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8. 如图3，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是
67
cm².答案
8.67
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，可通过“大长方形面积减去6个小长方形的总面积”求解，因此需要先求出小长方形的长和宽。我们设小长方形的长为x cm，宽为y cm，从图中提取两个等量关系列二元一次方程组：一是大长方形的长等于1条小长方形的长加3条小长方形的宽，即$x+3y=19$；二是大长方形的宽等于1条小长方形的长加1条小长方形的宽，即$x+y=13$。解出x、y后代入面积计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 19 \\x + y = 13\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$2y=6$，解得$y=3$
将$y=3$代入$x + y = 13$，得$x=13-3=10$
即小长方形的长为10cm，宽为3cm。
大长方形的面积：$19×13=247\ (\mathrm{cm}^2)$
6个小长方形的总面积：$6×10×3=180\ (\mathrm{cm}^2)$
阴影部分面积：$247-180=67\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
67
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查方程思想的应用，解题核心是准确从图形中找到长度的等量关系，列出方程组求出小长方形的长宽，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.65
要计算阴影部分的面积，可通过“大长方形面积减去6个小长方形的总面积”求解，因此需要先求出小长方形的长和宽。我们设小长方形的长为x cm，宽为y cm，从图中提取两个等量关系列二元一次方程组：一是大长方形的长等于1条小长方形的长加3条小长方形的宽，即$x+3y=19$；二是大长方形的宽等于1条小长方形的长加1条小长方形的宽，即$x+y=13$。解出x、y后代入面积计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 19 \\x + y = 13\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$2y=6$，解得$y=3$
将$y=3$代入$x + y = 13$，得$x=13-3=10$
即小长方形的长为10cm，宽为3cm。
大长方形的面积：$19×13=247\ (\mathrm{cm}^2)$
6个小长方形的总面积：$6×10×3=180\ (\mathrm{cm}^2)$
阴影部分面积：$247-180=67\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
67
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查方程思想的应用，解题核心是准确从图形中找到长度的等量关系，列出方程组求出小长方形的长宽，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.65
9.《九章算术》是我国古典数学最重要的著作之一.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图4和图5.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图4所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是$\begin{cases}3x + 2y = 19, \\x + 4y = 23.\end{cases}$类似地，图5所示的算筹图我们可以表述为 ______ .
答案
9.$\begin{cases}2x+y=11, \\4x+3y=27\end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心是先从题目给出的示例中总结算筹的表示规则：首先明确每行从左到右依次对应x的系数、y的系数、常数项；其次观察示例的数值与算筹的对应关系：系数都是个位数，竖放算筹的数量即为对应的数字；常数项为两位数，上方横放的算筹1根代表10（对应十位数值），下方个位区域横放1根代表5、竖放1根代表1，二者相加得到个位数值，十位加个位即为常数项。总结出规则后，再读图5的两行内容，分别转化为两个二元一次方程，组合即可得到所求方程组。
【解析】
首先根据已知示例明确算筹计数规则：
