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7. 有一组数据：1，1，4，5，1，4，下列说法错误的是(
A.中位数为 4
B.平均数为$\dfrac{8}{3}$
C.众数是 1
D.最大值与最小值的差是 4
A
).A.中位数为 4
B.平均数为$\dfrac{8}{3}$
C.众数是 1
D.最大值与最小值的差是 4
答案
7. A
解析
【分析】
解决这类统计概念辨析题，第一步需要先把原始数据按从小到大的顺序排列，再分别对应中位数、平均数、众数、极差的定义，逐个计算对应统计量，再和四个选项的表述逐一对比，就能找出错误的说法。
【解析】
首先将原数据从小到大排序：1，1，1，4，4，5，共6个数据。
1. 验证A选项：偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，中间第3、4个数据分别为1和4，因此中位数为$\dfrac{1+4}{2}=2.5≠4$，A说法错误。
2. 验证B选项：平均数为所有数据的和除以数据个数，数据总和为$1+1+1+4+4+5=16$，因此平均数为$\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}$，B说法正确。
3. 验证C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，1共出现3次，出现次数最多，因此众数是1，C说法正确。
4. 验证D选项：数据最大值是5，最小值是1，二者的差为$5-1=4$，D说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中位数；平均数；众数
【点评】
本题考查基础统计量的计算与判断，核心是牢记各统计量的定义，尤其注意计算中位数前必须先将数据按大小排序，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均值，避免因步骤遗漏出错。
【难度系数】
0.8
解决这类统计概念辨析题，第一步需要先把原始数据按从小到大的顺序排列，再分别对应中位数、平均数、众数、极差的定义，逐个计算对应统计量，再和四个选项的表述逐一对比，就能找出错误的说法。
【解析】
首先将原数据从小到大排序：1，1，1，4，4，5，共6个数据。
1. 验证A选项：偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，中间第3、4个数据分别为1和4，因此中位数为$\dfrac{1+4}{2}=2.5≠4$，A说法错误。
2. 验证B选项：平均数为所有数据的和除以数据个数，数据总和为$1+1+1+4+4+5=16$，因此平均数为$\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}$，B说法正确。
3. 验证C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，1共出现3次，出现次数最多，因此众数是1，C说法正确。
4. 验证D选项：数据最大值是5，最小值是1，二者的差为$5-1=4$，D说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中位数；平均数；众数
【点评】
本题考查基础统计量的计算与判断，核心是牢记各统计量的定义，尤其注意计算中位数前必须先将数据按大小排序，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均值，避免因步骤遗漏出错。
【难度系数】
0.8
8. 在献爱心活动中，5名同学的捐款金额(单位：元)分别是20，20，30，40，40，后来每人都增加了10元.增加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是(
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
D
).A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
8. D
解析
【分析】
这道题考查不同统计量在数据整体加上固定值后的变化情况。解题思路有两种：一是分别计算原数据和每个数据加10后的新数据的平均数、众数、中位数、方差，逐一对比找到不变的统计量；二是利用统计量的变化规律快速判断：平均数、众数、中位数代表数据的集中趋势，每个数据加同一个数后，集中趋势整体上移，对应统计量也会增加相同的数；方差反映数据的波动程度，所有数据加同一个数时，数据之间的差异不变，波动程度不变，因此方差不变，可结合计算验证结论。
【解析】
首先计算原数据（20，20，30，40，40）的各统计量：
1. 平均数：$\bar{x}_原=\frac{20+20+30+40+40}{5}=30$
2. 众数：出现次数最多的数是20和40
3. 中位数：排序后第3个数据为30
4. 方差：$s^2_原=\frac{(20-30)^2+(20-30)^2+(30-30)^2+(40-30)^2+(40-30)^2}{5}=\frac{400}{5}=80$
