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13. (2025·河北中考)如图①,图②,正方形
ABCD 的边长为 5.扇形 OEF 所在圆的圆心 O
在对角线 BD 上,且不与点 D 重合,半径
OE=2,点 E,F 分别在边 AD,CD 上,DE=DF
(DE≥2),扇形 OEF 的弧交线段 OB 于点
M,记为$\overset{\frown}{EMF}$.
(1)如图①,当 AE=3 时,求$∠EMF$的度数;
(2)如图②,当四边形 OEMF 为菱形时,求
DE 的长;
(3)当$∠EOF=150°$时,求$\overset{\frown}{EMF}$的长.
ABCD 的边长为 5.扇形 OEF 所在圆的圆心 O
在对角线 BD 上,且不与点 D 重合,半径
OE=2,点 E,F 分别在边 AD,CD 上,DE=DF
(DE≥2),扇形 OEF 的弧交线段 OB 于点
M,记为$\overset{\frown}{EMF}$.
(1)如图①,当 AE=3 时,求$∠EMF$的度数;
(2)如图②,当四边形 OEMF 为菱形时,求
DE 的长;
(3)当$∠EOF=150°$时,求$\overset{\frown}{EMF}$的长.
答案
(1)$\because$ 正方形ABCD的边长为5,$\therefore AD=CD=5$,$\therefore$ 当$AE=3$时,$ED=DF=2$.$\because OE=OF=2$,$\therefore ED=DF=OE=OF$,$\therefore$ 四边形EOFD是菱形.$\because ∠ EDF=90°$,$\therefore$ 四边形EOFD是正方形,$\therefore ∠ EOF=90°$,$\therefore ∠ EMF=\frac{1}{2}∠ EOF=45°$.
(2)$\because$ 四边形OEMF为菱形,$\therefore EM=MF=OE=OF$.$\because$ 扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上,$\therefore OE=OM=EM=2$,$\therefore △ OEM$是等边三角形,如图①所示,连接EF交BD于点G,$\therefore EF⊥ BD$,$\therefore ∠ MEG=\frac{1}{2}∠ MEO=30°$,$\therefore MG=OG=\frac{1}{2}EM=1$,$\therefore EG=\sqrt{EM^2-MG^2}=\sqrt{3}$.$\because ∠ EDG=45°$,$\therefore △ EGD$是等腰直角三角形,$\therefore EG=DG=\sqrt{3}$,$\therefore ED=\sqrt{EG^2+DG^2}=\sqrt{6}$.
(3)如图②所示,当$\overset{\frown}{EMF}$是劣弧时,$\because ∠ EOF=150°$,半径$OE=2$,$\therefore \overset{\frown}{EMF}=\frac{150π × 2}{180}=\frac{5π}{3}$.
如图③所示,当$\overset{\frown}{EMF}$是优弧时,$\because ∠ EOF=150°$,半径$OE=2$,$\therefore 360°-150°=210°$,$\therefore \overset{\frown}{EMF}=\frac{210π × 2}{180}=\frac{7π}{3}$.
综上所述,$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{5π}{3}$或$\frac{7π}{3}$.