1. 每行从左到右三个部分，依次为x的系数、y的系数、常数项；
2. x、y的系数为个位数，有几根竖放算筹，对应系数就是几；
3. 常数项为两位数：上方横放的算筹1根代表10，对应十位数字；下方个位区域横放1根代表5，竖放1根代表1，二者相加得到个位数字，十位数值加个位数值就是常数项。
读图5第一行：x系数为2，y系数为1，常数项为$10+1=11$，可得方程$2x + y = 11$；
读图5第二行：x系数为4，y系数为3，常数项为$20+(5+2)=27$，可得方程$4x + 3y = 27$；
组合两个方程得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}2x+y=11, \\4x+3y=27\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的表示
2. 算筹计数法
【点评】
本题结合我国古代数学典籍《九章算术》中的算筹知识命题，既考查了对二元一次方程相关知识的掌握，也体现了我国古代数学的卓越成就，解题的关键是从给出的示例中归纳出算筹的计数规律，再对应转化为方程即可。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先从题目给出的示例中总结算筹的表示规则：首先明确每行从左到右依次对应x的系数、y的系数、常数项；其次观察示例的数值与算筹的对应关系：系数都是个位数，竖放算筹的数量即为对应的数字；常数项为两位数，上方横放的算筹1根代表10（对应十位数值），下方个位区域横放1根代表5、竖放1根代表1，二者相加得到个位数值，十位加个位即为常数项。总结出规则后，再读图5的两行内容，分别转化为两个二元一次方程，组合即可得到所求方程组。
【解析】
首先根据已知示例明确算筹计数规则：
1. 每行从左到右三个部分，依次为x的系数、y的系数、常数项；
2. x、y的系数为个位数，有几根竖放算筹，对应系数就是几；
3. 常数项为两位数：上方横放的算筹1根代表10，对应十位数字；下方个位区域横放1根代表5，竖放1根代表1，二者相加得到个位数字，十位数值加个位数值就是常数项。
读图5第一行：x系数为2，y系数为1，常数项为$10+1=11$，可得方程$2x + y = 11$；
读图5第二行：x系数为4，y系数为3，常数项为$20+(5+2)=27$，可得方程$4x + 3y = 27$；
组合两个方程得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}2x+y=11, \\4x+3y=27\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的表示
2. 算筹计数法
【点评】
本题结合我国古代数学典籍《九章算术》中的算筹知识命题，既考查了对二元一次方程相关知识的掌握，也体现了我国古代数学的卓越成就，解题的关键是从给出的示例中归纳出算筹的计数规律，再对应转化为方程即可。
【难度系数】
0.7
10. 根据图6中给出的信息，解答下列问题：
（1）如果放入10个球，使水面上升到50 cm，放入的大球、小球各多少个？
（2）现放入若干个球，使水面升高21 cm，且小球个数为奇数，有几种可能的组合？请一一列出（写出结果即可）。
（1）如果放入10个球，使水面上升到50 cm，放入的大球、小球各多少个？
（2）现放入若干个球，使水面升高21 cm，且小球个数为奇数，有几种可能的组合？请一一列出（写出结果即可）。
答案
10.（1）设一个小球使水面升高x cm，由题意，得3x=32-26，解得x=2. 设一个大球使水面升高y cm，由题意，得2y=32-26，解得y=3. 所以，放入一个小球水面升高2 cm，放入一个大球水面升高3 cm.设应放入大球m个，小球n个. 由题意，得$\begin{cases} m+n=10, \\ 3m+2n=50-26, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=6, \end{cases}$所以如果要使水面上升到50 cm，应放入大球4个，小球6个
（2）设放入小球a个，大球b个，根据题意，得2a+3b=21，①当a=0时，b=7；②当a=3时，b=5；③当a=6时，b=3；④当a=9时，b=1. 又
∵小球个数为奇数个，
∴a=3，b=5或a=9，b=1
（2）设放入小球a个，大球b个，根据题意，得2a+3b=21，①当a=0时，b=7；②当a=3时，b=5；③当a=6时，b=3；④当a=9时，b=1. 又
∵小球个数为奇数个，
∴a=3，b=5或a=9，b=1
解析
【分析】
解题首先要先求出单个小球、大球分别能使水面上升的高度：观察题图可知，原来水面高度为26cm，放入3个相同小球后水面升到32cm，总上升高度为32-26=6cm，由此可列一元一次方程求出单个小球使水面上升的高度；同理放入2个相同大球后水面也升到32cm，总上升高度同样是6cm，可求出单个大球使水面上升的高度。
