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10 新考向 新定义题 用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数$a$和$b$,规定$a☆b=ab^2 - 2ab + b$.例如:$2☆(-3)=2×(-3)^2 - 2×2×(-3)+(-3)=27$.
(1) 求$(-4)☆7$的值;
(2) 若$(1 - 3x)☆(-4)=32$,求$x$的值.
(1) 求$(-4)☆7$的值;
(2) 若$(1 - 3x)☆(-4)=32$,求$x$的值.
答案
10. (1)$(-4)☆7=(-4)×7^2-2×(-4)×7+7=-133$
(2)根据题意,得$(1-3x)×(-4)^2-2×(1-3x)×(-4)+(-4)=32$.整理,得$16(1-3x)+8(1-3x)-4=32$,解得$x=-\frac{1}{6}$
(2)根据题意,得$(1-3x)×(-4)^2-2×(1-3x)×(-4)+(-4)=32$.整理,得$16(1-3x)+8(1-3x)-4=32$,解得$x=-\frac{1}{6}$
解析
【分析】
解决新定义运算类题目，首先要明确新运算的规则：本题中$a☆b$的运算规则是用第一个数乘第二个数的平方，减去2乘两个数的乘积，再加上第二个数。
(1) 求$(-4)☆7$时，直接对应规则里的$a=-4$，$b=7$，代入运算式，按照有理数混合运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）计算即可，注意符号处理。
(2) 求$x$的值时，先对应规则里的$a=1-3x$，$b=-4$，代入运算式后得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则：
$(-4)☆7=(-4)×7^2 - 2×(-4)×7 + 7$
先计算乘方：$7^2=49$，代入得：
$=(-4)×49 - 2×(-4)×7 + 7$
再计算乘法：$(-4)×49=-196$，$-2×(-4)×7=56$，代入得：
$=-196 + 56 + 7$
最后计算加减：
$=-133$
(2) 根据新运算规则，将$(1 - 3x)☆(-4)=32$展开：
$(1-3x)×(-4)^2 - 2×(1-3x)×(-4) + (-4)=32$
先计算乘方：$(-4)^2=16$，整理得：
$16(1-3x) + 8(1-3x) - 4=32$
合并同类项：
$24(1-3x) - 4=32$
移项：
$24(1-3x)=32 + 4$
$24(1-3x)=36$
两边同时除以24：
$1-3x=\frac{3}{2}$
移项、系数化为1：
$-3x=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$
$x=-\frac{1}{6}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-133}$；(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、解一元一次方程
【点评】
本题是典型的新定义运算题型，解题核心是准确理解新运算的规则，正确代入对应数值或代数式，计算过程中要注意符号的处理，避免因符号错误导致结果出错，同时要熟练掌握一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
解决新定义运算类题目，首先要明确新运算的规则：本题中$a☆b$的运算规则是用第一个数乘第二个数的平方，减去2乘两个数的乘积，再加上第二个数。
(1) 求$(-4)☆7$时，直接对应规则里的$a=-4$，$b=7$，代入运算式，按照有理数混合运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）计算即可，注意符号处理。
(2) 求$x$的值时，先对应规则里的$a=1-3x$，$b=-4$，代入运算式后得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则：
$(-4)☆7=(-4)×7^2 - 2×(-4)×7 + 7$
先计算乘方：$7^2=49$，代入得：
$=(-4)×49 - 2×(-4)×7 + 7$
再计算乘法：$(-4)×49=-196$，$-2×(-4)×7=56$，代入得：
$=-196 + 56 + 7$
最后计算加减：
$=-133$
(2) 根据新运算规则，将$(1 - 3x)☆(-4)=32$展开：
$(1-3x)×(-4)^2 - 2×(1-3x)×(-4) + (-4)=32$
先计算乘方：$(-4)^2=16$，整理得：
$16(1-3x) + 8(1-3x) - 4=32$
合并同类项：
$24(1-3x) - 4=32$
移项：
$24(1-3x)=32 + 4$
$24(1-3x)=36$
两边同时除以24：
$1-3x=\frac{3}{2}$
移项、系数化为1：
$-3x=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$
$x=-\frac{1}{6}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-133}$；(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、解一元一次方程
【点评】
本题是典型的新定义运算题型，解题核心是准确理解新运算的规则，正确代入对应数值或代数式，计算过程中要注意符号的处理，避免因符号错误导致结果出错，同时要熟练掌握一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
11 新考向 新定义题 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
（1）若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个方程的解为$n$,求$n$的值；
（3）若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是“美好方程”,利用整体思想,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2026}(y-1)+3=2(y-1)+k$的解.
