登录
10. 如图，$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(-4,0)$、$B(-1,0)$，$CA⊥ x$轴，$BC=5$. 将$△ ABC$沿$x$轴向右平移，当点$C$落在直线$y=2x$上时，线段$BC$扫过的面积为 （
A.12
B.24
C.15
D.30
B
）A.12
B.24
C.15
D.30
答案
10. B 解析:如图,
∵A(-4,0)、B(-1,0),
∴AB=3.
∵CA⊥x轴,BC=5,
∴AC=$\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴C(-4,4).在函数 y=2x 中,当 y=4 时,x=2,
∴C'(2,4),
∴△ABC 平移的距离为 2-(-4)=6,
∴平移过程中线段 BC 扫过的面积为 6×4=24.
解析
【分析】
要解这道题可以分三步思考：第一步先求点C的初始坐标，已知A、B都在x轴上且CA垂直x轴，先算出AB的长度，再用勾股定理求出AC的长度，即可得到C点坐标；第二步，由于三角形沿x轴向右平移，平移后点C的纵坐标不变，将纵坐标代入直线$y=2x$可求出平移后$C'$的横坐标，进而算出平移的距离；第三步，明确线段BC平移扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移距离，高为AC的长度，用底乘高即可算出面积。
【解析】
解：
∵点$A(-4,0)$、$B(-1,0)$，
∴$AB=|-1-(-4)|=3$，
∵$CA⊥x$轴，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ CAB=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴点C的坐标为$(-4,4)$。
∵$△ ABC$沿x轴向右平移，平移过程中点C的纵坐标不变，
∴平移后点$C'$的纵坐标为4，将$y=4$代入$y=2x$得：
$4=2x$，解得$x=2$，即$C'(2,4)$，
∴平移的距离为$2-(-4)=6$，
线段BC平移扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的高为AC的长度4，底为平移的距离6，
∴扫过的面积$=6×4=24$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正比例函数性质，平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、勾股定理以及正比例函数的应用，解题的关键是明确平移时对应点纵坐标不变，且线段平移扫过的图形为平行四边形，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解这道题可以分三步思考：第一步先求点C的初始坐标，已知A、B都在x轴上且CA垂直x轴，先算出AB的长度，再用勾股定理求出AC的长度，即可得到C点坐标；第二步，由于三角形沿x轴向右平移，平移后点C的纵坐标不变，将纵坐标代入直线$y=2x$可求出平移后$C'$的横坐标，进而算出平移的距离；第三步，明确线段BC平移扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移距离，高为AC的长度，用底乘高即可算出面积。
【解析】
解：
∵点$A(-4,0)$、$B(-1,0)$，
∴$AB=|-1-(-4)|=3$，
∵$CA⊥x$轴，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ CAB=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴点C的坐标为$(-4,4)$。
∵$△ ABC$沿x轴向右平移，平移过程中点C的纵坐标不变，
∴平移后点$C'$的纵坐标为4，将$y=4$代入$y=2x$得：
$4=2x$，解得$x=2$，即$C'(2,4)$，
∴平移的距离为$2-(-4)=6$，
线段BC平移扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的高为AC的长度4，底为平移的距离6，
∴扫过的面积$=6×4=24$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正比例函数性质，平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、勾股定理以及正比例函数的应用，解题的关键是明确平移时对应点纵坐标不变，且线段平移扫过的图形为平行四边形，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
11. 如图,已知正比例函数$y=x$和$y=3x$,过点$A(2,0)$作$x$轴的垂线,与这两个正比例函数的图象分别交于$B、C$两点,则$△ OBC$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
11. 4 解析:当 x=2 时,y=1×2=2,
∴点 B 的坐标为(2,2);当 x=2 时,y=3×2=6,
∴点 C 的坐标为(2,6),
∴BC=6-2=4. 又
∵点 A 的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴$S_{△OBC}=\frac{1}{2}OA·BC=\frac{1}{2}×2×4=4$.
