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12. 先化简，再求值：$(2a + b)^2 - (2a - b)(a + b) - 2(a - 2b)(a + 2b)$，其中$a = \frac{1}{2}$，$b = -2$。
答案
12. $10b^2 + 3ab$ 37
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：首先观察原式的结构，分别识别出三个部分对应的运算：$(2a+b)^2$符合完全平方公式，$(2a-b)(a+b)$是多项式乘多项式运算，$(a-2b)(a+2b)$符合平方差公式。第一步先分别利用对应法则展开三个部分，第二步去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），第三步合并同类项得到最简整式，最后将$a=\frac{1}{2}$、$b=-2$代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2+4ab+b^2)-(2a^2+2ab-ab-b^2)-2(a^2-4b^2)\\&=4a^2+4ab+b^2-2a^2-2ab+ab+b^2-2a^2+8b^2\\&=(4a^2-2a^2-2a^2)+(4ab-2ab+ab)+(b^2+b^2+8b^2)\\&=10b^2+3ab\end{aligned}$
再代入$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$求值：
$\begin{aligned}原式&=10×(-2)^2+3×\frac{1}{2}×(-2)\\&=10×4-3\\&=40-3\\&=37\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$10b^2 + 3ab$，值为$37$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题主要考察整式混合运算的能力，核心是对乘法公式的熟练运用，解题过程中要格外注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致失分，属于需熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：首先观察原式的结构，分别识别出三个部分对应的运算：$(2a+b)^2$符合完全平方公式，$(2a-b)(a+b)$是多项式乘多项式运算，$(a-2b)(a+2b)$符合平方差公式。第一步先分别利用对应法则展开三个部分，第二步去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），第三步合并同类项得到最简整式，最后将$a=\frac{1}{2}$、$b=-2$代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2+4ab+b^2)-(2a^2+2ab-ab-b^2)-2(a^2-4b^2)\\&=4a^2+4ab+b^2-2a^2-2ab+ab+b^2-2a^2+8b^2\\&=(4a^2-2a^2-2a^2)+(4ab-2ab+ab)+(b^2+b^2+8b^2)\\&=10b^2+3ab\end{aligned}$
再代入$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$求值：
$\begin{aligned}原式&=10×(-2)^2+3×\frac{1}{2}×(-2)\\&=10×4-3\\&=40-3\\&=37\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$10b^2 + 3ab$，值为$37$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题主要考察整式混合运算的能力，核心是对乘法公式的熟练运用，解题过程中要格外注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致失分，属于需熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 七年级学生小颖是一个非常喜欢思考问题又乐于助人的同学. 一天邻居家正在读小学的小明请小颖姐姐帮忙检查作业：
$7×9=63$； $8×8=64$； $11×13=143$； $12×12=144$； $24×26=624$；
$25×25=625$.
小颖仔细检查后，夸小明聪明仔细，作业全对了！小颖还从这几道题发现了一个规律.
你知道小颖发现了什么规律吗？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性.
$7×9=63$； $8×8=64$； $11×13=143$； $12×12=144$； $24×26=624$；
$25×25=625$.
小颖仔细检查后，夸小明聪明仔细，作业全对了！小颖还从这几道题发现了一个规律.
你知道小颖发现了什么规律吗？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性.
答案
13. $(n-1)(n+1)=n^2-1$
解析
【分析】
首先观察给出的每组等式，可发现每组都包含两个乘法算式：第一个算式是两个相差2的整数相乘，第二个算式是这两个整数中间的整数的平方，且第一个算式的乘积比第二个算式的结果小1。我们可以设两个乘数中间的整数为n，那么两个乘数就可以表示为n-1和n+1，再通过整式乘法运算验证我们总结的规律是否成立即可。
【解析】
步骤1：观察等式共性
对给出的式子分组观察：
① $7×9=63$，$8×8=64$，其中$7=8-1$，$9=8+1$，可得$(8-1)×(8+1)=8^2-1$；
② $11×13=143$，$12×12=144$，其中$11=12-1$，$13=12+1$，可得$(12-1)×(12+1)=12^2-1$；
③ $24×26=624$，$25×25=625$，其中$24=25-1$，$26=25+1$，可得$(25-1)×(25+1)=25^2-1$。
步骤2：用字母表示规律
设两个相差2的整数中间的数为n，则这两个整数分别为$n-1$和$n+1$，可总结规律为：$(n-1)(n+1)=n^2-1$。
步骤3：验证规律正确性
将等式左边利用多项式乘多项式的法则展开：
$\begin{aligned}左边&=(n-1)(n+1)\\&=n·n +n·1 -1·n -1·1\\&=n^2 +n -n -1\\&=n^2 -1\end{aligned}$
左边计算结果与右边相等，因此该规律正确。
【答案】
