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1 分类讨论思想 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂有三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.
（1）若商场同时购进两种不同型号的电视机50台，正好用去9万元，则该商场有几种进货方案？
（2）若该商场销售一台甲种、乙种、丙种电视机，分别可获利150元、200元、250元，为使获利最多，则应选择(1)中哪种进货方案？
（1）若商场同时购进两种不同型号的电视机50台，正好用去9万元，则该商场有几种进货方案？
（2）若该商场销售一台甲种、乙种、丙种电视机，分别可获利150元、200元、250元，为使获利最多，则应选择(1)中哪种进货方案？
答案
(1) 分三种情况讨论：① 设购进甲种电视机x台，购进乙种电视机(50−x)台。根据题意，得1 500x+2 100(50−x)=90 000。解这个方程，得x=25，此时50−x=25。所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台。② 设购进甲种电视机y台，购进丙种电视机(50−y)台。根据题意，得1 500y+2 500(50−y)=90 000。解这个方程，得y=35，此时50−y=15。所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。③ 设购进乙种电视机m台，购进丙种电视机(50−m)台。根据题意，得2 100m+2 500(50−m)=90 000。解这个方程，得m=87.5(不合题意，舍去)。综上所述，该商场有2种进货方案，方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台
(2) 方案一的利润为25×150+25×200=8 750(元)，方案二的利润为35×150+15×250=9 000(元)。因为9 000＞8 750，所以方案二获利多，即为使获利最多，应选择购进甲种电视机35台，丙种电视机15台
(2) 方案一的利润为25×150+25×200=8 750(元)，方案二的利润为35×150+15×250=9 000(元)。因为9 000＞8 750，所以方案二获利多，即为使获利最多，应选择购进甲种电视机35台，丙种电视机15台
解析
【分析】
（1）题目要求购进两种不同型号的电视机，共有甲乙、甲丙、乙丙三种组合可能，因此需分三类讨论。每类设其中一种型号的数量为未知数，另一种型号数量用总台数50台表示，再根据总拨款9万元列一元一次方程求解，解必须为非负整数才符合实际进货要求，最终统计可行的方案数。
（2）在（1）得到的可行方案基础上，分别计算每种方案的总利润，对比利润大小即可选出获利最多的方案。
【解析】
先统一单位：9万元=90000元
(1) 分三种情况讨论：
① 设购进甲种电视机x台，购进乙种电视机(50−x)台。根据总费用列方程：
$1500x+2100(50−x)=90000$
解得$x=25$，此时$50−x=25$，符合实际，即购进甲种电视机25台，乙种电视机25台。
② 设购进甲种电视机y台，购进丙种电视机(50−y)台。根据总费用列方程：
$1500y+2500(50−y)=90000$
解得$y=35$，此时$50−y=15$，符合实际，即购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。
③ 设购进乙种电视机m台，购进丙种电视机(50−m)台。根据总费用列方程：
$2100m+2500(50−m)=90000$
解得$m=87.5$，电视机台数为正整数，该结果不合题意，舍去。
综上所述，共有2种可行进货方案。
(2) 分别计算两种方案的利润：
方案一利润：$25×150+25×200=8750$（元）
方案二利润：$35×150+15×250=9000$（元）
因为$9000＞8750$，所以方案二获利更多。
【答案】
(1) 有2种进货方案：方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。
(2) 应选择购进甲种电视机35台，丙种电视机15台的进货方案。
【知识点】
一元一次方程应用，分类讨论思想，最优方案选择
【点评】
本题是典型的方案决策类应用题，解题时需先根据题干要求明确所有可能的情况分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合实际意义，再通过计算对比得到最优方案，能有效考察方程应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）题目要求购进两种不同型号的电视机，共有甲乙、甲丙、乙丙三种组合可能，因此需分三类讨论。每类设其中一种型号的数量为未知数，另一种型号数量用总台数50台表示，再根据总拨款9万元列一元一次方程求解，解必须为非负整数才符合实际进货要求，最终统计可行的方案数。
