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3. [2025·陕西]满足$\sqrt{2}＜a＜5$的整数$a$可以是________(写出一个符合题意的数即可).
答案
3. 2(答案不唯一)
解析
【分析】
解题首先要估算出$\sqrt{2}$的大致取值范围，再结合$a$是整数、且满足$\sqrt{2}＜a＜5$的条件，找出符合要求的整数即可。我们可以通过比较平方数的大小估算无理数的范围：因为$1^2=1$，$2^2=4$，$1＜2＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，也就是$1＜\sqrt{2}＜2$，那么大于$\sqrt{2}$且小于5的整数就是2、3、4，任选一个填写即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{2}$的取值范围
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$
第二步：结合条件确定整数$a$的取值
已知$\sqrt{2}＜a＜5$，且$a$为整数，
$\therefore a$的取值可以是2、3、4，任选其一即可，例如取$a=2$。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
无理数的估算；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的大小估算能力，掌握利用平方数估算无理数范围的方法是解题的关键，只要正确得出$\sqrt{2}$的取值范围，就能快速筛选出符合要求的整数。
【难度系数】
0.9
解题首先要估算出$\sqrt{2}$的大致取值范围，再结合$a$是整数、且满足$\sqrt{2}＜a＜5$的条件，找出符合要求的整数即可。我们可以通过比较平方数的大小估算无理数的范围：因为$1^2=1$，$2^2=4$，$1＜2＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，也就是$1＜\sqrt{2}＜2$，那么大于$\sqrt{2}$且小于5的整数就是2、3、4，任选一个填写即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{2}$的取值范围
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$
第二步：结合条件确定整数$a$的取值
已知$\sqrt{2}＜a＜5$，且$a$为整数，
$\therefore a$的取值可以是2、3、4，任选其一即可，例如取$a=2$。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
无理数的估算；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的大小估算能力，掌握利用平方数估算无理数范围的方法是解题的关键，只要正确得出$\sqrt{2}$的取值范围，就能快速筛选出符合要求的整数。
【难度系数】
0.9
4. 一个数的平方等于它本身，这个数是________；一个数的平方根等于它本身，这个数是________；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是________。
答案
4. 0或1 0 0或1
解析
【分析】
我们可以分三步逐一分析三个问题：
1. 求平方等于本身的数：可以设这个数为x，根据题意列方程求解即可；
2. 求平方根等于本身的数：先回忆平方根的性质：正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，据此筛选符合要求的数；
3. 求算术平方根等于本身的数：算术平方根是指非负数的非负平方根，结合算术平方根的取值范围筛选符合要求的数即可。
【解析】
1. 设平方等于它本身的数为x，由题意得：
$x^2 = x$
移项得$x^2 - x = 0$，提公因式得$x(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$，因此第一个空填0或1；
2. 根据平方根的性质：正数的平方根有两个，一正一负互为相反数，不可能等于它本身；负数没有平方根；仅0的平方根是0，等于它本身，因此第二个空填0；
3. 算术平方根是指非负数的非负平方根：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，大于1的正数的算术平方根小于原数，因此符合要求的数是0或1，第三个空填0或1。
【答案】
0或1；0；0或1
【知识点】
平方的运算性质；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题重点考查平方、平方根、算术平方根三个概念的辨析，解题的关键是明确三者的区别，尤其是注意正数的平方根有两个，而算术平方根只有非负的一个，避免混淆概念导致错解、漏解。
【难度系数】
0.7
我们可以分三步逐一分析三个问题：
1. 求平方等于本身的数：可以设这个数为x，根据题意列方程求解即可；
2. 求平方根等于本身的数：先回忆平方根的性质：正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，据此筛选符合要求的数；
3. 求算术平方根等于本身的数：算术平方根是指非负数的非负平方根，结合算术平方根的取值范围筛选符合要求的数即可。
【解析】
1. 设平方等于它本身的数为x，由题意得：
$x^2 = x$
移项得$x^2 - x = 0$，提公因式得$x(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$，因此第一个空填0或1；
2. 根据平方根的性质：正数的平方根有两个，一正一负互为相反数，不可能等于它本身；负数没有平方根；仅0的平方根是0，等于它本身，因此第二个空填0；
3. 算术平方根是指非负数的非负平方根：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，大于1的正数的算术平方根小于原数，因此符合要求的数是0或1，第三个空填0或1。
【答案】
0或1；0；0或1
【知识点】
平方的运算性质；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题重点考查平方、平方根、算术平方根三个概念的辨析，解题的关键是明确三者的区别，尤其是注意正数的平方根有两个，而算术平方根只有非负的一个，避免混淆概念导致错解、漏解。
【难度系数】
0.7
5. $3-\sqrt{6}$的相反数是________；________的倒数是$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$；绝对值等于$\sqrt{2}$的数是________.
