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4. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何？”意思是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，笼中各有几只鸡和几只兔？若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为。
答案
4.$\begin{cases} x+y=35, \\ 2x+4y=94 \end{cases}$
解析
【分析】
要列出符合题意的二元一次方程组，需先找到两个独立的等量关系：①先看头的数量：鸡和兔每只都只有1个头，总头数为35，因此鸡的数量加兔的数量等于总头数；②再看脚的数量：结合生活常识，1只鸡有2只脚，1只兔有4只脚，总脚数为94，因此鸡的总脚数加兔的总脚数等于总脚数。分别根据两个等量关系列方程，再联立即可得到方程组。
【解析】
第一步，根据总头数列第一个方程：
鸡有x只，兔有y只，每只动物各1个头，总头数35，可得：$x+y=35$。
第二步，根据总脚数列第二个方程：
1只鸡有2只脚，鸡的总脚数为$2x$；1只兔有4只脚，兔的总脚数为$4y$，总脚数94，可得：$2x+4y=94$。
第三步，联立两个方程，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=35, \\ 2x+4y=94 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 等量关系寻找
3. 鸡兔同笼问题
【点评】
本题是二元一次方程组实际应用的经典基础题，解题关键是准确提取题干中头数、脚数两个维度的等量关系，结合鸡兔脚数的生活常识即可顺利列对方程组，是巩固方程组实际应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的二元一次方程组，需先找到两个独立的等量关系：①先看头的数量：鸡和兔每只都只有1个头，总头数为35，因此鸡的数量加兔的数量等于总头数；②再看脚的数量：结合生活常识，1只鸡有2只脚，1只兔有4只脚，总脚数为94，因此鸡的总脚数加兔的总脚数等于总脚数。分别根据两个等量关系列方程，再联立即可得到方程组。
【解析】
第一步，根据总头数列第一个方程：
鸡有x只，兔有y只，每只动物各1个头，总头数35，可得：$x+y=35$。
第二步，根据总脚数列第二个方程：
1只鸡有2只脚，鸡的总脚数为$2x$；1只兔有4只脚，兔的总脚数为$4y$，总脚数94，可得：$2x+4y=94$。
第三步，联立两个方程，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=35, \\ 2x+4y=94 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 等量关系寻找
3. 鸡兔同笼问题
【点评】
本题是二元一次方程组实际应用的经典基础题，解题关键是准确提取题干中头数、脚数两个维度的等量关系，结合鸡兔脚数的生活常识即可顺利列对方程组，是巩固方程组实际应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
5. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min. 设平路有x m，下坡路有y m，则可列方程组为.
答案
5.$\begin{cases} \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{80}=10, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{40}=15 \end{cases}$
解析
【分析】
本题是行程类二元一次方程组应用题，解题核心依据是“时间=路程÷速度”的关系。首先梳理往返的路程和对应速度：从家到学校时，包含平路x m、下坡路y m，平路速度60m/min、下坡速度80m/min，总用时10min；从学校回家时，平路路程和速度不变，原来的下坡路变为上坡路，路程仍为y m，上坡速度40m/min，总用时15min。分别用路程除以速度表示出各段用时，再结合总用时即可列出两个方程，联立得到方程组。
【解析】
根据“时间=路程÷速度”分别列方程：
1. 从家到学校：平路用时为$\dfrac{x}{60}$min，下坡路用时为$\dfrac{y}{80}$min，总用时10min，可得方程：$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{80}=10$；
2. 从学校到家：平路用时仍为$\dfrac{x}{60}$min，上坡路用时为$\dfrac{y}{40}$min，总用时15min，可得方程：$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{40}=15$；
将两个方程联立，即为所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{80}=10, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{40}=15 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 行程问题公式
【点评】
本题属于基础的方程组实际应用题，解题关键是明确往返过程中坡路的类型发生变化，对应行驶速度不同，找准总时间的等量关系即可顺利求解，侧重考查对题意的理解和基本公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是行程类二元一次方程组应用题，解题核心依据是“时间=路程÷速度”的关系。首先梳理往返的路程和对应速度：从家到学校时，包含平路x m、下坡路y m，平路速度60m/min、下坡速度80m/min，总用时10min；从学校回家时，平路路程和速度不变，原来的下坡路变为上坡路，路程仍为y m，上坡速度40m/min，总用时15min。分别用路程除以速度表示出各段用时，再结合总用时即可列出两个方程，联立得到方程组。