解析
【分析】
本题是正方形与扇形结合的几何综合题，分三小问逐步分析：
(1) 利用正方形边长和AE的长度求出ED，结合DE=DF、OE=OF=2判断四边形EOFD的形状，进而得到∠EOF，再根据圆周角定理求∠EMF；
(2) 由菱形性质得OE=EM，结合半径相等判断△OEM为等边三角形，利用菱形对角线性质和等腰直角三角形的性质计算DE；
(3) 已知∠EOF=150°，需分弧$\overset{\frown}{EMF}$为劣弧和优弧两种情况，利用弧长公式分别计算弧长。
【解析】
(1)
∵ 正方形ABCD边长为5，
∴ AD=CD=5，当AE=3时，ED=AD-AE=2，又DE=DF，
∴ DF=2，
∵ OE=OF=2，
∴ ED=DF=OE=OF=2，
∴ 四边形EOFD是菱形，又∠EDF=90°，
∴ 四边形EOFD是正方形，
∴ ∠EOF=90°，
∵ ∠EMF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
∴ ∠EMF=$\frac{1}{2}$∠EOF=45°；
(2)
∵ 四边形OEMF为菱形，
∴ EM=MF=OE=OF=2，又OE=OM（扇形半径），
∴ OE=OM=EM=2，
∴ △OEM是等边三角形，连接EF交BD于点G，
∵ 菱形对角线互相垂直，
∴ EF⊥BD，
∴ ∠MEG=$\frac{1}{2}$∠MEO=30°，在Rt△MEG中，MG=$\frac{1}{2}$EM=1，EG=$\sqrt{EM^2-MG^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，
∵ ∠EDG=45°，∠EGD=90°，
∴ △EGD是等腰直角三角形，
∴ DG=EG=$\sqrt{3}$，
∴ ED=$\sqrt{EG^2+DG^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{6}$；
(3) 分两种情况：
① 当$\overset{\frown}{EMF}$为劣弧时，圆心角∠EOF=150°，半径OE=2，弧长$\overset{\frown}{EMF}$=$\frac{150π×2}{180}$=$\frac{5π}{3}$；
② 当$\overset{\frown}{EMF}$为优弧时，圆心角为360°-150°=210°，弧长$\overset{\frown}{EMF}$=$\frac{210π×2}{180}$=$\frac{7π}{3}$；
综上，$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{5π}{3}$或$\frac{7π}{3}$。
【答案】
(1) $45°$；
(2) $\sqrt{6}$；
(3) $\frac{5π}{3}$或$\frac{7π}{3}$
【知识点】
正方形性质、菱形性质、弧长计算、圆周角定理
【点评】
本题综合考查正方形、菱形的性质，圆周角定理及弧长公式的应用，需结合图形特点分析，第(3)问需分类讨论弧的类型，体现了分类思想，是中等难度的几何综合题，能较好考查学生的几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.5
本题是正方形与扇形结合的几何综合题，分三小问逐步分析：
(1) 利用正方形边长和AE的长度求出ED，结合DE=DF、OE=OF=2判断四边形EOFD的形状，进而得到∠EOF，再根据圆周角定理求∠EMF；
(2) 由菱形性质得OE=EM，结合半径相等判断△OEM为等边三角形，利用菱形对角线性质和等腰直角三角形的性质计算DE；
(3) 已知∠EOF=150°，需分弧$\overset{\frown}{EMF}$为劣弧和优弧两种情况，利用弧长公式分别计算弧长。
【解析】
(1)
∵ 正方形ABCD边长为5，
∴ AD=CD=5，当AE=3时，ED=AD-AE=2，又DE=DF，
∴ DF=2，
∵ OE=OF=2，
∴ ED=DF=OE=OF=2，
∴ 四边形EOFD是菱形，又∠EDF=90°，
∴ 四边形EOFD是正方形，
∴ ∠EOF=90°，
∵ ∠EMF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
∴ ∠EMF=$\frac{1}{2}$∠EOF=45°；
(2)
∵ 四边形OEMF为菱形，
∴ EM=MF=OE=OF=2，又OE=OM（扇形半径），
∴ OE=OM=EM=2，
∴ △OEM是等边三角形，连接EF交BD于点G，
∵ 菱形对角线互相垂直，
∴ EF⊥BD，
∴ ∠MEG=$\frac{1}{2}$∠MEO=30°，在Rt△MEG中，MG=$\frac{1}{2}$EM=1，EG=$\sqrt{EM^2-MG^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，
∵ ∠EDG=45°，∠EGD=90°，
∴ △EGD是等腰直角三角形，
∴ DG=EG=$\sqrt{3}$，
∴ ED=$\sqrt{EG^2+DG^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{6}$；
(3) 分两种情况：
① 当$\overset{\frown}{EMF}$为劣弧时，圆心角∠EOF=150°，半径OE=2，弧长$\overset{\frown}{EMF}$=$\frac{150π×2}{180}$=$\frac{5π}{3}$；
② 当$\overset{\frown}{EMF}$为优弧时，圆心角为360°-150°=210°，弧长$\overset{\frown}{EMF}$=$\frac{210π×2}{180}$=$\frac{7π}{3}$；
综上，$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{5π}{3}$或$\frac{7π}{3}$。
【答案】
(1) $45°$；
(2) $\sqrt{6}$；
(3) $\frac{5π}{3}$或$\frac{7π}{3}$
