1.（教材例题变式）已知$(2,1)$是正比例函数$y=kx$图象上一点，则下列点中，也在该函数图象上的是（）

A.$(1,2)$
B.$(2,4)$
C.$(4,2)$
D.$(-1,-2)$

1. C 解析:根据题意,得 2k=1,解得 k=$\frac{1}{2}$,
∴y=$\frac{1}{2}x$. 当x=1 时,y=$\frac{1}{2}$,故 A 选项不符合题意;当 x=2 时,y=1,故B 选项不符合题意;当 x=4 时,y=2,故 C 选项符合题意;当x=-1 时,y=-$\frac{1}{2}$,故 D 选项不符合题意.

【分析】
要解决这道题，思路分为两步：第一步，先确定正比例函数的具体解析式。正比例函数为y=kx，只有系数k未知，已知(2,1)是函数图象上的点，将点的横、纵坐标代入解析式就能求出k，得到确定的函数表达式。第二步，验证各选项的点是否在函数图象上。函数图象上的所有点的坐标都满足函数解析式，因此把每个选项的x值代入解析式，计算对应的y值，和选项给出的y值对比，一致的就是在图象上的点。
【解析】
把点(2,1)代入正比例函数$y=kx$，可得：
$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$，
因此该正比例函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
逐个验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}≠2$，该点不在函数图象上；
B. 当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2=1≠4$，该点不在函数图象上；
C. 当$x=4$时，$y=\frac{1}{2}×4=2$，与选项的y值一致，该点在函数图象上；
D. 当$x=-1$时，$y=\frac{1}{2}×(-1)=-\frac{1}{2}≠-2$，该点不在函数图象上。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数解析式
2. 正比例函数的图象与性质
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础题，核心考查函数图象上的点坐标满足对应函数解析式这一规律，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 若点$A(-6,m)$在正比例函数$y=-\dfrac{1}{2}x$的图象上，则点$A$到原点的距离为（）

A.3
B.6
C.$3\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$

2. C 解析:
∵点 A(-6,m)在正比例函数 y=-$\frac{1}{2}x$ 的图象上,
∴m=-$\frac{1}{2}×(-6)=3$,
∴A(-6,3),
∴OA=$\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$.

【分析】
要解决这道题，首先要明确函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，因此第一步可以将点A的横坐标代入正比例函数表达式，求出纵坐标m的值，得到点A的完整坐标。接下来求点A到原点的距离，可结合勾股定理计算：平面直角坐标系中任意一点到原点的距离，等于该点横坐标的平方与纵坐标的平方之和的算术平方根，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵点$A(-6,m)$在正比例函数$y=-\dfrac{1}{2}x$的图象上，
∴将$x=-6$代入函数解析式得：$m=-\dfrac{1}{2}×(-6)=3$，
∴点A的坐标为$(-6,3)$，
根据勾股定理，点A到原点的距离为：
$OA=\sqrt{(-6)^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，将正比例函数的性质与勾股定理的应用相结合，核心考察对基础知识点的掌握和运用能力，熟练掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系、平面直角坐标系中点到原点的距离计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 正比例函数$y=\frac{3}{2}x$的大致图象是 （）

3. B

【分析】
要判断正比例函数的大致图象，我们可以分两步思考：第一步，先回忆正比例函数图象的基本特征：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过坐标原点的直线，据此可以先排除不过原点的选项；第二步，根据k的正负判断图象经过的象限：当k＞0时，图象经过第一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限，结合本题k的取值即可选出正确选项。
【解析】
首先，正比例函数的图象是经过原点(0,0)的直线，观察选项，C、D的图象不经过原点，因此先排除C、D；
其次，本题中函数为$y=\frac{3}{2}x$，其中$k=\frac{3}{2}＞0$，因此该正比例函数的图象经过第一、三象限，选项A的图象经过第二、四象限，不符合要求，排除A；
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象特征；正比例函数的性质
【点评】
本题是正比例函数图象的基础考查题，核心是牢记正比例函数图象过原点、k的符号对应图象经过的象限这两个知识点，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