【解析】
根据“时间=路程÷速度”分别列方程：
1. 从家到学校：平路用时为$\dfrac{x}{60}$min，下坡路用时为$\dfrac{y}{80}$min，总用时10min，可得方程：$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{80}=10$；
2. 从学校到家：平路用时仍为$\dfrac{x}{60}$min，上坡路用时为$\dfrac{y}{40}$min，总用时15min，可得方程：$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{40}=15$；
将两个方程联立，即为所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{80}=10, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{40}=15 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 行程问题公式
【点评】
本题属于基础的方程组实际应用题，解题关键是明确往返过程中坡路的类型发生变化，对应行驶速度不同，找准总时间的等量关系即可顺利求解，侧重考查对题意的理解和基本公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车. 人与车各多少？下列说法正确的是（
A.设有$ x $辆车，则可列方程为$ 2x - 9 = 3(x - 2) $
B.设有$ y $人，则可列方程为$ \frac{y + 9}{2} = \frac{y}{3} - 2 $
C.设有$ x $辆车，有$ y $人，则可列方程组为$\begin{cases} y = 2x + 9, \\ y = 3(x - 2) \end{cases}$
D.设有$ x $辆车，有$ y $人，则可列方程组为$\begin{cases} y = 2x + 9, \\ y = 3(x + 2) \end{cases}$
C
）.A.设有$ x $辆车，则可列方程为$ 2x - 9 = 3(x - 2) $
B.设有$ y $人，则可列方程为$ \frac{y + 9}{2} = \frac{y}{3} - 2 $
C.设有$ x $辆车，有$ y $人，则可列方程组为$\begin{cases} y = 2x + 9, \\ y = 3(x - 2) \end{cases}$
D.设有$ x $辆车，有$ y $人，则可列方程组为$\begin{cases} y = 2x + 9, \\ y = 3(x + 2) \end{cases}$
答案
6.C
解析
【分析】
这是一道结合古代数学背景的列方程（组）应用题，解题核心是抓住两种乘车方案中总人数、总车辆数均不变的特点，我们可以分别按不同设元方式推导等量关系，再逐一比对选项判断对错：若设车辆数为未知数，就用总人数相等列等式；若设总人数为未知数，就用总车辆数相等列等式；若设两个未知数，就分别用两种方案的总人数表达式列方程组即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析A选项：设$x$辆车，第一种方案中，2人坐一辆车，9人步行，总人数为$2x+9$；第二种方案中，3人坐一辆车，空2辆，即实际使用$(x-2)$辆车，总人数为$3(x-2)$。总人数相等，应列方程$2x+9=3(x-2)$，A选项左边为$2x-9$，错误。
2. 分析B选项：设$y$人，第一种方案中，步行9人，坐车的有$(y-9)$人，每车坐2人，总车辆数为$\frac{y-9}{2}$；第二种方案中，每车坐3人，坐满$y$人需要$\frac{y}{3}$辆车，还有2辆空车，总车辆数为$\frac{y}{3}+2$。总车辆数相等，应列方程$\frac{y-9}{2}=\frac{y}{3}+2$，B选项左右两边均不符合推导结果，错误。
3. 分析C、D选项：设$x$辆车，$y$人，结合前面的推导，两种方案的总人数分别可表示为$y=2x+9$和$y=3(x-2)$，联立得方程组$\begin{cases} y = 2x + 9, \\ y = 3(x - 2) \end{cases}$，故C正确，D中第二个方程错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 列方程解应用题
3. 等量关系识别
【点评】
本题结合传统数学典籍的内容考查方程（组）的实际应用，解题关键是准确翻译题目条件，抓住不变量建立等量关系，需要注意对“空车”“步行人数”等条件的正确转化，避免符号或运算逻辑错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合古代数学背景的列方程（组）应用题，解题核心是抓住两种乘车方案中总人数、总车辆数均不变的特点，我们可以分别按不同设元方式推导等量关系，再逐一比对选项判断对错：若设车辆数为未知数，就用总人数相等列等式；若设总人数为未知数，就用总车辆数相等列等式；若设两个未知数，就分别用两种方案的总人数表达式列方程组即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析A选项：设$x$辆车，第一种方案中，2人坐一辆车，9人步行，总人数为$2x+9$；第二种方案中，3人坐一辆车，空2辆，即实际使用$(x-2)$辆车，总人数为$3(x-2)$。总人数相等，应列方程$2x+9=3(x-2)$，A选项左边为$2x-9$，错误。
2. 分析B选项：设$y$人，第一种方案中，步行9人，坐车的有$(y-9)$人，每车坐2人，总车辆数为$\frac{y-9}{2}$；第二种方案中，每车坐3人，坐满$y$人需要$\frac{y}{3}$辆车，还有2辆空车，总车辆数为$\frac{y}{3}+2$。总车辆数相等，应列方程$\frac{y-9}{2}=\frac{y}{3}+2$，B选项左右两边均不符合推导结果，错误。