（1）若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个方程的解为$n$,求$n$的值；
（3）若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是“美好方程”,利用整体思想,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2026}(y-1)+3=2(y-1)+k$的解.
答案
11. (1)因为$3x+m=0$,所以$x=-\frac{m}{3}$.因为$4x-2=x+10$,所以$x=4$.因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是"美好方程",所以$-\frac{m}{3}+4=1$,解得$m=9$
(2)因为"美好方程"的两个解的和为1,其中一个方程的解为$n$,所以另一个方程的解为$1-n$.因为两个解的差为8,所以$1-n-n=8$或$n-(1-n)=8$,解得$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$
(3)因为$\frac{1}{2026}x+1=0$,所以$x=-2026$.因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是"美好方程",所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2026)=2027$.所以关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2026}(y-1)+3=2(y-1)+k$中,$y-1=2027$,解得$y=2028$
(2)因为"美好方程"的两个解的和为1,其中一个方程的解为$n$,所以另一个方程的解为$1-n$.因为两个解的差为8,所以$1-n-n=8$或$n-(1-n)=8$,解得$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$
(3)因为$\frac{1}{2026}x+1=0$,所以$x=-2026$.因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是"美好方程",所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2026)=2027$.所以关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2026}(y-1)+3=2(y-1)+k$中,$y-1=2027$,解得$y=2028$
解析
【分析】
（1）根据“美好方程”的定义，两个方程的解之和为1，因此先分别求出两个一元一次方程的解，再根据解的和为1列关于m的方程，求解即可得到m的值。
（2）已知其中一个解为n，根据“美好方程”的定义可表示出另一个解为1-n，两个解的差为8，需分两种情况讨论：要么(1-n)-n=8，要么n-(1-n)=8，分别求解即可得到n的两个可能值。
（3）先求出方程$\frac{1}{2026}x+1=0$的解，再根据“美好方程”的定义求出方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$的解；观察关于y的方程，可将$y-1$看作整体，发现其结构与方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$完全相同，因此$y-1$等于该方程的解，直接求解即可得到y的值，无需计算k，简化计算过程。
【解析】
（1）解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$；
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，系数化为1得$x=4$。
根据“美好方程”的定义，两个方程的解之和为1，因此：
$-\frac{m}{3}+4=1$
移项得$-\frac{m}{3}=1-4=-3$
系数化为1得$m=9$。
（2）因为“美好方程”的两个解之和为1，其中一个解为$n$，所以另一个解为$1-n$。
已知两个解的差为8，分两种情况讨论：
①当$1-n - n = 8$时，合并同类项得$1-2n=8$，移项得$-2n=7$，解得$n=-\frac{7}{2}$；
②当$n - (1-n) = 8$时，去括号得$n-1+n=8$，合并同类项得$2n-1=8$，移项得$2n=9$，解得$n=\frac{9}{2}$。
综上，$n$的值为$-\frac{7}{2}$或$\frac{9}{2}$。
（3）解方程$\frac{1}{2026}x+1=0$，移项得$\frac{1}{2026}x=-1$，系数化为1得$x=-2026$。
因为方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是“美好方程”，所以前者的解为$1 - (-2026) = 2027$。
观察关于$y$的方程$\frac{1}{2026}(y-1)+3=2(y-1)+k$，将$y-1$看作整体，可知其与方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$结构完全相同，因此$y-1=2027$，解得$y=2028$。
【答案】