【知识点】
正方形性质、菱形性质、弧长计算、圆周角定理
【点评】
本题综合考查正方形、菱形的性质，圆周角定理及弧长公式的应用，需结合图形特点分析，第(3)问需分类讨论弧的类型，体现了分类思想，是中等难度的几何综合题，能较好考查学生的几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.5
14. 如图,在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC = 115°, AB = BC =6\ \mathrm{cm}$, 将 $△ ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到$△ DBE$, 过点 $C$ 作 $CF ⊥ BE$ 于点 $F$, 当点 $E$,$B,A$ 在同一直线上时停止旋转.在这一旋转过程中, 点 $F$ 所经过的路径长为
$\frac{13}{6}π$
cm.答案
$\frac{13}{6}π$ 解析:如图,取BC的中点O,连接OF,$\because CF⊥ BE$于点F,$\therefore ∠ BFC=90°$,$\therefore OF=OB=OC=\frac{1}{2}BC$,$\therefore$ 点F在以O为圆心、BC为直径的圆上运动.如图,当点E,B,A在同一直线上时,$\because ∠ ABC=115°$,$AB=BC=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore ∠ EBC=180°-∠ ABC=65°$,$OF=\frac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore ∠ COF=2∠ EBC=130°$,$\therefore l_{\overset{\frown}{CF}}=\frac{130× π × 3}{180}=\frac{13}{6}π(\mathrm{cm})$,$\therefore$ 点F所经过的路径长为$\frac{13}{6}π\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要确定点F的运动路径长，首先需判断点F的轨迹：由CF⊥BE可得△BFC是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质，点F在以BC中点为圆心、BC一半为半径的圆上；再结合旋转时的角度，利用弧长公式计算路径长度。
【解析】
1. 取BC的中点O，连接OF。因为CF⊥BE，所以∠BFC=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OF=OB=OC=$\frac{1}{2}BC$=3 cm，因此点F在以O为圆心、3 cm为半径的圆上运动。
2. 当点E、B、A在同一直线上时，∠ABC=115°，故∠EBC=180°−115°=65°。
3. 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠COF=2∠EBC=130°。
4. 根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，代入n=130，r=3，得$l=\frac{130×π×3}{180}=\frac{13}{6}π$ cm，即点F经过的路径长为$\frac{13}{6}π$ cm。
【答案】
$\frac{13}{6}π$
【知识点】
直角三角形性质、弧长计算、旋转性质
【点评】
本题结合直角三角形性质判断点的轨迹，利用圆周角定理确定圆心角，再通过弧长公式计算路径，需掌握相关几何定理的综合应用。
【难度系数】
0.5
要确定点F的运动路径长，首先需判断点F的轨迹：由CF⊥BE可得△BFC是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质，点F在以BC中点为圆心、BC一半为半径的圆上；再结合旋转时的角度，利用弧长公式计算路径长度。
【解析】
1. 取BC的中点O，连接OF。因为CF⊥BE，所以∠BFC=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OF=OB=OC=$\frac{1}{2}BC$=3 cm，因此点F在以O为圆心、3 cm为半径的圆上运动。
2. 当点E、B、A在同一直线上时，∠ABC=115°，故∠EBC=180°−115°=65°。
3. 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠COF=2∠EBC=130°。
4. 根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，代入n=130，r=3，得$l=\frac{130×π×3}{180}=\frac{13}{6}π$ cm，即点F经过的路径长为$\frac{13}{6}π$ cm。
【答案】
$\frac{13}{6}π$
【知识点】
直角三角形性质、弧长计算、旋转性质
【点评】
本题结合直角三角形性质判断点的轨迹，利用圆周角定理确定圆心角，再通过弧长公式计算路径，需掌握相关几何定理的综合应用。
【难度系数】
0.5
15. 新趋势 尺规作图 如图①,$AB$是$\odot O$的弦，$AB=2$，$∠ AOB=60°$，$P$是优弧$AB$上的一个动点(不与点$A$和点$B$重合)，$PA$，$PB$，$\overset{\frown}{AB}$组成了一个新图形(记为“图形$P-\overset{\frown}{AB}$”，即图①中阴影部分)，设点$P$到直线$AB$的距离为$x$，图形$P-\overset{\frown}{AB}$的面积为$y$.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)记扇形$OAB$的面积为$S_{\mathrm{扇形}OAB}$，当$y=S_{\mathrm{扇形}OAB}$时.