∴点 B 的坐标为(2,2);当 x=2 时,y=3×2=6,
∴点 C 的坐标为(2,6),
∴BC=6-2=4. 又
∵点 A 的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴$S_{△OBC}=\frac{1}{2}OA·BC=\frac{1}{2}×2×4=4$.
解析
【分析】
要解决这道题可按以下思路逐步推导：第一步，先确定B、C两点的横坐标，过点A(2,0)作x轴的垂线，这条垂线上所有点的横坐标都为2，因此B、C的横坐标均为2；第二步，将x=2分别代入两个正比例函数解析式，求出对应纵坐标，即可得到B、C两点的坐标；第三步，计算BC的长度，由于B、C横坐标相同，线段长度等于两点纵坐标的差；第四步，计算三角形面积，BC为竖直线段，点O到BC的距离就是OA的长度，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
∵ 过点A(2,0)作x轴的垂线，与正比例函数$y=x$和$y=3x$的图象分别交于B、C两点，
∴ 点B、C的横坐标均为2。
将$x=2$代入$y=x$，得$y=1×2=2$，
∴ 点B的坐标为$(2,2)$；
将$x=2$代入$y=3x$，得$y=3×2=6$，
∴ 点C的坐标为$(2,6)$。
∴ 线段BC的长度为$6-2=4$。
又
∵ 点A的坐标为$(2,0)$，
∴ $OA=2$，OA即为点O到直线BC的距离。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×OA=\frac{1}{2}×4×2=4$
【答案】
4
【知识点】
正比例函数图象性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是先求出两个交点坐标得到线段BC的长度，再结合图形的几何特征代入面积公式计算，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可按以下思路逐步推导：第一步，先确定B、C两点的横坐标，过点A(2,0)作x轴的垂线，这条垂线上所有点的横坐标都为2，因此B、C的横坐标均为2；第二步，将x=2分别代入两个正比例函数解析式，求出对应纵坐标，即可得到B、C两点的坐标；第三步，计算BC的长度，由于B、C横坐标相同，线段长度等于两点纵坐标的差；第四步，计算三角形面积，BC为竖直线段，点O到BC的距离就是OA的长度，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
∵ 过点A(2,0)作x轴的垂线，与正比例函数$y=x$和$y=3x$的图象分别交于B、C两点，
∴ 点B、C的横坐标均为2。
将$x=2$代入$y=x$，得$y=1×2=2$，
∴ 点B的坐标为$(2,2)$；
将$x=2$代入$y=3x$，得$y=3×2=6$，
∴ 点C的坐标为$(2,6)$。
∴ 线段BC的长度为$6-2=4$。
又
∵ 点A的坐标为$(2,0)$，
∴ $OA=2$，OA即为点O到直线BC的距离。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×OA=\frac{1}{2}×4×2=4$
【答案】
4
【知识点】
正比例函数图象性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是先求出两个交点坐标得到线段BC的长度，再结合图形的几何特征代入面积公式计算，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在平面直角坐标系中,点$A_1$、$A_2$、$A_3$、…都在$x$轴上,点$B_1$、$B_2$、$B_3$、…都在直线$y=x$上,$OA_1=1$,且$△ B_1A_1A_2$、$△ B_2A_2A_3$、$△ B_3A_3A_4$、…、$△ B_nA_nA_{n+1}$、…分别是以$A_1$、$A_2$、$A_3$、…、$A_n$、…为直角顶点的等腰直角三角形,则$△ B_{10}A_{10}A_{11}$的面积是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
12. $2^{17}$ 解析:
∵$OA_1=1$,
∴点 $A_1$ 的坐标为(1,0).
∵当 x=1 时,y=1,
∴$A_1B_1=1$,
∴$B_1(1,1)$.
∵$△B_1A_1A_2$ 是等腰直角三角形,
∴$A_1A_2=1$,
∴$OA_2=2$.
∵当 x=2 时,y=2,
∴$B_2(2,2)$.