答案
5. $\sqrt{6}-3$ $-\sqrt{2}$ $\pm\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查实数的基础概念相关计算，解题思路如下：1. 求一个数的相反数，只需在这个数整体前面添加负号，再化简即可；2. 已知一个数的倒数求原数，根据“互为倒数的两个数乘积为1”，用1除以已知的倒数就能得到原数；3. 求绝对值等于某正数的数，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以符合要求的数有两个，互为相反数。
【解析】
1. 计算$3-\sqrt{6}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数是$-a$，因此$3-\sqrt{6}$的相反数为$-(3-\sqrt{6})=\sqrt{6}-3$。
2. 求倒数是$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$的数：
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，因此所求数为$1÷(-\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1×(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}$。
3. 求绝对值等于$\sqrt{2}$的数：
设该数为$x$，则$|x|=\sqrt{2}$。当$x≥0$时，$x=\sqrt{2}$；当$x＜0$时，$-x=\sqrt{2}$，即$x=-\sqrt{2}$，因此符合要求的数为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-3$；$-\sqrt{2}$；$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，熟练掌握相反数、倒数、绝对值的定义和相关性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查实数的基础概念相关计算，解题思路如下：1. 求一个数的相反数，只需在这个数整体前面添加负号，再化简即可；2. 已知一个数的倒数求原数，根据“互为倒数的两个数乘积为1”，用1除以已知的倒数就能得到原数；3. 求绝对值等于某正数的数，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以符合要求的数有两个，互为相反数。
【解析】
1. 计算$3-\sqrt{6}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数是$-a$，因此$3-\sqrt{6}$的相反数为$-(3-\sqrt{6})=\sqrt{6}-3$。
2. 求倒数是$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$的数：
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，因此所求数为$1÷(-\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1×(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}$。
3. 求绝对值等于$\sqrt{2}$的数：
设该数为$x$，则$|x|=\sqrt{2}$。当$x≥0$时，$x=\sqrt{2}$；当$x＜0$时，$-x=\sqrt{2}$，即$x=-\sqrt{2}$，因此符合要求的数为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-3$；$-\sqrt{2}$；$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，熟练掌握相反数、倒数、绝对值的定义和相关性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
6. 设$ A = \sqrt{6} + \sqrt{2} $，$ B = \sqrt{5} + \sqrt{3} $，则$ A,B $中数值较小的是________.
答案
6. A
解析
【分析】
要比较两个均为正数的二次根式和的大小，我们可以利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过分别计算两个数的平方，将带根号的数的大小比较转化为更易计算的平方结果的比较，从而得出原数的大小关系。
【解析】
∵ $A=\sqrt{6}+\sqrt{2}＞0$，$B=\sqrt{5}+\sqrt{3}＞0$
∴ 先分别计算A、B的平方：
$A^2=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{6})^2 + 2×\sqrt{6}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2=6 + 2\sqrt{12} + 2=8 + 2\sqrt{12}$
$B^2=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=5 + 2\sqrt{15} + 3=8 + 2\sqrt{15}$
∵ $12＜15$，
∴ $\sqrt{12}＜\sqrt{15}$，可得 $8 + 2\sqrt{12}＜8 + 2\sqrt{15}$，即 $A^2＜B^2$
又
∵ A、B均为正数，正数平方大的原数更大，
∴ $A＜B$
因此A、B中数值较小的是A。
【答案】
A
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 二次根式运算
3. 完全平方公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决这类带根号正数比较大小的常用技巧，解题时要注意仅当两个数均为正数时，才能通过平方后比较大小的方法判断原数的大小关系。
【难度系数】
0.7
要比较两个均为正数的二次根式和的大小，我们可以利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过分别计算两个数的平方，将带根号的数的大小比较转化为更易计算的平方结果的比较，从而得出原数的大小关系。
【解析】
∵ $A=\sqrt{6}+\sqrt{2}＞0$，$B=\sqrt{5}+\sqrt{3}＞0$
∴ 先分别计算A、B的平方：
$A^2=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{6})^2 + 2×\sqrt{6}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2=6 + 2\sqrt{12} + 2=8 + 2\sqrt{12}$
$B^2=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=5 + 2\sqrt{15} + 3=8 + 2\sqrt{15}$
∵ $12＜15$，
∴ $\sqrt{12}＜\sqrt{15}$，可得 $8 + 2\sqrt{12}＜8 + 2\sqrt{15}$，即 $A^2＜B^2$
又
∵ A、B均为正数，正数平方大的原数更大，
∴ $A＜B$
因此A、B中数值较小的是A。
【答案】
A
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 二次根式运算
3. 完全平方公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决这类带根号正数比较大小的常用技巧，解题时要注意仅当两个数均为正数时，才能通过平方后比较大小的方法判断原数的大小关系。
【难度系数】
0.7
7. 已知 $a,b$ 互为相反数，$c,d$ 互为倒数，$m$ 的倒数等于它本身，则 $\dfrac{cd}{m}+(a+b)m -|m|$ 等于________.