4. 若正比例函数的图象经过$M(m,1)$、$N(2,n)$两点，则$mn$的值为 （）

A.2
B.$-2$
C.1
D.4

4. A 解析:设正比例函数的表达式为 y=kx.
∵正比例函数的图象经过 M(m,1)、N(2,n)两点,
∴1=mk,n=2k,
∴k=$\frac{1}{m}$,
∴mn=2.

【分析】
首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数且$k\ne0$），若点在函数图象上，则点的横、纵坐标一定满足函数的解析式。我们可以先设出正比例函数的表达式，再将$M$、$N$两点的坐标分别代入表达式，得到两个含有$m$、$n$、$k$的等式，最后消去参数$k$，就能求出$mn$的值。
【解析】
设该正比例函数的表达式为$y=kx$（$k\ne0$）。
∵ 正比例函数的图象经过$M(m,1)$、$N(2,n)$两点，
∴ 将两点坐标代入函数表达式可得：
$1=mk$ ①，
$n=2k$ ②。
由①式可得$k=\frac{1}{m}$（$m\ne0$，若$m=0$则①式左边为1、右边为0，等式不成立），
将$k=\frac{1}{m}$代入②式，得$n=2×\frac{1}{m}$，
等式两边同时乘$m$，可得$mn=2$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的表达式，函数图象上点的坐标特征，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数的基本应用，解题关键是掌握“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，通过代入参数建立等式后消元即可求出结果。
【难度系数】
0.9

5. 已知正比例函数$y=kx$的图象经过点$(2,-6)$，则$k$的值为________.

5. -3 解析:
∵正比例函数 y=kx 的图象经过点(2,-6),
∴-6=2k,解得 k=-3.

【分析】
解题时首先明确：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足对应的函数解析式。本题已知正比例函数$y=kx$的图象过点$(2,-6)$，因此可将点的横坐标$x=2$、纵坐标$y=-6$代入函数解析式，得到只含未知数$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值。
【解析】
∵正比例函数$y=kx$的图象经过点$(2,-6)$，
∴将$x=2$，$y=-6$代入$y=kx$，可得：
$-6=2k$
解得$k=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题是正比例函数相关的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握“图象上的点的坐标满足函数解析式”的规律即可快速解题，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9

6. 正比例函数$y=-x$的图象平分第________象限.

6. 二、四

【分析】
解题时首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象是过原点的直线，图象经过的象限由$k$的符号决定：$k＞0$时，图象经过第一、三象限；$k＜0$时，图象经过第二、四象限。本题中函数为$y=-x$，先确定$k$值为$-1$，小于0，可知图象经过第二、四象限，进一步可判断该直线是第二、四象限的角平分线，因此平分第二、四象限。
【解析】
正比例函数的一般形式为$y=kx(k≠0)$，其图象为过原点的直线：
1. 当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
2. 本题中函数$y=-x$对应的$k=-1＜0$，因此图象是经过原点和第二、四象限的直线，且该直线上任意点的横、纵坐标绝对值相等、符号相反，与第二、四象限的角平分线重合，因此它平分第二、四象限。
【答案】
二、四
【知识点】
正比例函数的图象与性质；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查正比例函数中$k$的符号与图象经过象限的对应关系，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

7. 若点$A(1,m)$在函数$y=2x$的图象上，则它关于$x$轴的对称点的坐标是________.

7. (1,-2) 解析:根据题意,得 m=2,
∴点 A(1,2)关于 x 轴的对称点的坐标是(1,-2).

【分析】
解题分两步思考：第一步先求点A的完整坐标，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点A的横坐标代入正比例函数解析式就能算出m的值，得到点A的坐标。第二步求对称点坐标，回忆关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，代入点A的坐标计算即可得到结果。
【解析】
∵点$A(1,m)$在函数$y=2x$的图象上，
∴把$x=1$代入$y=2x$，得$m=2×1=2$，
∴点A的坐标为$(1,2)$，
∵关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题是基础题型，核心考察基础知识点的直接应用，只要熟练掌握函数图象与点坐标的对应关系、轴对称的坐标变化规则，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9

8. 在平面直角坐标系中,点$A(a,2)$向右平移5个单位长度后得到点$B(4,b)$.
(1)求$a、b$的值.
(2)试判断点$(2,1)$是否在经过点$B$的正比例函数$y=kx$的图象上,并说明理由.