∵$△B_2B_1A_2$ 为等腰直角三角形,
∴$A_2A_3=2$,
∴$OA_3=4$,……同理可得 $B_3(2^2,2^2)$,$B_4(2^3,2^3)$,…,$B_n(2^{n-1},2^{n-1})$,
∴点 $B_{10}$ 的坐标是$(2^9,2^9)$,
∴$△B_{10}A_{10}A_{11}$ 的面积为 $\frac{1}{2}×2^9×2^9=2^{17}$.
∵$OA_1=1$,
∴点 $A_1$ 的坐标为(1,0).
∵当 x=1 时,y=1,
∴$A_1B_1=1$,
∴$B_1(1,1)$.
∵$△B_1A_1A_2$ 是等腰直角三角形,
∴$A_1A_2=1$,
∴$OA_2=2$.
∵当 x=2 时,y=2,
∴$B_2(2,2)$.
∵$△B_2B_1A_2$ 为等腰直角三角形,
∴$A_2A_3=2$,
∴$OA_3=4$,……同理可得 $B_3(2^2,2^2)$,$B_4(2^3,2^3)$,…,$B_n(2^{n-1},2^{n-1})$,
∴点 $B_{10}$ 的坐标是$(2^9,2^9)$,
∴$△B_{10}A_{10}A_{11}$ 的面积为 $\frac{1}{2}×2^9×2^9=2^{17}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件$OA_1=1$入手，先确定点$A_1$的坐标，再结合直线$y=x$的性质得到$B_1$的坐标；接着利用等腰直角三角形的边长关系求出$A_2$的坐标，进而得到$B_2$的坐标，依次推导前几个点的坐标后总结出$B_n$的坐标规律，最后根据等腰直角三角形的面积公式计算$△ B_{10}A_{10}A_{11}$的面积即可。
【解析】
$\because OA_1=1$，点$A_1$在$x$轴上，$\therefore$点$A_1$的坐标为$(1,0)$。
$\because$点$B_1$在直线$y=x$上，将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，$\therefore A_1B_1=1$，即$B_1(1,1)$。
$\because △ B_1A_1A_2$是以$A_1$为直角顶点的等腰直角三角形，$\therefore A_1A_2=A_1B_1=1$，$\therefore OA_2=OA_1+A_1A_2=2$，即$A_2(2,0)$。
同理，将$x=2$代入$y=x$得$y=2$，$\therefore B_2(2,2)$，$△ B_2A_2A_3$是等腰直角三角形，$\therefore A_2A_3=2$，$OA_3=4$，$B_3(4,4)$。
按此规律可得：$B_n$的坐标为$(2^{n-1},2^{n-1})$。
当$n=10$时，$B_{10}$的坐标为$(2^9,2^9)$，$△ B_{10}A_{10}A_{11}$的直角边长为$2^9$，
$\therefore$面积为$\frac{1}{2} × 2^9 × 2^9 = \frac{1}{2} × 2^{18} = 2^{17}$。
【答案】
$2^{17}$
【知识点】
正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，坐标规律探究
【点评】
本题综合考查正比例函数的图象性质和等腰直角三角形的特征，需要通过推导前几个点的坐标归纳出通用规律，对学生的逻辑推理和规律总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件$OA_1=1$入手，先确定点$A_1$的坐标，再结合直线$y=x$的性质得到$B_1$的坐标；接着利用等腰直角三角形的边长关系求出$A_2$的坐标，进而得到$B_2$的坐标，依次推导前几个点的坐标后总结出$B_n$的坐标规律，最后根据等腰直角三角形的面积公式计算$△ B_{10}A_{10}A_{11}$的面积即可。
【解析】
$\because OA_1=1$，点$A_1$在$x$轴上，$\therefore$点$A_1$的坐标为$(1,0)$。
$\because$点$B_1$在直线$y=x$上，将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，$\therefore A_1B_1=1$，即$B_1(1,1)$。
$\because △ B_1A_1A_2$是以$A_1$为直角顶点的等腰直角三角形，$\therefore A_1A_2=A_1B_1=1$，$\therefore OA_2=OA_1+A_1A_2=2$，即$A_2(2,0)$。
同理，将$x=2$代入$y=x$得$y=2$，$\therefore B_2(2,2)$，$△ B_2A_2A_3$是等腰直角三角形，$\therefore A_2A_3=2$，$OA_3=4$，$B_3(4,4)$。
按此规律可得：$B_n$的坐标为$(2^{n-1},2^{n-1})$。
当$n=10$时，$B_{10}$的坐标为$(2^9,2^9)$，$△ B_{10}A_{10}A_{11}$的直角边长为$2^9$，
$\therefore$面积为$\frac{1}{2} × 2^9 × 2^9 = \frac{1}{2} × 2^{18} = 2^{17}$。
【答案】
$2^{17}$
【知识点】
正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，坐标规律探究
【点评】
本题综合考查正比例函数的图象性质和等腰直角三角形的特征，需要通过推导前几个点的坐标归纳出通用规律，对学生的逻辑推理和规律总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图,已知四边形ABCD是正方形,点B、C分别在直线$y=2x$和$y=kx$上,A、D是x轴上两点.