答案
7. 0或-2
解析
【分析】
解题时首先要根据相反数、倒数的定义，将题目中的文字条件转化为对应的数学关系：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，倒数等于自身的数只有1和-1。再将这些关系代入所求代数式，分m=1和m=-1两种情况分别计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据相关定义可得：
1. 因为a、b互为相反数，所以$a + b = 0$；
2. 因为c、d互为倒数，所以$cd = 1$；
3. 因为m的倒数等于它本身，所以$m = 1$或$m = -1$。
接下来分两种情况代入代数式计算：
① 当$m = 1$时：
原式$=\frac{1}{1} + 0×1 - |1| = 1 + 0 - 1 = 0$
② 当$m = -1$时：
原式$=\frac{1}{-1} + 0×(-1) - |-1| = -1 + 0 - 1 = -2$
综上，代数式的值为0或-2。
【答案】
0或-2
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；代数式求值
【点评】
本题重点考察基础代数概念的应用，解题时要注意倒数等于本身的数有1和-1两个取值，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据相反数、倒数的定义，将题目中的文字条件转化为对应的数学关系：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，倒数等于自身的数只有1和-1。再将这些关系代入所求代数式，分m=1和m=-1两种情况分别计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据相关定义可得：
1. 因为a、b互为相反数，所以$a + b = 0$；
2. 因为c、d互为倒数，所以$cd = 1$；
3. 因为m的倒数等于它本身，所以$m = 1$或$m = -1$。
接下来分两种情况代入代数式计算：
① 当$m = 1$时：
原式$=\frac{1}{1} + 0×1 - |1| = 1 + 0 - 1 = 0$
② 当$m = -1$时：
原式$=\frac{1}{-1} + 0×(-1) - |-1| = -1 + 0 - 1 = -2$
综上，代数式的值为0或-2。
【答案】
0或-2
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；代数式求值
【点评】
本题重点考察基础代数概念的应用，解题时要注意倒数等于本身的数有1和-1两个取值，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 将下列各数填入相应的集合中：
$6,-7\dfrac{1}{3},0,-100,+3.\dot{3},0.010\ 010\ 001···,+67,-\dfrac{π}{2},2\ 000,-18$
正整数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
负分数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
非负整数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
正有理数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
无理数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
1. 将下列各数填入相应的集合中：
$6,-7\dfrac{1}{3},0,-100,+3.\dot{3},0.010\ 010\ 001···,+67,-\dfrac{π}{2},2\ 000,-18$
正整数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
负分数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
非负整数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
正有理数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
无理数集合：$\{\underline{\hspace{5cm}},···\}$.
答案
1. 解:正整数集合:$\{6,+67,2\ 000,···\}$.
负分数集合:$\{-7\dfrac{1}{3},···\}$.
非负整数集合:$\{6,0,+67,2\ 000,···\}$.
正有理数集合:$\{6,+3.\dot{3},+67,2\ 000,···\}$.
无理数集合:$\{ 0.010\ 010\ 001···,-\dfrac{π}{2},···\}$.
负分数集合:$\{-7\dfrac{1}{3},···\}$.
非负整数集合:$\{6,0,+67,2\ 000,···\}$.
正有理数集合:$\{6,+3.\dot{3},+67,2\ 000,···\}$.