①在图②中，作出一个满足条件的点$P$；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
②在第①题所作图中，连接$PA$，$PB$，再画一条线段，将图形$P-\overset{\frown}{AB}$分成面积相等的两部分.(画图工具不限，写出必要的文字说明)
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)记扇形$OAB$的面积为$S_{\mathrm{扇形}OAB}$，当$y=S_{\mathrm{扇形}OAB}$时.
①在图②中，作出一个满足条件的点$P$；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
②在第①题所作图中，连接$PA$，$PB$，再画一条线段，将图形$P-\overset{\frown}{AB}$分成面积相等的两部分.(画图工具不限，写出必要的文字说明)
答案
(1)$\because$ 在$\odot O$中,$OA=OB$,$∠ AOB=60°$,$AB=2$,$\therefore △ OAB$是等边三角形,$OA=OB=AB=2$.如图①,过点O作$OC⊥ AB$,垂足为C,则$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}× 2=1$.在$\mathrm{Rt}△ OAC$中,$∠ OCA=90°$,$OA=2$,$AC=1$.根据勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,$\therefore S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}× 2× \sqrt{3}=\sqrt{3}$.又$\because ∠ AOB=60°$,$△ OAB$是等边三角形且边长是2,$\therefore S_{扇形OAB}=\frac{60}{360}× π × 2^2=\frac{2}{3}π$.又$\because$ 点P到直线AB的距离为x,$AB=2$,$\therefore S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB· x=\frac{1}{2}× 2· x=x$,$\therefore$ 图中的阴影部分的面积$y=S_{△ PAB}+S_{扇形OAB}-S_{△ OAB}=x+\frac{2}{3}π-\sqrt{3}$,自变量x的取值范围是$0＜x≤ 2+\sqrt{3}$.
(2)①如图②所示,点$P_1$(或$P_2$)即为所求(作出其中一种情形即可).
②以点$P_1$的情况为例,点$P_2$的情况同理.如图③所示,作$OC⊥ AB$,C为垂足,延长OC交$\odot O$于点D.连接$P_1D$,过点A作$AE// P_1D$,交$BP_1$的延长线于点E.取BE的中点M,连接MD,则线段DM即为所求.
难点突破 要用线段将不规则图形面积平分,则应分块处理,本题中连接AD,BD,则图形被拆分为四边形$ADBP_1$和两个面积相等的不规则图形,之后只需寻找经过点D且能平分四边形$ADBP_1$面积的线段即可。
在平分四边形$ADBP_1$面积时使用的是转化思想,连接ED,以$P_1D$为底边,利用平行线间距离处处相等,将四边形$ADMP_1$的面积转化为$△ EDM$的面积,最后利用中线实现面积平分。
解析
【分析】
要解决本题，首先利用圆的性质确定△OAB的形状，计算相关图形面积推导函数关系；对于面积平分问题，需将不规则图形转化为规则图形的面积平分，结合平行线、中点等性质构造线段。步骤如下：
1. 由OA=OB，∠AOB=60°，得△OAB为等边三角形，求出其边长、面积及扇形OAB的面积；
2. 图形P-弧AB的面积可表示为△PAB面积加扇形OAB面积减去△OAB面积，结合点P到AB的距离x，得到函数表达式，再确定x的取值范围；
3. 令y等于扇形OAB面积，求出x的值，据此用尺规作图找到符合条件的点P；
4. 将不规则图形面积平分转化为四边形面积平分，利用平行线间距离相等、中线平分面积的性质构造平分线段。
【解析】
(1)
∵ 在⊙O中，OA=OB，∠AOB=60°，AB=2，