（2）在（1）得到的可行方案基础上，分别计算每种方案的总利润，对比利润大小即可选出获利最多的方案。
【解析】
先统一单位：9万元=90000元
(1) 分三种情况讨论：
① 设购进甲种电视机x台，购进乙种电视机(50−x)台。根据总费用列方程：
$1500x+2100(50−x)=90000$
解得$x=25$，此时$50−x=25$，符合实际，即购进甲种电视机25台，乙种电视机25台。
② 设购进甲种电视机y台，购进丙种电视机(50−y)台。根据总费用列方程：
$1500y+2500(50−y)=90000$
解得$y=35$，此时$50−y=15$，符合实际，即购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。
③ 设购进乙种电视机m台，购进丙种电视机(50−m)台。根据总费用列方程：
$2100m+2500(50−m)=90000$
解得$m=87.5$，电视机台数为正整数，该结果不合题意，舍去。
综上所述，共有2种可行进货方案。
(2) 分别计算两种方案的利润：
方案一利润：$25×150+25×200=8750$（元）
方案二利润：$35×150+15×250=9000$（元）
因为$9000＞8750$，所以方案二获利更多。
【答案】
(1) 有2种进货方案：方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。
(2) 应选择购进甲种电视机35台，丙种电视机15台的进货方案。
【知识点】
一元一次方程应用，分类讨论思想，最优方案选择
【点评】
本题是典型的方案决策类应用题，解题时需先根据题干要求明确所有可能的情况分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合实际意义，再通过计算对比得到最优方案，能有效考察方程应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
2 某地生产一种蔬菜，若在市场上直接销售，则每吨利润为1 000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500元. 当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工能力如下：如果对蔬菜进行粗加工，那么每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，那么每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案：
方案一，将蔬菜全部进行粗加工；
方案二，尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三，将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天之内完成.
你认为哪种方案获利最多？为什么？
方案一，将蔬菜全部进行粗加工；
方案二，尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三，将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天之内完成.
你认为哪种方案获利最多？为什么？
答案
方案三获利最多。方案一：因为16×15=240(吨)，240＞140，所以可以在15天内加工完，总利润为140×4 500=630 000(元)。方案二：因为每天精加工6吨，6×15=90(吨)，140−90=50(吨)，所以15天可以精加工90吨，其余50吨直接销售，总利润为90×7 500+50×1 000=725 000(元)。方案三：设15天中粗加工x天，则精加工(15−x)天。根据题意，得16x+6(15−x)=140。解这个方程，得x=5。此时粗加工5天，共加工蔬菜16×5=80(吨)，精加工10天，共加工蔬菜6×10=60(吨)，总利润为60×7 500+80×4 500=810 000(元)。因为630 000＜725 000＜810 000，所以方案三获利最多
解析
【分析】
要判断哪种方案获利最多，需分别计算三种方案的总利润，再比较大小即可得出结论。计算各方案利润时：①方案一先判断15天粗加工的产能是否足够加工140吨蔬菜，若足够则直接用总吨数乘粗加工每吨利润；②方案二先算出15天最多可精加工的蔬菜吨数，剩余未加工的蔬菜按直接销售的利润计算，两部分相加得总利润；③方案三的加工时间和总蔬菜吨数均固定，可设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140吨”的等量关系列一元一次方程求解，再分别计算两类加工的利润求和，最后对比三个利润的大小即可判断最优方案。
【解析】
分别计算三种方案的总利润：
1. 计算方案一利润：
粗加工每天可加工16吨，15天可加工总吨数为 $16×15=240$（吨），$240＞140$，说明15天内可完成全部粗加工。
总利润：$140×4500=630000$（元）。