无理数集合:$\{ 0.010\ 010\ 001···,-\dfrac{π}{2},···\}$.
解析
【分析】
解题前首先要明确各类集合的定义：①正整数：既是正数又是整数的数；②负分数：既是负数又是分数的数（分数包含带分数、有限小数、无限循环小数）；③非负整数：包含0和所有正整数；④正有理数：所有正的整数和正的分数（有理数是整数和分数的统称，不包含无限不循环小数）；⑤无理数：无限不循环小数。解题时逐个判断给出的每个数的属性，再对应填入所属集合，注意区分0、含π的数、无限不循环小数等易混数的分类。
【解析】
首先梳理每个给定数的属性：
1. $6$：正整数，属于有理数
2. $-7\dfrac{1}{3}$：负带分数，属于负分数、有理数
3. $0$：整数，非正非负，属于有理数
4. $-100$：负整数，属于有理数
5. $+3.\dot{3}$：正无限循环小数，属于正分数、有理数
6. $0.010\ 010\ 001···$：无限不循环小数，属于无理数
7. $+67$：正整数，属于有理数
8. $-\dfrac{π}{2}$：含无理数$π$，为无限不循环小数，属于无理数
9. $2\ 000$：正整数，属于有理数
10. $-18$：负整数，属于有理数
根据属性对应填入集合：
正整数集合填入所有正整数：$6,+67,2\ 000$
负分数集合填入所有负分数：$-7\dfrac{1}{3}$
非负整数集合填入0和所有正整数：$6,0,+67,2\ 000$
正有理数集合填入所有正的有理数（正整数+正分数）：$6,+3.\dot{3},+67,2\ 000$
无理数集合填入所有无限不循环小数：$0.010\ 010\ 001···,-\dfrac{π}{2}$
【答案】
正整数集合:$\{6,+67,2\ 000,···\}$.
负分数集合:$\{-7\dfrac{1}{3},···\}$.
非负整数集合:$\{6,0,+67,2\ 000,···\}$.
正有理数集合:$\{6,+3.\dot{3},+67,2\ 000,···\}$.
无理数集合:$\{ 0.010\ 010\ 001···,-\dfrac{π}{2},···\}$.
【知识点】
有理数分类，无理数识别，非负整数定义
【点评】
本题重点考察实数分类相关概念的掌握，解题的关键是清晰区分各类数的定义，尤其要注意特殊数的归类：非负整数包含0，无限不循环小数、含π的数属于无理数，避免因概念混淆导致分类错误。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确各类集合的定义：①正整数：既是正数又是整数的数；②负分数：既是负数又是分数的数（分数包含带分数、有限小数、无限循环小数）；③非负整数：包含0和所有正整数；④正有理数：所有正的整数和正的分数（有理数是整数和分数的统称，不包含无限不循环小数）；⑤无理数：无限不循环小数。解题时逐个判断给出的每个数的属性，再对应填入所属集合，注意区分0、含π的数、无限不循环小数等易混数的分类。
【解析】
首先梳理每个给定数的属性：
1. $6$：正整数，属于有理数
2. $-7\dfrac{1}{3}$：负带分数，属于负分数、有理数
3. $0$：整数，非正非负，属于有理数
4. $-100$：负整数，属于有理数
5. $+3.\dot{3}$：正无限循环小数，属于正分数、有理数
6. $0.010\ 010\ 001···$：无限不循环小数，属于无理数
7. $+67$：正整数，属于有理数
8. $-\dfrac{π}{2}$：含无理数$π$，为无限不循环小数，属于无理数
9. $2\ 000$：正整数，属于有理数
10. $-18$：负整数，属于有理数
根据属性对应填入集合：
正整数集合填入所有正整数：$6,+67,2\ 000$
负分数集合填入所有负分数：$-7\dfrac{1}{3}$
非负整数集合填入0和所有正整数：$6,0,+67,2\ 000$
正有理数集合填入所有正的有理数（正整数+正分数）：$6,+3.\dot{3},+67,2\ 000$
无理数集合填入所有无限不循环小数：$0.010\ 010\ 001···,-\dfrac{π}{2}$
【答案】
正整数集合:$\{6,+67,2\ 000,···\}$.
负分数集合:$\{-7\dfrac{1}{3},···\}$.
非负整数集合:$\{6,0,+67,2\ 000,···\}$.