再计算每个数据加10后的新数据（30，30，40，50，50）的各统计量：
1. 平均数：$\bar{x}_新=\frac{30+30+40+50+50}{5}=40$，与原平均数相比增加了10，A选项错误
2. 众数：出现次数最多的数是30和50，与原众数不同，B选项错误
3. 中位数：排序后第3个数据为40，与原中位数相比增加了10，C选项错误
4. 方差：$s^2_新=\frac{(30-40)^2+(30-40)^2+(40-40)^2+(50-40)^2+(50-40)^2}{5}=\frac{400}{5}=80$，与原方差相等，D选项正确
【答案】
D
【知识点】
统计量计算，方差性质，统计量变化规律
【点评】
本题围绕常见统计量的核心含义出题，既可以通过逐一计算对比得出结果，也可以利用规律快速判断，能够很好地检验学生对统计量意义的理解程度，掌握“一组数据同加同减一个常数时方差不变”的规律可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
这道题考查不同统计量在数据整体加上固定值后的变化情况。解题思路有两种：一是分别计算原数据和每个数据加10后的新数据的平均数、众数、中位数、方差，逐一对比找到不变的统计量；二是利用统计量的变化规律快速判断：平均数、众数、中位数代表数据的集中趋势，每个数据加同一个数后，集中趋势整体上移，对应统计量也会增加相同的数；方差反映数据的波动程度，所有数据加同一个数时，数据之间的差异不变，波动程度不变，因此方差不变，可结合计算验证结论。
【解析】
首先计算原数据（20，20，30，40，40）的各统计量：
1. 平均数：$\bar{x}_原=\frac{20+20+30+40+40}{5}=30$
2. 众数：出现次数最多的数是20和40
3. 中位数：排序后第3个数据为30
4. 方差：$s^2_原=\frac{(20-30)^2+(20-30)^2+(30-30)^2+(40-30)^2+(40-30)^2}{5}=\frac{400}{5}=80$
再计算每个数据加10后的新数据（30，30，40，50，50）的各统计量：
1. 平均数：$\bar{x}_新=\frac{30+30+40+50+50}{5}=40$，与原平均数相比增加了10，A选项错误
2. 众数：出现次数最多的数是30和50，与原众数不同，B选项错误
3. 中位数：排序后第3个数据为40，与原中位数相比增加了10，C选项错误
4. 方差：$s^2_新=\frac{(30-40)^2+(30-40)^2+(40-40)^2+(50-40)^2+(50-40)^2}{5}=\frac{400}{5}=80$，与原方差相等，D选项正确
【答案】
D
【知识点】
统计量计算，方差性质，统计量变化规律
【点评】
本题围绕常见统计量的核心含义出题，既可以通过逐一计算对比得出结果，也可以利用规律快速判断，能够很好地检验学生对统计量意义的理解程度，掌握“一组数据同加同减一个常数时方差不变”的规律可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9. 老师在计算一组数据的方差时，列出：$s^2 = \dfrac{(3 - \bar{x})^2 + (4 - \bar{x})^2 + (4 - \bar{x})^2 + (5 - \bar{x})^2}{4}$，
由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（
A.中位数是 4
B.众数是 4
C.平均数是 4
D.方差是$\dfrac{1}{4}$
由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（
D
）.A.中位数是 4
B.众数是 4
C.平均数是 4
D.方差是$\dfrac{1}{4}$
答案
9. D
解析
【分析】
首先根据方差的计算公式，从给出的式子中提取这组的原始数据为3、4、4、5，接下来分别计算这组数据的中位数、众数、平均数、方差，再逐一核对四个选项，找出说法错误的选项即可。解题时要牢记各统计量的计算规则，避免计算出错。
【解析】
由方差公式可知，这组数据为：3，4，4，5，共4个数据。
1. 计算平均数：$\bar{x}=\frac{3+4+4+5}{4}=4$，故C选项说法正确；
2. 计算中位数：将数据从小到大排列为3，4，4，5，中间两个数均为4，所以中位数为$\frac{4+4}{2}=4$，故A选项说法正确；
3. 确定众数：4出现的次数最多（共2次），所以众数是4，故B选项说法正确；
4. 计算方差：$s^2=\frac{(3-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2}{4}=\frac{1+0+0+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故D选项说法错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算，中位数，平均数与众数
【点评】