(1)若$OD=3$,求点B的坐标.
(2)在(1)的条件下,求k的值.
(3)当正方形ABCD的边长变化时,k的值
(1)若$OD=3$,求点B的坐标.
(2)在(1)的条件下,求k的值.
(3)当正方形ABCD的边长变化时,k的值
不变
.(填“改变”或“不变”)答案
13. (1)设正方形 ABCD 的边长为 a.
∵OD=3,
∴OA=3-a,
∴B(3-a,a). 又
∵直线 y=2x 过点 B(3-a,a),
∴2(3-a)=a,解得 a=2,
∴B(1,2).
(2)
∵B(1,2),BC=2,
∴C(3,2). 又
∵点 C 在直线 y=kx 上,
∴2=3k,
∴k=$\frac{2}{3}$.
(3)不变 解析:
∵正方形的边长为 a,
∴AB=a. 在直线 y=2x 中,当 y=a 时,x=$\frac{a}{2}$,
∴OA=$\frac{a}{2}$,
∴OD=$\frac{3}{2}a$,
∴C($\frac{3}{2}a,a$). 将 C($\frac{3}{2}a,a$)代入 y=kx,得 $\frac{3}{2}a ·k=a$,
∴k=$\frac{2}{3}$,即 k 的值不变.
∵OD=3,
∴OA=3-a,
∴B(3-a,a). 又
∵直线 y=2x 过点 B(3-a,a),
∴2(3-a)=a,解得 a=2,
∴B(1,2).
(2)
∵B(1,2),BC=2,
∴C(3,2). 又
∵点 C 在直线 y=kx 上,
∴2=3k,
∴k=$\frac{2}{3}$.
(3)不变 解析:
∵正方形的边长为 a,
∴AB=a. 在直线 y=2x 中,当 y=a 时,x=$\frac{a}{2}$,
∴OA=$\frac{a}{2}$,
∴OD=$\frac{3}{2}a$,
∴C($\frac{3}{2}a,a$). 将 C($\frac{3}{2}a,a$)代入 y=kx,得 $\frac{3}{2}a ·k=a$,
∴k=$\frac{2}{3}$,即 k 的值不变.
