14. 有一个数学游戏，如图，一个实数从A、B、C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置. 例如：将3按照B→C(或C→B)的顺序进行运算，是将3经过“乘以-2”的运算得出结果-6.
(1)将-2按照A→B→C→A的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于3的数按照A→C→B→A的顺序进行运算，发现运算结果总小于1. 请验证这个结论.

14. (1)$(-2+1)×(-2)-3=-1$
(2)略

【分析】
(1) 第一问先明确各段路径对应的运算规则：A→B为加上1，B→C为乘以-2，C→A为减去3，将初始数-2按运算顺序逐步代入，或直接列综合算式计算即可。
(2) 第二问先设这个大于3的数为x（x＞3），再按A→C→B→A的路径对应运算列代数式：A→C为减去3，C→B为乘以-2，B→A为加上1，化简代数式后结合x＞3的条件，利用不等式性质判断结果与1的大小关系，即可验证结论。
【解析】
(1) 按A→B→C→A的顺序运算，综合算式为：
$\begin{aligned}(-2+1)×(-2)-3&=(-1)×(-2)-3\\&=2-3\\&=-1\end{aligned}$
(2) 设这个大于3的数为$x$（$x＞3$），按A→C→B→A的顺序运算，最终结果为：
$\begin{aligned}(x-3)×(-2)+1&=-2x+6+1\\&=-2x+7\end{aligned}$
$\because x＞3$，根据不等式性质，两边同乘-2得$-2x＜-6$，
两边再加7得$-2x+7＜-6+7$，即$-2x+7＜1$，
因此运算结果总小于1，结论成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2+1)×(-2)-3=-1}$，运算结果为$\boldsymbol{-1}$；
(2) 结论成立，验证过程如上。
【知识点】
有理数混合运算，代数式化简，不等式的基本性质
【点评】
本题结合趣味运算游戏考查基础运算与代数推理能力，解题核心是准确匹配路径对应的运算规则，按顺序列式计算，题型新颖，注重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.7

15. 【阅读感悟】
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题.
例：已知实数m、n满足$m＞n＞0$，证明$m^2＞n^2$.
证明：∵ $m＞n$且m，n均为正，
∴ $m^2＞$，$mn＞$（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）.
∴ $m^2＞n^2$（不等关系具有传递性）.
【解决问题】
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）证明：若$x＜y$，则$\frac{x+2y}{3}＜y$.

15. (1)$mn$ $n^2$
(2)证明略

【分析】
（1）本题考查不等式基本性质的应用，已知$m＞n＞0$，根据不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变的性质：第一步给$m＞n$两边同时乘正数$m$，即可得到$m^2$对应的不等关系；第二步给$m＞n$两边同时乘正数$n$，即可得到$mn$对应的不等关系，再结合传递性就能推出结论。
（2）要证明$\frac{x+2y}{3}＜y$，可以从已知条件$x＜y$出发，利用不等式的基本性质逐步变形到目标不等式：先给不等式两边同时加$2y$，再给两边同时除以正数3，不等号方向都不改变，即可推导出结论。
【解析】
（1）已知$m＞n＞0$，
给$m＞n$两边同时乘正数$m$，得：$m^2＞mn$；
给$m＞n$两边同时乘正数$n$，得：$mn＞n^2$；
所以两个空依次填$mn$、$n^2$。
（2）证明：
∵ $x ＜ y$，
根据不等式的性质1，不等式两边同时加$2y$，不等号方向不变，可得：
$x + 2y ＜ y + 2y$，即$x + 2y ＜ 3y$，
又
∵3是正数，根据不等式的性质2，不等式两边同时除以3，不等号方向不变，可得：
$\frac{x+2y}{3} ＜ y$，
故原不等式得证。
【答案】
(1) $mn$；$n^2$
(2) 证明见解析
【知识点】
不等式的基本性质，不等关系的传递性
【点评】
本题属于代数证明的基础题型，重点考查不等式基本性质的灵活运用，解题时需注意乘除正数时不等号方向不变的规则，有助于培养初步的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8