本题主要考查常见统计量的计算与判断，解题的核心是先从方差公式中提取原始数据，再结合各统计量的定义逐一计算验证，只要熟练掌握基础统计量的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先根据方差的计算公式，从给出的式子中提取这组的原始数据为3、4、4、5，接下来分别计算这组数据的中位数、众数、平均数、方差，再逐一核对四个选项，找出说法错误的选项即可。解题时要牢记各统计量的计算规则，避免计算出错。
【解析】
由方差公式可知，这组数据为：3，4，4，5，共4个数据。
1. 计算平均数：$\bar{x}=\frac{3+4+4+5}{4}=4$，故C选项说法正确；
2. 计算中位数：将数据从小到大排列为3，4，4，5，中间两个数均为4，所以中位数为$\frac{4+4}{2}=4$，故A选项说法正确；
3. 确定众数：4出现的次数最多（共2次），所以众数是4，故B选项说法正确；
4. 计算方差：$s^2=\frac{(3-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2}{4}=\frac{1+0+0+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故D选项说法错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算，中位数，平均数与众数
【点评】
本题主要考查常见统计量的计算与判断，解题的核心是先从方差公式中提取原始数据，再结合各统计量的定义逐一计算验证，只要熟练掌握基础统计量的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量的数据统计如下：$\bar{x}_甲=0.54$，$\bar{x}_乙=0.54$，$s^2_甲=0.01$，$s^2_乙=0.002$. 则由上述数据推断乙品种产量比较稳定的依据是(
A.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$
B.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
C.$\bar{x}_甲 ＞ s^2_甲$
D.$\bar{x}_乙 ＞ s^2_甲$
B
).A.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$
B.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
C.$\bar{x}_甲 ＞ s^2_甲$
D.$\bar{x}_乙 ＞ s^2_甲$
答案
10. B
解析
【分析】
要判断哪种大豆产量更稳定，首先明确不同统计量的作用：平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度（稳定性）。首先观察到甲乙两种大豆的平均产量相等，此时比较稳定性只需比较方差大小：方差越小，数据波动越小，产量越稳定，结合已知的方差数值即可找到对应的判断依据。
【解析】
解：①平均数$\bar{x}$的作用是反映一组数据的平均水平，本题中$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=0.54$，说明甲、乙两种大豆的平均产量相同。
②方差$s^2$是衡量一组数据波动大小的统计量：方差越大，数据偏离平均数的程度越大，波动越剧烈，数据越不稳定；方差越小，数据波动越小，数据越稳定。
③已知$s^2_甲=0.01$，$s^2_乙=0.002$，可得$s^2_甲＞s^2_乙$，说明乙品种大豆的产量波动更小、更稳定。因此推断乙品种产量比较稳定的依据是$s^2_甲＞s^2_乙$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题的关键是明确不同统计量的适用场景：要比较数据的平均水平看平均数，要比较数据的稳定性看方差，注意避免混淆两个统计量的作用。
【难度系数】
0.8
要判断哪种大豆产量更稳定，首先明确不同统计量的作用：平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度（稳定性）。首先观察到甲乙两种大豆的平均产量相等，此时比较稳定性只需比较方差大小：方差越小，数据波动越小，产量越稳定，结合已知的方差数值即可找到对应的判断依据。
【解析】
解：①平均数$\bar{x}$的作用是反映一组数据的平均水平，本题中$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=0.54$，说明甲、乙两种大豆的平均产量相同。
②方差$s^2$是衡量一组数据波动大小的统计量：方差越大，数据偏离平均数的程度越大，波动越剧烈，数据越不稳定；方差越小，数据波动越小，数据越稳定。