解析
【分析】
(1) 求点B的坐标时，先设正方形边长为a，结合OD=3可推出点B的横坐标为3-a，纵坐标为a，再利用点B在直线y=2x上的条件，代入解析式即可求出a的值，得到B点坐标。
(2) 求k的值时，先根据正方形的性质得到C点坐标，再将C点坐标代入y=kx即可求解。
(3) 判断k是否变化时，设正方形边长为a，用a表示出C点坐标后代入y=kx，若解得的k不含参数a，则k的值不变，反之改变。
【解析】
(1) 设正方形ABCD的边长为a。
∵OD=3，
∴OA=OD-AD=3-a，
∴点B的坐标为(3-a,a)。
∵直线y=2x过点B，
∴将B(3-a,a)代入y=2x得：2(3-a)=a，
解得a=2，
∴3-a=1，即B(1,2)。
(2) 由(1)可知正方形边长为2，B(1,2)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点C的横坐标为OD=3，纵坐标与B相同为2，即C(3,2)。
∵点C在直线y=kx上，
∴将C(3,2)代入得：2=3k，
解得k=$\frac{2}{3}$。
(3) 设正方形ABCD的边长为a，
∵点B在y=2x上，纵坐标为a，
∴代入得a=2x，解得x=$\frac{a}{2}$，即OA=$\frac{a}{2}$，
∴OD=OA+AD=$\frac{a}{2}$+a=$\frac{3a}{2}$，
∴点C坐标为($\frac{3a}{2}$,a)。
将C代入y=kx得：$\frac{3a}{2}· k=a$，
∵a≠0，两边同时除以a得$\frac{3k}{2}=1$，解得k=$\frac{2}{3}$，
即k的值与边长无关，因此k的值不变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,2)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
(3) $\boldsymbol{不变}$
【知识点】
正比例函数的性质，正方形的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合正比例函数和正方形的性质考查，解题核心是用正方形边长表示对应点的坐标，代入函数解析式建立方程求解，第三问通过设参数消参判断定值，渗透了数形结合和参数思想。
【难度系数】
0.7
(1) 求点B的坐标时，先设正方形边长为a，结合OD=3可推出点B的横坐标为3-a，纵坐标为a，再利用点B在直线y=2x上的条件，代入解析式即可求出a的值，得到B点坐标。
(2) 求k的值时，先根据正方形的性质得到C点坐标，再将C点坐标代入y=kx即可求解。
(3) 判断k是否变化时，设正方形边长为a，用a表示出C点坐标后代入y=kx，若解得的k不含参数a，则k的值不变，反之改变。
【解析】
(1) 设正方形ABCD的边长为a。
∵OD=3，
∴OA=OD-AD=3-a，
∴点B的坐标为(3-a,a)。
∵直线y=2x过点B，
∴将B(3-a,a)代入y=2x得：2(3-a)=a，
解得a=2，
∴3-a=1，即B(1,2)。
(2) 由(1)可知正方形边长为2，B(1,2)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点C的横坐标为OD=3，纵坐标与B相同为2，即C(3,2)。
∵点C在直线y=kx上，
∴将C(3,2)代入得：2=3k，
解得k=$\frac{2}{3}$。
(3) 设正方形ABCD的边长为a，
∵点B在y=2x上，纵坐标为a，
∴代入得a=2x，解得x=$\frac{a}{2}$，即OA=$\frac{a}{2}$，
∴OD=OA+AD=$\frac{a}{2}$+a=$\frac{3a}{2}$，
∴点C坐标为($\frac{3a}{2}$,a)。
将C代入y=kx得：$\frac{3a}{2}· k=a$，
∵a≠0，两边同时除以a得$\frac{3k}{2}=1$，解得k=$\frac{2}{3}$，
即k的值与边长无关，因此k的值不变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,2)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
(3) $\boldsymbol{不变}$
【知识点】
正比例函数的性质，正方形的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合正比例函数和正方形的性质考查，解题核心是用正方形边长表示对应点的坐标，代入函数解析式建立方程求解，第三问通过设参数消参判断定值，渗透了数形结合和参数思想。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A、C分别在坐标轴的正半轴上,OA=6,点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上.
(1)求点B的坐标.
(2)若M是直线$y=\frac{3}{4}x$上的任意一点,求线段CM的最小值.
(1)求点B的坐标.
(2)若M是直线$y=\frac{3}{4}x$上的任意一点,求线段CM的最小值.
答案
14. (1)在函数 y=$\frac{3}{4}x$ 中,当 y=6 时,x=8,
∴B(8,6).
(2)在$Rt△BOC$ 中,OB=$\sqrt{6^2+8^2}=10$.
∵M 是直线 y=$\frac{3}{4}x$ 上的任意一点,
∴CM 的最小值就是点 C 到 OB 的垂线段长. 设点 C 到 OB 的垂线段长为 h.
∵OB·h=OC·BC,
∴h=$\frac{OC·BC}{OB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,
∴线段 CM 的最小值为 $\frac{24}{5}$.