2. 计算方案二利润：
精加工每天可加工6吨，15天可精加工总吨数为 $6×15=90$（吨），剩余未加工的蔬菜为 $140-90=50$（吨），这部分直接在市场销售。
总利润：$90×7500+50×1000=675000+50000=725000$（元）。
3. 计算方案三利润：
设15天中粗加工$x$天，则精加工$(15-x)$天，根据总蔬菜吨数为140吨列方程：
$16x+6(15-x)=140$
解方程：
去括号得 $16x+90-6x=140$，
合并同类项得 $10x+90=140$，
移项计算得 $10x=50$，解得 $x=5$。
即粗加工5天，精加工$15-5=10$天。
粗加工蔬菜吨数：$16×5=80$（吨），
精加工蔬菜吨数：$6×10=60$（吨），
总利润：$60×7500+80×4500=450000+360000=810000$（元）。
对比三个方案的利润：$630000＜725000＜810000$，因此方案三获利最多。
【答案】
方案三获利最多。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案最优选择，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的方案决策类实际应用题，解题核心是紧扣题目给出的加工时间、总吨数等限制条件，分别计算各方案的收益再比较大小。其中方案三需要通过设未知数列方程求解加工天数，考查了方程思想在实际问题中的应用，解题时要注意找准等量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪种方案获利最多，需分别计算三种方案的总利润，再比较大小即可得出结论。计算各方案利润时：①方案一先判断15天粗加工的产能是否足够加工140吨蔬菜，若足够则直接用总吨数乘粗加工每吨利润；②方案二先算出15天最多可精加工的蔬菜吨数，剩余未加工的蔬菜按直接销售的利润计算，两部分相加得总利润；③方案三的加工时间和总蔬菜吨数均固定，可设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140吨”的等量关系列一元一次方程求解，再分别计算两类加工的利润求和，最后对比三个利润的大小即可判断最优方案。
【解析】
分别计算三种方案的总利润：
1. 计算方案一利润：
粗加工每天可加工16吨，15天可加工总吨数为 $16×15=240$（吨），$240＞140$，说明15天内可完成全部粗加工。
总利润：$140×4500=630000$（元）。
2. 计算方案二利润：
精加工每天可加工6吨，15天可精加工总吨数为 $6×15=90$（吨），剩余未加工的蔬菜为 $140-90=50$（吨），这部分直接在市场销售。
总利润：$90×7500+50×1000=675000+50000=725000$（元）。
3. 计算方案三利润：
设15天中粗加工$x$天，则精加工$(15-x)$天，根据总蔬菜吨数为140吨列方程：
$16x+6(15-x)=140$
解方程：
去括号得 $16x+90-6x=140$，
合并同类项得 $10x+90=140$，
移项计算得 $10x=50$，解得 $x=5$。
即粗加工5天，精加工$15-5=10$天。
粗加工蔬菜吨数：$16×5=80$（吨），
精加工蔬菜吨数：$6×10=60$（吨），
总利润：$60×7500+80×4500=450000+360000=810000$（元）。
对比三个方案的利润：$630000＜725000＜810000$，因此方案三获利最多。
【答案】
方案三获利最多。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案最优选择，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的方案决策类实际应用题，解题核心是紧扣题目给出的加工时间、总吨数等限制条件，分别计算各方案的收益再比较大小。其中方案三需要通过设未知数列方程求解加工天数，考查了方程思想在实际问题中的应用，解题时要注意找准等量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3 某中学组织了全校七年级学生以“传承红色基因，争做时代新人”为主题的诗歌朗诵比赛，并准备购买若干支创意钢笔进行奖励.甲、乙两家商店的标价都是每支50元，两家商店推出不同的优惠方式如下表：
（1）该中学购买多少支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同？
（2）若该中学需购买40支创意钢笔，请你通过计算说明选择哪家商店更省钱.
（3）请你为该中学设计一个方案，使其合理选择商店购买创意钢笔.
（1）该中学购买多少支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同？
（2）若该中学需购买40支创意钢笔，请你通过计算说明选择哪家商店更省钱.
（3）请你为该中学设计一个方案，使其合理选择商店购买创意钢笔.