③已知$s^2_甲=0.01$，$s^2_乙=0.002$，可得$s^2_甲＞s^2_乙$，说明乙品种大豆的产量波动更小、更稳定。因此推断乙品种产量比较稳定的依据是$s^2_甲＞s^2_乙$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题的关键是明确不同统计量的适用场景：要比较数据的平均水平看平均数，要比较数据的稳定性看方差，注意避免混淆两个统计量的作用。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 某中学为了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1) $ m = $
(2) 在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？
(3) 如果该校共有1 500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？
11. 某中学为了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1) $ m = $
26
$\%$，这次共抽取50
名学生进行调查，并补全条形统计图；(2) 在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？
(3) 如果该校共有1 500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？
答案
11. (1) 26 50 绘图如图所示
(2) 乘公交车上学的人数最多 (3) $1\ 500×20\% = 300$(名)解析
【分析】
解题时需结合扇形统计图和条形统计图的信息互相推导：①首先找到两个统计图中都明确给出的量：乘公交车上学的人数为20，对应扇形图的占比为40%，利用“总人数=对应人数÷对应占比”即可算出抽取的总人数；②扇形图中所有类别占比之和为100%，因此用1减去其余三类的占比就能得到步行的占比m；③用总人数乘骑自行车的占比，得到骑自行车的人数，即可补全条形统计图；④第二问对比各类上学方式的人数或占比即可得出结论；⑤第三问利用样本中骑自行车的占比乘全校总人数，即可估计出全校骑自行车上学的人数。
【解析】
(1) 计算步行的占比$m$：
扇形统计图中各类别占比总和为1，因此
$m = 1 - 20\% - 40\% - 14\% = 26\%$
计算抽取的总人数：
由条形图可知乘公交车的人数为20，对应扇形图占比40%，因此总人数为
$20 ÷ 40\% = 50$（名）
计算骑自行车的人数：$50 × 20\% =10$（名），据此补全条形统计图，骑自行车对应条形高度为10。
(2) 对比各上学方式的人数：步行13名，乘公交车20名，骑自行车10名，其他7名，其中20为最大值，因此乘公交车上学的人数最多。
(3) 用样本占比估计总体，该校骑自行车上学的学生人数约为：
$1500 × 20\% = 300$（名）
【答案】
(1) 26 50 绘图如图所示
(2) 乘公交车上学的人数最多
(3) $1\ 500×20\% = 300$(名)
【知识点】
扇形统计图；条形统计图；样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，考查对两种统计图表信息的提取与整合能力，解题的核心是找到两个统计图共有的已知量求出总人数，再进一步求解其余问题，掌握样本估计总体的思想是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.7
解题时需结合扇形统计图和条形统计图的信息互相推导：①首先找到两个统计图中都明确给出的量：乘公交车上学的人数为20，对应扇形图的占比为40%，利用“总人数=对应人数÷对应占比”即可算出抽取的总人数；②扇形图中所有类别占比之和为100%，因此用1减去其余三类的占比就能得到步行的占比m；③用总人数乘骑自行车的占比，得到骑自行车的人数，即可补全条形统计图；④第二问对比各类上学方式的人数或占比即可得出结论；⑤第三问利用样本中骑自行车的占比乘全校总人数，即可估计出全校骑自行车上学的人数。
【解析】
(1) 计算步行的占比$m$：
扇形统计图中各类别占比总和为1，因此
$m = 1 - 20\% - 40\% - 14\% = 26\%$
计算抽取的总人数：
由条形图可知乘公交车的人数为20，对应扇形图占比40%，因此总人数为
$20 ÷ 40\% = 50$（名）
计算骑自行车的人数：$50 × 20\% =10$（名），据此补全条形统计图，骑自行车对应条形高度为10。
(2) 对比各上学方式的人数：步行13名，乘公交车20名，骑自行车10名，其他7名，其中20为最大值，因此乘公交车上学的人数最多。
(3) 用样本占比估计总体，该校骑自行车上学的学生人数约为：
$1500 × 20\% = 300$（名）
【答案】
(1) 26 50 绘图如图所示
(2) 乘公交车上学的人数最多
(3) $1\ 500×20\% = 300$(名)
【知识点】
扇形统计图；条形统计图；样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，考查对两种统计图表信息的提取与整合能力，解题的核心是找到两个统计图共有的已知量求出总人数，再进一步求解其余问题，掌握样本估计总体的思想是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.7
