$驾驶员第二天早上$6:30$不能驾车去上班.
9. 方方驾驶小汽车从 A 地匀速行驶到 B 地,行驶里程为 480 千米,设小汽车的行驶时间为 $ t $(时),行驶速度为 $ v $(千米/时),且全程速度限定为不超过 120 千米/时.
(1)求 $ v $ 关于 $ t $ 的函数表达式.
(2)方方上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发.
①方方需在当天 12 时 48 分至 14 时(含 12 时 48 分和 14 时)之间到达 B 地,求小汽车行驶速度 $ v $ 的范围;
②方方能否在当天 11 时 30 分前到达 B 地? 说明理由.
(1)求 $ v $ 关于 $ t $ 的函数表达式.
(2)方方上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发.
①方方需在当天 12 时 48 分至 14 时(含 12 时 48 分和 14 时)之间到达 B 地,求小汽车行驶速度 $ v $ 的范围;
②方方能否在当天 11 时 30 分前到达 B 地? 说明理由.
答案
9.解:(1)$\because vt=480$,且全程速度限定为不超过$120$千米/时，
$\therefore v$关于$t$的函数表达式为$v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$.
(2)①8时至12时48分时长为$\dfrac{24}{5}$小时,8时至14时时长为$6$小时,将$t=6$代入$v=\dfrac{480}{t}$,得$v=80$;将$t=\dfrac{24}{5}$代入$v=\dfrac{480}{t}$,得$v=100$，
$\therefore$小汽车行驶速度$v$的范围为$80\ 千米/时≤ v≤ 100\ 千米/时$.
②方方不能在当天11时30分前到达B地.理由如下:
8时至11时30分时长为$\dfrac{7}{2}$小时,$\dfrac{7}{2}＜4$.
故方方不能在当天11时30分前到达B地.
$\therefore v$关于$t$的函数表达式为$v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$.
(2)①8时至12时48分时长为$\dfrac{24}{5}$小时,8时至14时时长为$6$小时,将$t=6$代入$v=\dfrac{480}{t}$,得$v=80$;将$t=\dfrac{24}{5}$代入$v=\dfrac{480}{t}$,得$v=100$，
$\therefore$小汽车行驶速度$v$的范围为$80\ 千米/时≤ v≤ 100\ 千米/时$.
②方方不能在当天11时30分前到达B地.理由如下:
8时至11时30分时长为$\dfrac{7}{2}$小时,$\dfrac{7}{2}＜4$.
故方方不能在当天11时30分前到达B地.