答案
(1) 设该中学购买x支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同。根据题意，可知x＞10。在甲商店购买x(x＞10)支创意钢笔所需费用为50×10+50×0.7(x−10)=(35x+150)元。在乙商店购买x(x＞10)支创意钢笔所需费用为50×0.8x=40x(元)。根据题意，得35x+150=40x，解得x=30。答：该中学购买30支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同
(2) 在甲商店购买40支创意钢笔需付款35×40+150=1 550(元)，在乙商店购买40支创意钢笔需付款40×40=1 600(元)。因为1 550＜1 600，所以选择甲商店更省钱
(3) 由(1)(2)对比，发现当该中学购买少于30支创意钢笔时，选择乙商店更划算；当该中学正好购买30支创意钢笔时，甲、乙两家商店一样划算；当该中学购买多于30支创意钢笔时，选择甲商店更划算
(2) 在甲商店购买40支创意钢笔需付款35×40+150=1 550(元)，在乙商店购买40支创意钢笔需付款40×40=1 600(元)。因为1 550＜1 600，所以选择甲商店更省钱
(3) 由(1)(2)对比，发现当该中学购买少于30支创意钢笔时，选择乙商店更划算；当该中学正好购买30支创意钢笔时，甲、乙两家商店一样划算；当该中学购买多于30支创意钢笔时，选择甲商店更划算
解析
【分析】
（1）要找两家费用相同的购买数量，首先判断数量范围：若购买数量不超过10支，甲店无优惠、乙店打8折，费用必然不同，因此购买数量一定大于10支。设购买数量为x支，分别表示出两家店的购买费用，令二者相等列一元一次方程求解即可。
（2）判断购买40支时哪家省钱，只需将x=40分别代入两家店的费用计算公式，算出费用后比较大小即可。
（3）以第（1）问求出的费用相等时的购买数量为分界点，分“购买数量小于分界值、等于分界值、大于分界值”三种情况讨论，分别判断哪家费用更低，得出最优方案。
【解析】
（1）设该中学购买x支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同。
由题意可知x＞10，甲商店购买x支的费用：$50×10 + 50×0.7(x-10) = (35x + 150)$元，乙商店购买x支的费用：$50×0.8x = 40x$元。
根据费用相等列方程：$35x + 150 = 40x$，解得$x=30$。
（2）当购买40支时：
甲商店费用：$35×40 + 150 = 1550$元，乙商店费用：$40×40 = 1600$元。
因为$1550 ＜ 1600$，所以选择甲商店更省钱。
（3）结合（1）的结论分情况讨论：
①购买数量少于30支时，选乙商店更划算；
②购买数量为30支时，两家商店费用相同，任选一家即可；
③购买数量多于30支时，选甲商店更划算。
【答案】
（1）该中学购买30支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同；
（2）购买40支创意钢笔时，选择甲商店更省钱；
（3）购买创意钢笔数量少于30支选乙商店，等于30支两家均可，多于30支选甲商店。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案决策，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考查了列一元一次方程解应用题的能力和分类讨论思想，解题时要注意分段优惠的适用范围，准确列出不同场景下的费用表达式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要找两家费用相同的购买数量，首先判断数量范围：若购买数量不超过10支，甲店无优惠、乙店打8折，费用必然不同，因此购买数量一定大于10支。设购买数量为x支，分别表示出两家店的购买费用，令二者相等列一元一次方程求解即可。
（2）判断购买40支时哪家省钱，只需将x=40分别代入两家店的费用计算公式，算出费用后比较大小即可。
（3）以第（1）问求出的费用相等时的购买数量为分界点，分“购买数量小于分界值、等于分界值、大于分界值”三种情况讨论，分别判断哪家费用更低，得出最优方案。
【解析】
（1）设该中学购买x支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同。
由题意可知x＞10，甲商店购买x支的费用：$50×10 + 50×0.7(x-10) = (35x + 150)$元，乙商店购买x支的费用：$50×0.8x = 40x$元。
根据费用相等列方程：$35x + 150 = 40x$，解得$x=30$。
（2）当购买40支时：
甲商店费用：$35×40 + 150 = 1550$元，乙商店费用：$40×40 = 1600$元。
因为$1550 ＜ 1600$，所以选择甲商店更省钱。
（3）结合（1）的结论分情况讨论：
①购买数量少于30支时，选乙商店更划算；
②购买数量为30支时，两家商店费用相同，任选一家即可；
③购买数量多于30支时，选甲商店更划算。
【答案】
（1）该中学购买30支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同；
（2）购买40支创意钢笔时，选择甲商店更省钱；
（3）购买创意钢笔数量少于30支选乙商店，等于30支两家均可，多于30支选甲商店。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案决策，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考查了列一元一次方程解应用题的能力和分类讨论思想，解题时要注意分段优惠的适用范围，准确列出不同场景下的费用表达式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