3. 分析C、D选项：设$x$辆车，$y$人，结合前面的推导，两种方案的总人数分别可表示为$y=2x+9$和$y=3(x-2)$，联立得方程组$\begin{cases} y = 2x + 9, \\ y = 3(x - 2) \end{cases}$，故C正确，D中第二个方程错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 列方程解应用题
3. 等量关系识别
【点评】
本题结合传统数学典籍的内容考查方程（组）的实际应用，解题关键是准确翻译题目条件，抓住不变量建立等量关系，需要注意对“空车”“步行人数”等条件的正确转化，避免符号或运算逻辑错误。
【难度系数】
0.7
7. 用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片拼图. 如图1和图2，已知图1中4张长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为16 $\mathrm{cm}^2$，图2中8张长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为9 $\mathrm{cm}^2$. 若设每张长方形纸片的长为$x$ cm，宽为$y$ cm，则下列方程组正确的是（
A.$\begin{cases} x + y = 3, \\ x + 2y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 3, \\ x - 2y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - y = 4, \\ x + 2y = 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 4, \\ x - 2y = 3 \end{cases}$
D
）.A.$\begin{cases} x + y = 3, \\ x + 2y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 3, \\ x - 2y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - y = 4, \\ x + 2y = 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 4, \\ x - 2y = 3 \end{cases}$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先从已知的阴影正方形面积入手，先算出两个阴影正方形的边长，再结合两幅图的结构，分别找出阴影正方形边长和长方形长x、宽y的等量关系，最后联立得到方程组，匹配正确选项即可。
第一步：根据正方形面积=边长²，已知面积可求边长，图1阴影面积16cm²，边长为4cm；图2阴影面积9cm²，边长为3cm。
第二步：观察图1，4张长方形围出的阴影正方形的边长，恰好等于长方形的长减去宽，据此列出第一个方程。
第三步：观察图2，8张长方形围出的阴影正方形的边长，恰好等于长方形的长减去2倍的宽，据此列出第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 计算两个阴影正方形的边长：
正方形面积等于边长的平方，因此：
图1阴影正方形边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$；
图2阴影正方形边长为$\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 结合图形列方程：
观察图1可得，阴影正方形的边长 = 长方形的长 - 长方形的宽，即：
$x - y = 4$
观察图2可得，阴影正方形的边长 = 长方形的长 - 2×长方形的宽，即：
$x - 2y = 3$
3. 联立方程得方程组：$\begin{cases} x - y = 4 \\ x - 2y = 3 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 正方形面积公式
3. 算术平方根计算
【点评】
本题是数形结合列方程组的典型题目，解题核心是准确从图形中提取边长的等量关系，同时需要掌握正方形面积和边长的换算，既考查读图分析能力，也考查方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的阴影正方形面积入手，先算出两个阴影正方形的边长，再结合两幅图的结构，分别找出阴影正方形边长和长方形长x、宽y的等量关系，最后联立得到方程组，匹配正确选项即可。
第一步：根据正方形面积=边长²，已知面积可求边长，图1阴影面积16cm²，边长为4cm；图2阴影面积9cm²，边长为3cm。
第二步：观察图1，4张长方形围出的阴影正方形的边长，恰好等于长方形的长减去宽，据此列出第一个方程。
第三步：观察图2，8张长方形围出的阴影正方形的边长，恰好等于长方形的长减去2倍的宽，据此列出第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 计算两个阴影正方形的边长：
正方形面积等于边长的平方，因此：
图1阴影正方形边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$；
图2阴影正方形边长为$\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 结合图形列方程：
观察图1可得，阴影正方形的边长 = 长方形的长 - 长方形的宽，即：
$x - y = 4$
观察图2可得，阴影正方形的边长 = 长方形的长 - 2×长方形的宽，即：
$x - 2y = 3$
3. 联立方程得方程组：$\begin{cases} x - y = 4 \\ x - 2y = 3 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 正方形面积公式
3. 算术平方根计算
【点评】
本题是数形结合列方程组的典型题目，解题核心是准确从图形中提取边长的等量关系，同时需要掌握正方形面积和边长的换算，既考查读图分析能力，也考查方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