正有理数集合:$\{6,+3.\dot{3},+67,2\ 000,···\}$.
无理数集合:$\{ 0.010\ 010\ 001···,-\dfrac{π}{2},···\}$.
【知识点】
有理数分类，无理数识别，非负整数定义
【点评】
本题重点考察实数分类相关概念的掌握，解题的关键是清晰区分各类数的定义，尤其要注意特殊数的归类：非负整数包含0，无限不循环小数、含π的数属于无理数，避免因概念混淆导致分类错误。
【难度系数】
0.8
2. (1)已知正方形的边长为5 cm,求这个正方形的面积;
(2)已知正方形的面积是25 cm²,求这个正方形的边长.
(2)已知正方形的面积是25 cm²,求这个正方形的边长.
答案
2. (1)$25\ \mathrm{cm}^2$ (2)$5\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题分为正方形面积计算和边长逆求两个小问，解题思路如下：第(1)问已知边长求面积，直接使用正方形的面积公式，将已知边长代入计算即可；第(2)问已知面积求边长，本质是寻找一个正数，使得它的平方等于已知面积，由于边长为正数，只需取正的结果即可。
【解析】
(1) 根据正方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，已知边长为$5\ \mathrm{cm}$，代入得：
面积$=5×5=25\ \mathrm{cm}^2$
(2) 设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），由正方形面积公式可得：
$x× x=25$
因为$5×5=25$，所以$x=5$，即边长为$5\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1)$25\ \mathrm{cm}^2$ (2)$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础计算题，考查正方形边长与面积的互算关系，解题时要注意区分已知条件，计算结果不要漏写或写错单位。
【难度系数】
0.9
本题分为正方形面积计算和边长逆求两个小问，解题思路如下：第(1)问已知边长求面积，直接使用正方形的面积公式，将已知边长代入计算即可；第(2)问已知面积求边长，本质是寻找一个正数，使得它的平方等于已知面积，由于边长为正数，只需取正的结果即可。
【解析】
(1) 根据正方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，已知边长为$5\ \mathrm{cm}$，代入得：
面积$=5×5=25\ \mathrm{cm}^2$
(2) 设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），由正方形面积公式可得：
$x× x=25$
因为$5×5=25$，所以$x=5$，即边长为$5\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1)$25\ \mathrm{cm}^2$ (2)$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础计算题，考查正方形边长与面积的互算关系，解题时要注意区分已知条件，计算结果不要漏写或写错单位。
【难度系数】
0.9
3. 已知 $25y^2 - 49 = 0$，且 $y$ 是负数，求 $\sqrt{11 - 10y}$ 的值。
答案
3. 解:$25y^2-49=0$,解得 $y=-\dfrac{7}{5}$(正数舍).
$\sqrt{11-10y}=\sqrt{11-10×(-\dfrac{7}{5})}=5$.
$\sqrt{11-10y}=\sqrt{11-10×(-\dfrac{7}{5})}=5$.
解析
【分析】
要计算$\sqrt{11 - 10y}$的值，首先需要求出$y$的取值。第一步先根据给出的方程$25y^2 - 49 = 0$，通过移项、系数化为1得到$y^2$的值，再根据平方根的定义求出$y$的两个可能值；第二步结合题目中“$y$是负数”的条件，舍去不符合要求的正数值，确定$y$的准确值；第三步将$y$的值代入待求的算术平方根式中，先计算根号内的数值，再求出算术平方根即可得到最终结果。
【解析】
解：先解方程$25y^2 - 49 = 0$
移项得：$25y^2 = 49$
系数化为1得：$y^2 = \frac{49}{25}$
根据平方根的定义，得$y = \pm \frac{7}{5}$
∵ $y$是负数，
∴ 舍去正数解$y=\frac{7}{5}$，得$y = -\frac{7}{5}$
将$y = -\frac{7}{5}$代入$\sqrt{11 - 10y}$中：
$\sqrt{11 - 10y} = \sqrt{11 - 10×(-\frac{7}{5})} = \sqrt{11 + 14} = \sqrt{25} = 5$
【答案】
5
【知识点】
平方根解方程，算术平方根运算，代数式求值
【点评】