（1）问设大球m个，小球n个，根据“球的总个数为10”“总上升高度为50-26=24cm”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到大球、小球的数量。
（2）问设小球a个，大球b个，根据总上升高度21cm列方程，再结合“小球个数为奇数”的条件，筛选出符合要求的非负整数解即可。
【解析】
首先计算单个球使水面上升的高度：
设1个小球使水面升高x cm，根据放入3个小球后水面从26cm升至32cm，可得：
$3x = 32 - 26$
解得$x = 2$，即1个小球可使水面升高2cm。
设1个大球使水面升高y cm，根据放入2个大球后水面从26cm升至32cm，可得：
$2y = 32 - 26$
解得$y = 3$，即1个大球可使水面升高3cm。
（1）设放入大球m个，小球n个，根据题意得：
$\begin{cases} m+n=10 \\ 3m+2n=50-26 \end{cases}$
化简第二个方程得$3m+2n=24$，
将第一个方程变形为$n=10-m$，代入第二个方程：
$3m + 2(10 - m) = 24$
$3m + 20 - 2m = 24$
解得$m=4$，
则$n=10-4=6$。
（2）设放入小球a个，大球b个，根据水面升高21cm可得：
$2a + 3b = 21$，其中a、b均为非负整数，且a为奇数。
对该方程求解：
当$a=0$时，$b=7$（a为偶数，舍去）；
当$a=3$时，$b=5$（a为奇数，符合要求）；
当$a=6$时，$b=3$（a为偶数，舍去）；
当$a=9$时，$b=1$（a为奇数，符合要求）；
$a≥11$时，$2a≥22＞21$，无符合条件的解。
【答案】
（1）放入大球4个，小球6个；
（2）共2种组合，分别是：①放入3个小球、5个大球；②放入9个小球、1个大球。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程求解，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的液面上升情景，考查了从图形中提取信息、建立等量关系列方程求解的能力，解题时需注意题目给出的限制条件，对解进行合理筛选。
【难度系数】
0.7
解题首先要先求出单个小球、大球分别能使水面上升的高度：观察题图可知，原来水面高度为26cm，放入3个相同小球后水面升到32cm，总上升高度为32-26=6cm，由此可列一元一次方程求出单个小球使水面上升的高度；同理放入2个相同大球后水面也升到32cm，总上升高度同样是6cm，可求出单个大球使水面上升的高度。
（1）问设大球m个，小球n个，根据“球的总个数为10”“总上升高度为50-26=24cm”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到大球、小球的数量。
（2）问设小球a个，大球b个，根据总上升高度21cm列方程，再结合“小球个数为奇数”的条件，筛选出符合要求的非负整数解即可。
【解析】
首先计算单个球使水面上升的高度：
设1个小球使水面升高x cm，根据放入3个小球后水面从26cm升至32cm，可得：
$3x = 32 - 26$
解得$x = 2$，即1个小球可使水面升高2cm。
设1个大球使水面升高y cm，根据放入2个大球后水面从26cm升至32cm，可得：
$2y = 32 - 26$
解得$y = 3$，即1个大球可使水面升高3cm。
（1）设放入大球m个，小球n个，根据题意得：
$\begin{cases} m+n=10 \\ 3m+2n=50-26 \end{cases}$
化简第二个方程得$3m+2n=24$，
将第一个方程变形为$n=10-m$，代入第二个方程：
$3m + 2(10 - m) = 24$
$3m + 20 - 2m = 24$
解得$m=4$，
则$n=10-4=6$。
（2）设放入小球a个，大球b个，根据水面升高21cm可得：
$2a + 3b = 21$，其中a、b均为非负整数，且a为奇数。
对该方程求解：
当$a=0$时，$b=7$（a为偶数，舍去）；
当$a=3$时，$b=5$（a为奇数，符合要求）；
当$a=6$时，$b=3$（a为偶数，舍去）；
当$a=9$时，$b=1$（a为奇数，符合要求）；
$a≥11$时，$2a≥22＞21$，无符合条件的解。
【答案】
（1）放入大球4个，小球6个；
（2）共2种组合，分别是：①放入3个小球、5个大球；②放入9个小球、1个大球。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程求解，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的液面上升情景，考查了从图形中提取信息、建立等量关系列方程求解的能力，解题时需注意题目给出的限制条件，对解进行合理筛选。
【难度系数】
0.7