8. (1)
∵点 A(a,2)向右平移 5 个单位长度后得到点 B(4,b),
∴a+5=4,b=2,
∴a=-1,b=2.
(2)是,理由如下:由(1)知,B(4,2),
∴2=4k,解得 k=$\frac{1}{2}$.当 x=2 时,y=$\frac{1}{2}×2=1$,
∴点(2,1)在经过点 B 的正比例函数 y=kx 的图象上.

【分析】
(1) 解决第一问需用到平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点左右平移时，纵坐标保持不变，横坐标遵循“右加左减”的规则。点A向右平移5个单位得到点B，因此A的横坐标加5等于B的横坐标，A的纵坐标与B的纵坐标相等，据此列等式即可求出a、b的值。
(2) 解决第二问首先用待定系数法，将点B的坐标代入正比例函数y=kx求出k的值，得到函数解析式；再根据“函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式”，把点(2,1)的横坐标代入解析式，将计算得到的y值和该点的纵坐标对比，若相等则点在函数图象上，反之则不在。
【解析】
(1)
∵点$A(a,2)$向右平移5个单位长度后得到点$B(4,b)$，根据点平移的坐标变化规律，横坐标右加左减，纵坐标不变，
∴$a+5=4$，$b=2$，
解得$a=-1$，$b=2$。
(2) 点$(2,1)$在该正比例函数图象上，理由如下：
由(1)可知点B的坐标为$(4,2)$，将$B(4,2)$代入$y=kx$得：
$2=4k$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
∴该正比例函数解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2=1$，与点$(2,1)$的纵坐标相等，
∴点$(2,1)$在经过点B的正比例函数$y=kx$的图象上。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=2$；(2) 点$(2,1)$在经过点$B$的正比例函数$y=kx$的图象上。
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 待定系数法求正比例函数解析式
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了平面直角坐标系中点的平移性质和正比例函数的基础应用，解题关键是熟练掌握相关基础概念，准确进行代入计算。
【难度系数】
0.8

9. 在同一平面直角坐标系中画出函数$y=2x$、$y=-\dfrac{1}{3}x$、$y=-0.6x$的图象.

9. 如图所示.

【分析】
我们知道正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象是经过原点$(0,0)$的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，画正比例函数图象时，只需额外找到1个除原点外的函数上的点，过原点和该点作直线即可得到对应函数的图象。我们可以选取计算简便的$x=1$，代入各函数解析式求出对应的$y$值，得到第二个点的坐标，再依次描点、连线即可完成作图。
【解析】
1. 回忆正比例函数图象性质：正比例函数的图象是过坐标原点$(0,0)$的直线，画图象仅需再确定1个非原点的点即可。
2. 分别计算三个函数除原点外的一个点的坐标：
对$y=2x$，取$x=1$，代入得$y=2×1=2$，得到点$(1,2)$；
对$y=-\dfrac{1}{3}x$，取$x=1$，代入得$y=-\dfrac{1}{3}×1=-\dfrac{1}{3}$，得到点$(1,-\dfrac{1}{3})$；
对$y=-0.6x$，取$x=1$，代入得$y=-0.6×1=-0.6$，得到点$(1,-0.6)$。
3. 在平面直角坐标系中，分别过原点和上述三个点作直线，即可得到三个函数对应的图象。
【答案】
如图所示.
【知识点】
正比例函数图象特征，描点法画函数图象
【点评】
本题是基础作图类题目，考查正比例函数图象的绘制方法，解题核心是掌握正比例函数图象过原点的特征，利用两点确定一条直线的规律即可快速完成作图，熟练掌握该方法能有效提升函数作图的效率和准确率。
【难度系数】
0.85