本题是方程与根式运算的基础结合题，解题时需注意题干给出的未知数取值限制，避免多解代入出错，计算根式前要先确认根号内的结果为非负数，再求算术平方根。
【难度系数】
0.8
要计算$\sqrt{11 - 10y}$的值，首先需要求出$y$的取值。第一步先根据给出的方程$25y^2 - 49 = 0$，通过移项、系数化为1得到$y^2$的值，再根据平方根的定义求出$y$的两个可能值；第二步结合题目中“$y$是负数”的条件，舍去不符合要求的正数值，确定$y$的准确值；第三步将$y$的值代入待求的算术平方根式中，先计算根号内的数值，再求出算术平方根即可得到最终结果。
【解析】
解：先解方程$25y^2 - 49 = 0$
移项得：$25y^2 = 49$
系数化为1得：$y^2 = \frac{49}{25}$
根据平方根的定义，得$y = \pm \frac{7}{5}$
∵ $y$是负数，
∴ 舍去正数解$y=\frac{7}{5}$，得$y = -\frac{7}{5}$
将$y = -\frac{7}{5}$代入$\sqrt{11 - 10y}$中：
$\sqrt{11 - 10y} = \sqrt{11 - 10×(-\frac{7}{5})} = \sqrt{11 + 14} = \sqrt{25} = 5$
【答案】
5
【知识点】
平方根解方程，算术平方根运算，代数式求值
【点评】
本题是方程与根式运算的基础结合题，解题时需注意题干给出的未知数取值限制，避免多解代入出错，计算根式前要先确认根号内的结果为非负数，再求算术平方根。
【难度系数】
0.8
4. 求下列各数的算术平方根：
(1)$25$；
(2)$\dfrac{49}{64}$；
(3)$0.81$；
(4)$\sqrt{81}$.
(1)$25$；
(2)$\dfrac{49}{64}$；
(3)$0.81$；
(4)$\sqrt{81}$.
答案
4. (1)$5$ (2)$\dfrac{7}{8}$ (3)$0.9$ (4)$3$
解析
【分析】
解题核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定为非负数。解题思路如下：①对于整数25，找到平方等于25的正整数即可；②对于分数$\dfrac{49}{64}$，分别对分子、分母找对应的正分数，满足平方后等于该分数；③对于小数0.81，找到平方后等于0.81的正小数即可；④对于$\sqrt{81}$，需先计算出$\sqrt{81}$的结果为9，再求9的算术平方根，避免直接把9当作最终结果。
【解析】
(1) 因为$5^2=25$，根据算术平方根的定义，25的算术平方根是5；
(2) 因为$(\dfrac{7}{8})^2=\dfrac{49}{64}$，根据算术平方根的定义，$\dfrac{49}{64}$的算术平方根是$\dfrac{7}{8}$；
(3) 因为$0.9^2=0.81$，根据算术平方根的定义，0.81的算术平方根是0.9；
(4) 先计算$\sqrt{81}=9$，又因为$3^2=9$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
【答案】
(1)$5$；(2)$\dfrac{7}{8}$；(3)$0.9$；(4)$3$
【知识点】
算术平方根的定义、乘方的逆运算、根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查对算术平方根非负性的理解，解题时需注意含有根式的数求算术平方根时，要先将原数化简再计算，避免因审题不细出现错误。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定为非负数。解题思路如下：①对于整数25，找到平方等于25的正整数即可；②对于分数$\dfrac{49}{64}$，分别对分子、分母找对应的正分数，满足平方后等于该分数；③对于小数0.81，找到平方后等于0.81的正小数即可；④对于$\sqrt{81}$，需先计算出$\sqrt{81}$的结果为9，再求9的算术平方根，避免直接把9当作最终结果。
【解析】
(1) 因为$5^2=25$，根据算术平方根的定义，25的算术平方根是5；
(2) 因为$(\dfrac{7}{8})^2=\dfrac{49}{64}$，根据算术平方根的定义，$\dfrac{49}{64}$的算术平方根是$\dfrac{7}{8}$；
(3) 因为$0.9^2=0.81$，根据算术平方根的定义，0.81的算术平方根是0.9；
(4) 先计算$\sqrt{81}=9$，又因为$3^2=9$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
【答案】
(1)$5$；(2)$\dfrac{7}{8}$；(3)$0.9$；(4)$3$
【知识点】
算术平方根的定义、乘方的逆运算、根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查对算术平方根非负性的理解，解题时需注意含有根式的数求算术平方根时，要先将原数化简再计算，避免因审题不细出现错误。
【难度系数】
0.8