(1)$m=9$；(2)$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$；(3)$y=2028$
【知识点】
一元一次方程求解，新定义问题，整体思想应用
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，考查一元一次方程的解法及应用，题目设置由易到难，第三问通过整体思想简化运算，有效考查对知识的灵活运用能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据“美好方程”的定义，两个方程的解之和为1，因此先分别求出两个一元一次方程的解，再根据解的和为1列关于m的方程，求解即可得到m的值。
（2）已知其中一个解为n，根据“美好方程”的定义可表示出另一个解为1-n，两个解的差为8，需分两种情况讨论：要么(1-n)-n=8，要么n-(1-n)=8，分别求解即可得到n的两个可能值。
（3）先求出方程$\frac{1}{2026}x+1=0$的解，再根据“美好方程”的定义求出方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$的解；观察关于y的方程，可将$y-1$看作整体，发现其结构与方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$完全相同，因此$y-1$等于该方程的解，直接求解即可得到y的值，无需计算k，简化计算过程。
【解析】
（1）解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$；
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，系数化为1得$x=4$。
根据“美好方程”的定义，两个方程的解之和为1，因此：
$-\frac{m}{3}+4=1$
移项得$-\frac{m}{3}=1-4=-3$
系数化为1得$m=9$。
（2）因为“美好方程”的两个解之和为1，其中一个解为$n$，所以另一个解为$1-n$。
已知两个解的差为8，分两种情况讨论：
①当$1-n - n = 8$时，合并同类项得$1-2n=8$，移项得$-2n=7$，解得$n=-\frac{7}{2}$；
②当$n - (1-n) = 8$时，去括号得$n-1+n=8$，合并同类项得$2n-1=8$，移项得$2n=9$，解得$n=\frac{9}{2}$。
综上，$n$的值为$-\frac{7}{2}$或$\frac{9}{2}$。
（3）解方程$\frac{1}{2026}x+1=0$，移项得$\frac{1}{2026}x=-1$，系数化为1得$x=-2026$。
因为方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是“美好方程”，所以前者的解为$1 - (-2026) = 2027$。
观察关于$y$的方程$\frac{1}{2026}(y-1)+3=2(y-1)+k$，将$y-1$看作整体，可知其与方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$结构完全相同，因此$y-1=2027$，解得$y=2028$。
【答案】
(1)$m=9$；(2)$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$；(3)$y=2028$
【知识点】
一元一次方程求解，新定义问题，整体思想应用
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，考查一元一次方程的解法及应用，题目设置由易到难，第三问通过整体思想简化运算，有效考查对知识的灵活运用能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.7
12 一题多解 [2025 宜宾]已知$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$是五个正整数,去掉其中任意一个数,剩余四个数相加有五种情况,和却只有四个不同的值,分别是 45,46,47,48,求这五个正整数的和.
答案
12. 解法一:设$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=m$,则去掉$a_1$后和为$m-a_1$,去掉$a_2$后和为$m-a_2$,去掉$a_3$后和为$m-a_3$,去掉$a_4$后和为$m-a_4$,去掉$a_5$后和为$m-a_5$.因为这五个正整数的和只有四个不同的值,所以不妨设这四个不同的值可以表示为$m-a_1,m-a_2,m-a_3,m-a_4$(假设$a_5$与前面某一个数相等),分别为45,46,47,48.所以$(m-a_1)+(m-a_2)+(m-a_3)+(m-a_4)=45+46+47+48=186$,即$4m-(a_1+a_2+a_3+a_4)=186$.因为$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=m$,所以$a_1+a_2+a_3+a_4=m-a_5$.所以$4m-(m-a_5)=186$,即$3m+a_5=186$.当$m-a_5=m-a_1=45$时,$a_5=m-45$,所以$3m+m-45=186$,解得$m=\frac{231}{4}$,不是整数,不符合题意.当$m-a_5=m-a_2=46$时,$a_5=m-46$,所以$3m+m-46=186$,解得$m=58$,符合题意.当$m-a_5=m-a_3=47$时,$a_5=m-47$,所以$3m+m-47=186$,解得$m=\frac{233}{4}$,不是整数,不符合题意.当$m-a_5=m-a_4=48$时,$a_5=m-48$,所以$3m+m-48=186$,解得$m=\frac{117}{2}$,不是整数,不符合题意.综上所述,这五个正整数的和为58