$(n-1)(n+1)=n^2-1$
【知识点】
规律探究、多项式乘多项式、平方差公式
【点评】
本题从具体的数字运算出发，引导学生自主观察、归纳共性并提炼出一般规律，再通过代数运算完成验证，能有效提升观察归纳能力和整式运算的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的每组等式，可发现每组都包含两个乘法算式：第一个算式是两个相差2的整数相乘，第二个算式是这两个整数中间的整数的平方，且第一个算式的乘积比第二个算式的结果小1。我们可以设两个乘数中间的整数为n，那么两个乘数就可以表示为n-1和n+1，再通过整式乘法运算验证我们总结的规律是否成立即可。
【解析】
步骤1：观察等式共性
对给出的式子分组观察：
① $7×9=63$，$8×8=64$，其中$7=8-1$，$9=8+1$，可得$(8-1)×(8+1)=8^2-1$；
② $11×13=143$，$12×12=144$，其中$11=12-1$，$13=12+1$，可得$(12-1)×(12+1)=12^2-1$；
③ $24×26=624$，$25×25=625$，其中$24=25-1$，$26=25+1$，可得$(25-1)×(25+1)=25^2-1$。
步骤2：用字母表示规律
设两个相差2的整数中间的数为n，则这两个整数分别为$n-1$和$n+1$，可总结规律为：$(n-1)(n+1)=n^2-1$。
步骤3：验证规律正确性
将等式左边利用多项式乘多项式的法则展开：
$\begin{aligned}左边&=(n-1)(n+1)\\&=n·n +n·1 -1·n -1·1\\&=n^2 +n -n -1\\&=n^2 -1\end{aligned}$
左边计算结果与右边相等，因此该规律正确。
【答案】
$(n-1)(n+1)=n^2-1$
【知识点】
规律探究、多项式乘多项式、平方差公式
【点评】
本题从具体的数字运算出发，引导学生自主观察、归纳共性并提炼出一般规律，再通过代数运算完成验证，能有效提升观察归纳能力和整式运算的应用能力。
【难度系数】
0.7
14. 按如图所示的两种方式将正方形分割成若干长方形，你能分别得到什么结论？
答案
14. 方式一：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
方式二：$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$
方式二：$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$
解析
【分析】
解题采用面积法：同一个正方形的面积可以通过两种方式计算，一是直接用边长的平方计算，二是计算分割后所有小图形的面积之和，两种计算结果相等即可推出对应的代数恒等式。
对于方式一：先确定大正方形边长，直接求面积；再拆分图形为2个正方形和2个长方形，分别计算面积后求和，联立两个面积表达式得到等式。
对于方式二：先计算大正方形面积，再拆分图形为1个小正方形和4个完全相同的长方形，分别计算面积后求和，联立得到第二个等式。
【解析】
方式一：
1. 大正方形的边长为$a+b$，因此面积可表示为$(a+b)^2$。
2. 分割后的图形包含：边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、2个长为$b$宽为$a$的长方形（总面积$2ab$），分割后总面积为$a^2+2ab+b^2$。
3. 同一正方形面积相等，因此可得$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
方式二：
1. 大正方形的边长为$x+y$，因此面积可表示为$(x+y)^2$。
2. 分割后的图形包含：边长为$x-y$的小正方形（面积$(x-y)^2$）、4个长为$x$宽为$y$的长方形（总面积$4xy$），分割后总面积为$(x-y)^2+4xy$。
3. 同一正方形面积相等，因此可得$(x+y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$。
【答案】
方式一：$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$
方式二：$\boxed{(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy}$
【知识点】
完全平方公式；面积法；矩形正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，借助几何图形面积推导代数恒等式，能直观帮助理解乘法公式的几何意义，掌握利用面积相等建立等式的方法。
【难度系数】
0.7
解题采用面积法：同一个正方形的面积可以通过两种方式计算，一是直接用边长的平方计算，二是计算分割后所有小图形的面积之和，两种计算结果相等即可推出对应的代数恒等式。
对于方式一：先确定大正方形边长，直接求面积；再拆分图形为2个正方形和2个长方形，分别计算面积后求和，联立两个面积表达式得到等式。
对于方式二：先计算大正方形面积，再拆分图形为1个小正方形和4个完全相同的长方形，分别计算面积后求和，联立得到第二个等式。
【解析】
方式一：
1. 大正方形的边长为$a+b$，因此面积可表示为$(a+b)^2$。
2. 分割后的图形包含：边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、2个长为$b$宽为$a$的长方形（总面积$2ab$），分割后总面积为$a^2+2ab+b^2$。
3. 同一正方形面积相等，因此可得$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
方式二：
1. 大正方形的边长为$x+y$，因此面积可表示为$(x+y)^2$。
2. 分割后的图形包含：边长为$x-y$的小正方形（面积$(x-y)^2$）、4个长为$x$宽为$y$的长方形（总面积$4xy$），分割后总面积为$(x-y)^2+4xy$。
3. 同一正方形面积相等，因此可得$(x+y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$。
【答案】
方式一：$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$
方式二：$\boxed{(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy}$
【知识点】
完全平方公式；面积法；矩形正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，借助几何图形面积推导代数恒等式，能直观帮助理解乘法公式的几何意义，掌握利用面积相等建立等式的方法。
【难度系数】
0.7
