(2)将函数$y=\sin 2x$的图象上所有的点向右平移$\frac{π}{10}$个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是（）

A.$y=\sin(4x-\frac{π}{10})$
B.$y=\sin(x-\frac{π}{10})$
C.$y=\sin(4x-\frac{π}{5})$
D.$y=\sin(x-\frac{π}{5})$

将函数$y=\sin 2x$的图象上所有的点向右平移$\frac{π}{10}$个单位长度，得到$y=\sin[2(x-\frac{π}{10})]=\sin(2x-\frac{π}{5})$的图象；
再把所得各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)，得到$y=\sin[2(2x)-\frac{π}{5}]=\sin(4x-\frac{π}{5})$的图象.

【典例2】已知函数$f(x)=A\sin(ω x+\varphi)(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2})$的部分图象如图所示.

(1)求$f(x)$的解析式.
(2)设函数$g(x)=\sqrt{3}f(x)-f(x+\frac{π}{12})$.
(i)求$g(x)$的最大值及对应的$x$的值；
(ii)求$g(x)$的单调递增区间和对称中心的坐标.
解题指导 (1)由图象可得函数的最小正周期及最大值,再通过已知点$(\frac{13π}{12},2)$,可求得$\varphi$的值,即可得$f(x)$的解析式.
(2)利用三角恒等变换化简函数解析式,(i)根据整体思想及正弦函数的最值求解;(ii)根据正弦函数的单调性及对称性,利用整体思想,分别建立不等式组与方程求解.
答案 解:(1)由题图可得,函数$f(x)$的最小正周期$T=\frac{4}{3}×(\frac{13π}{12}-\frac{π}{3})=π$,则$ω=\frac{2π}{T}=2$.
由题图可得,函数$f(x)$的最大值为2,则$A=$
方法总结
确定$y=A\sin(ω x+\varphi)(A＞0,ω＞0)$的解析式的步骤
(1)求$A$,确定函数的最大值$M$或最小值$m$；
(2)求$ω$,确定函数的最小正周期$T$,则$ω=\frac{2π}{T}$；
(3)求$\varphi$,常用方法有以下两种:

解：(1) 由题图可得，函数$f(x)$的最小正周期
$T=\frac{4}{3}×(\frac{13π}{12}-\frac{π}{3})=π$
则$ω=\frac{2π}{T}=2$。
由题图可知函数最大值为$2$，且$A＞0$，故$A=2$。
因此$f(x)=2\sin(2x+\varphi)$，将点$(\frac{13π}{12},2)$代入得：
$2\sin(2×\frac{13π}{12}+\varphi)=2$
即$\sin(\frac{13π}{6}+\varphi)=1$，化简得$\sin(\frac{π}{6}+\varphi)=1$，
故$\frac{π}{6}+\varphi=\frac{π}{2}+2kπ,k\in\mathbb{Z}$，解得$\varphi=\frac{π}{3}+2kπ,k\in\mathbb{Z}$。
又$|\varphi|＜\frac{π}{2}$，所以$\varphi=\frac{π}{3}$。
因此$f(x)$的解析式为：
$f(x)=2\sin(2x+\frac{π}{3})$
(2) 由$f(x)=2\sin(2x+\frac{π}{3})$，代入$g(x)$得：
$\begin{aligned}g(x)&=\sqrt{3}·2\sin(2x+\frac{π}{3})-2\sin[2(x+\frac{π}{12})+\frac{π}{3}]\\&=2\sqrt{3}\sin(2x+\frac{π}{3})-2\sin(2x+\frac{π}{2})\\&=2\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x)-2\cos2x\\&=\sqrt{3}\sin2x+3\cos2x-2\cos2x\\&=\sqrt{3}\sin2x+\cos2x\\&=2\sin(2x+\frac{π}{6})\end{aligned}$
(i) 因为正弦函数的值域为$[-1,1]$，所以当$\sin(2x+\frac{π}{6})=1$时，$g(x)$取得最大值$2$。
令$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ,k\in\mathbb{Z}$，解得$x=\frac{π}{6}+kπ,k\in\mathbb{Z}$。
即$g(x)$的最大值为$2$，对应的$x$的取值集合为$\{x∣ x=\frac{π}{6}+kπ,k\in\mathbb{Z}\}$。
(ii) 求单调递增区间：
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ,k\in\mathbb{Z}$，
解得$-\frac{π}{3}+kπ≤ x≤\frac{π}{6}+kπ,k\in\mathbb{Z}$，
因此$g(x)$的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ,\frac{π}{6}+kπ],k\in\mathbb{Z}$。
求对称中心坐标：
令$2x+\frac{π}{6}=kπ,k\in\mathbb{Z}$，解得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12},k\in\mathbb{Z}$，
因此$g(x)$的对称中心坐标为$(\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12},0),k\in\mathbb{Z}$。