∴ △OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2。
过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC=1，
在Rt△OAC中，OC=√(OA² - AC²)=√(2² - 1²)=√3，
∴ S△OAB=1/2×AB×OC=1/2×2×√3=√3，
S扇形OAB=60°/360°×π×2²=2π/3。
又
∵ 点P到直线AB的距离为x，
∴ S△PAB=1/2×AB×x=x，
∴ 图形P-弧AB的面积y=S△PAB + S扇形OAB - S△OAB = x + 2π/3 - √3。
∵ P在优弧AB上，到AB的最大距离为OC + 半径=√3 + 2，
∴ 自变量x的取值范围是0 ＜ x ≤ 2 + √3。
(2)① 令y=S扇形OAB，即x + 2π/3 - √3 = 2π/3，解得x=√3，据此在优弧AB上作出到AB距离为√3的点P1（或P2），保留尺规作图痕迹。
② 以P1为例，作OC⊥AB，延长OC交⊙O于点D，连接P1D，过点A作AE//P1D，交BP1的延长线于点E，取BE的中点M，连接MD，则线段MD即为所求（利用平行线间距离相等，结合中线平分面积的性质）。
【答案】
(1) y = x + (2π/3) - √3，自变量x的取值范围是0 ＜ x ≤ 2 + √3；
(2)① 图②中P1（或P2）为所求；② 线段MD（作法见解析）。
【知识点】
等边三角形性质、扇形面积计算、面积平分。
【点评】
本题结合圆的性质，考查面积转化计算、尺规作图及面积平分的转化思想，综合性较强，体现了数形结合的数学思想，需熟练掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先利用圆的性质确定△OAB的形状，计算相关图形面积推导函数关系；对于面积平分问题，需将不规则图形转化为规则图形的面积平分，结合平行线、中点等性质构造线段。步骤如下：
1. 由OA=OB，∠AOB=60°，得△OAB为等边三角形，求出其边长、面积及扇形OAB的面积；
2. 图形P-弧AB的面积可表示为△PAB面积加扇形OAB面积减去△OAB面积，结合点P到AB的距离x，得到函数表达式，再确定x的取值范围；
3. 令y等于扇形OAB面积，求出x的值，据此用尺规作图找到符合条件的点P；
4. 将不规则图形面积平分转化为四边形面积平分，利用平行线间距离相等、中线平分面积的性质构造平分线段。
【解析】
(1)
∵ 在⊙O中，OA=OB，∠AOB=60°，AB=2，
∴ △OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2。
过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC=1，
在Rt△OAC中，OC=√(OA² - AC²)=√(2² - 1²)=√3，
∴ S△OAB=1/2×AB×OC=1/2×2×√3=√3，
S扇形OAB=60°/360°×π×2²=2π/3。
又
∵ 点P到直线AB的距离为x，
∴ S△PAB=1/2×AB×x=x，
∴ 图形P-弧AB的面积y=S△PAB + S扇形OAB - S△OAB = x + 2π/3 - √3。
∵ P在优弧AB上，到AB的最大距离为OC + 半径=√3 + 2，
∴ 自变量x的取值范围是0 ＜ x ≤ 2 + √3。
(2)① 令y=S扇形OAB，即x + 2π/3 - √3 = 2π/3，解得x=√3，据此在优弧AB上作出到AB距离为√3的点P1（或P2），保留尺规作图痕迹。
② 以P1为例，作OC⊥AB，延长OC交⊙O于点D，连接P1D，过点A作AE//P1D，交BP1的延长线于点E，取BE的中点M，连接MD，则线段MD即为所求（利用平行线间距离相等，结合中线平分面积的性质）。
【答案】
(1) y = x + (2π/3) - √3，自变量x的取值范围是0 ＜ x ≤ 2 + √3；
(2)① 图②中P1（或P2）为所求；② 线段MD（作法见解析）。
【知识点】
等边三角形性质、扇形面积计算、面积平分。
【点评】
本题结合圆的性质，考查面积转化计算、尺规作图及面积平分的转化思想，综合性较强，体现了数形结合的数学思想，需熟练掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.4