∴B(8,6).
(2)在$Rt△BOC$ 中,OB=$\sqrt{6^2+8^2}=10$.
∵M 是直线 y=$\frac{3}{4}x$ 上的任意一点,
∴CM 的最小值就是点 C 到 OB 的垂线段长. 设点 C 到 OB 的垂线段长为 h.
∵OB·h=OC·BC,
∴h=$\frac{OC·BC}{OB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,
∴线段 CM 的最小值为 $\frac{24}{5}$.
解析
【分析】
(1) 先根据矩形的性质，OA在y轴上且OA=6，可得点B的纵坐标为6；再结合点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上，将y=6代入函数解析式即可求出点B的横坐标，得到B点坐标。
(2) 根据“垂线段最短”的性质，点C到直线$y=\frac{3}{4}x$（即直线OB）的垂线段长度就是线段CM的最小值。先利用勾股定理求出OB的长度，再通过△OBC面积的两种计算方法，用等积法求出垂线段的长度，即为CM的最小值。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是矩形，OA=6，
∴点B的纵坐标与OA长度相等，即$y_B=6$。
∵点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上，将y=6代入解析式得：
$6=\frac{3}{4}x$，解得$x=8$，
∴点B的坐标为$(8,6)$。
(2) 由矩形性质可得：$OC=AB=8$，$BC=OA=6$，$∠ OCB=90°$。
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵M是直线$y=\frac{3}{4}x$上的任意一点，根据垂线段最短，线段CM的最小值为点C到直线OB的垂线段长度，设该长度为h。
$△ OBC$的面积可表示为$\frac{1}{2}× OC× BC$，也可表示为$\frac{1}{2}× OB× h$，因此：
$\frac{1}{2}× OB× h=\frac{1}{2}× OC× BC$，即$OB· h=OC· BC$，
代入数值：$10h=8×6$，解得$h=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}$。
∴线段CM的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) $B(8,6)$；(2) $\frac{24}{5}$
【知识点】
正比例函数的性质，矩形的性质，垂线段最短
【点评】
本题是正比例函数与几何图形的综合题，第一问难度较低，直接结合函数和矩形的性质即可求解；第二问的核心是掌握垂线段最短的性质，熟悉等积法求点到直线距离的常用技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据矩形的性质，OA在y轴上且OA=6，可得点B的纵坐标为6；再结合点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上，将y=6代入函数解析式即可求出点B的横坐标，得到B点坐标。
(2) 根据“垂线段最短”的性质，点C到直线$y=\frac{3}{4}x$（即直线OB）的垂线段长度就是线段CM的最小值。先利用勾股定理求出OB的长度，再通过△OBC面积的两种计算方法，用等积法求出垂线段的长度，即为CM的最小值。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是矩形，OA=6，
∴点B的纵坐标与OA长度相等，即$y_B=6$。
∵点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上，将y=6代入解析式得：
$6=\frac{3}{4}x$，解得$x=8$，
∴点B的坐标为$(8,6)$。
(2) 由矩形性质可得：$OC=AB=8$，$BC=OA=6$，$∠ OCB=90°$。
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵M是直线$y=\frac{3}{4}x$上的任意一点，根据垂线段最短，线段CM的最小值为点C到直线OB的垂线段长度，设该长度为h。
$△ OBC$的面积可表示为$\frac{1}{2}× OC× BC$，也可表示为$\frac{1}{2}× OB× h$，因此：
$\frac{1}{2}× OB× h=\frac{1}{2}× OC× BC$，即$OB· h=OC· BC$，
代入数值：$10h=8×6$，解得$h=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}$。
∴线段CM的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) $B(8,6)$；(2) $\frac{24}{5}$
【知识点】
正比例函数的性质，矩形的性质，垂线段最短
【点评】
本题是正比例函数与几何图形的综合题，第一问难度较低，直接结合函数和矩形的性质即可求解；第二问的核心是掌握垂线段最短的性质，熟悉等积法求点到直线距离的常用技巧。
【难度系数】
0.7