解法二:设$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=m$.令$a_1+a_2+a_3+a_4=45$,$a_1+a_2+a_3+a_5=46$,$a_1+a_2+a_4+a_5=47$,$a_1+a_3+a_4+a_5=48$,$a_2+a_3+a_4+a_5=x$,所以$4(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)=45+46+47+48+x$.所以$4m=186+x$.因为$x$是45,46,47,48中的一个,并且$m$是整数,所以$x=46$.所以$m=58$,即这五个正整数的和为58
解法二:设$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=m$.令$a_1+a_2+a_3+a_4=45$,$a_1+a_2+a_3+a_5=46$,$a_1+a_2+a_4+a_5=47$,$a_1+a_3+a_4+a_5=48$,$a_2+a_3+a_4+a_5=x$,所以$4(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)=45+46+47+48+x$.所以$4m=186+x$.因为$x$是45,46,47,48中的一个,并且$m$是整数,所以$x=46$.所以$m=58$,即这五个正整数的和为58
解析
【分析】
解题的核心突破口是找到去掉每个数得到的和与五个数总和的关系：五个数中每次去掉一个数，得到的剩余四个数的和，本质是五个数的总和减去被去掉的数。将这五个去数后的和相加，每个数恰好被计算了4次（每个数仅在被去掉时不参与求和），因此五个去数后的和的总和等于4倍的五个数的总和。题目中仅给出4个不同的和，说明有一个和重复出现，我们可设五个数的总和为m，重复的和为x（x是45、46、47、48中的一个），结合总和m是整数的性质即可求解。
【解析】
设这五个正整数的和为$ m $，由于去掉任意一个数得到的5个和中只有4个不同值，说明有1个和重复出现，设重复的和为$ x $（$ x $为45、46、47、48中的一个）。
将5个去数后的和相加，每个数都在4个和中出现，因此总和为$ 4m $，可得等式：
$ 45+46+47+48+x = 4m $
计算已知和的部分：$ 45+46+47+48=186 $，即$ 4m = 186 + x $。
因为$ m $是正整数，所以$ 186+x $必须是4的倍数：
当$ x=45 $时，$ 186+45=231 $，231不是4的倍数，不符合；
当$ x=46 $时，$ 186+46=232 $，$ 232÷4=58 $，m为整数，符合；
当$ x=47 $时，$ 186+47=233 $，233不是4的倍数，不符合；
当$ x=48 $时，$ 186+48=234 $，234不是4的倍数，不符合。
因此$ m=58 $。
【答案】
58
【知识点】
整体思想，一元一次方程应用，整数整除性质
【点评】
本题侧重考察整体思维的应用，无需单独求出每个正整数的数值，通过挖掘去数后求和的隐藏规律建立方程，结合整数性质快速求解，有效降低了解题复杂度。
【难度系数】
0.6
解题的核心突破口是找到去掉每个数得到的和与五个数总和的关系：五个数中每次去掉一个数，得到的剩余四个数的和，本质是五个数的总和减去被去掉的数。将这五个去数后的和相加，每个数恰好被计算了4次（每个数仅在被去掉时不参与求和），因此五个去数后的和的总和等于4倍的五个数的总和。题目中仅给出4个不同的和，说明有一个和重复出现，我们可设五个数的总和为m，重复的和为x（x是45、46、47、48中的一个），结合总和m是整数的性质即可求解。
【解析】
设这五个正整数的和为$ m $，由于去掉任意一个数得到的5个和中只有4个不同值，说明有1个和重复出现，设重复的和为$ x $（$ x $为45、46、47、48中的一个）。
将5个去数后的和相加，每个数都在4个和中出现，因此总和为$ 4m $，可得等式：
$ 45+46+47+48+x = 4m $
计算已知和的部分：$ 45+46+47+48=186 $，即$ 4m = 186 + x $。
因为$ m $是正整数，所以$ 186+x $必须是4的倍数：
当$ x=45 $时，$ 186+45=231 $，231不是4的倍数，不符合；
当$ x=46 $时，$ 186+46=232 $，$ 232÷4=58 $，m为整数，符合；
当$ x=47 $时，$ 186+47=233 $，233不是4的倍数，不符合；
当$ x=48 $时，$ 186+48=234 $，234不是4的倍数，不符合。
因此$ m=58 $。
【答案】
58
【知识点】
整体思想，一元一次方程应用，整数整除性质
【点评】
本题侧重考察整体思维的应用，无需单独求出每个正整数的数值，通过挖掘去数后求和的隐藏规律建立方程，结合整数性质快速求解，有效降低了解题复杂度。
【难度系数】
0.6
