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1. (2025·东营中考)小华用铁皮制作一个烟囱帽,烟囱帽的三视图如图所示,已知主视图和左视图均为边长是10 cm的等边三角形,则所需铁皮面积(接缝面积忽略不计)为 （
A.$50\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$50π\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$100\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$100π\ \mathrm{cm^{2}}$
B
）A.$50\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$50π\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$100\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$100π\ \mathrm{cm^{2}}$
答案
解析:所需铁皮面积为 $π×\dfrac{10}{2}×10=50π( \mathrm{cm}^2 )$,故选 B.
解析
【分析】首先根据三视图判断该烟囱帽为圆锥，主视图和左视图是边长为10cm的等边三角形，由此可知圆锥的母线长等于等边三角形的边长（10cm），且等边三角形的边长等于圆锥底面的直径，进而可求出底面半径；所需铁皮面积即圆锥的侧面积，需用圆锥侧面积公式计算。
【解析】由三视图可知，该烟囱帽是圆锥，圆锥的母线长$ l = 10\ \mathrm{cm} $；因为主视图为边长10cm的等边三角形，所以圆锥底面直径等于等边三角形的边长，即底面直径为10cm，底面半径$ r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm} $。根据圆锥侧面积公式$ S = π r l $，代入数值计算得：$ S = π × 5 × 10 = 50π\ (\mathrm{cm}^2) $。
【答案】B
【知识点】圆锥侧面积计算、三视图
【点评】本题结合三视图考查圆锥侧面积的计算，属于基础题型，解题核心是通过三视图确定圆锥的母线长和底面半径，进而套用公式求解。
【难度系数】0.6
【解析】由三视图可知，该烟囱帽是圆锥，圆锥的母线长$ l = 10\ \mathrm{cm} $；因为主视图为边长10cm的等边三角形，所以圆锥底面直径等于等边三角形的边长，即底面直径为10cm，底面半径$ r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm} $。根据圆锥侧面积公式$ S = π r l $，代入数值计算得：$ S = π × 5 × 10 = 50π\ (\mathrm{cm}^2) $。
【答案】B
【知识点】圆锥侧面积计算、三视图
【点评】本题结合三视图考查圆锥侧面积的计算，属于基础题型，解题核心是通过三视图确定圆锥的母线长和底面半径，进而套用公式求解。
【难度系数】0.6
2. (2025·绵阳期末)如图,蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为 $25π\ \mathrm{m}^2$,圆柱高为 $3\ \mathrm{m}$,圆锥高为$2\ \mathrm{m}$的蒙古包,则需要毛毡的面积是 （
A.$(30+5\sqrt{29})\ π\ \mathrm{m}^2$
B.$40π\ \mathrm{m}^2$
C.$(30+5\sqrt{21})\ π\ \mathrm{m}^2$
D.$55π\ \mathrm{m}^2$
A
）A.$(30+5\sqrt{29})\ π\ \mathrm{m}^2$
B.$40π\ \mathrm{m}^2$
C.$(30+5\sqrt{21})\ π\ \mathrm{m}^2$
D.$55π\ \mathrm{m}^2$
答案
解析:设底面圆的半径为 $R$ m,则 $π R^2 = 25π$,解得 $R=5$,圆锥的母线长 $= \sqrt{2^2+5^2} = \sqrt{29}\ (\mathrm{m}),\therefore$ 圆锥的侧面积 $=\dfrac{1}{2}×2π×5×\sqrt{29}=5\sqrt{29}π( \mathrm{m}^2 )$;圆柱的侧面积 $=2π×5×3=30π( \mathrm{m}^2 ),\therefore$ 需要毛毡的面积 $=(30+5\sqrt{29})π\ \mathrm{m}^2$.故选 A.
解析
【分析】
要计算搭建蒙古包所需毛毡的面积，需明确毛毡仅覆盖圆柱的侧面和圆锥的侧面（底面与地面接触，无需毛毡）。解题思路为：①根据底面圆面积求出底面半径；②利用勾股定理计算圆锥的母线长；③分别计算圆柱侧面积和圆锥侧面积，将两者相加得到总面积，最终对应选项选出答案。
【解析】
设底面圆的半径为$ R \, \mathrm{m} $，
1. 由底面圆面积为$ 25π \, \mathrm{m}^2 $，根据圆的面积公式$ S = π R^2 $，可得：
$ π R^2 = 25π $，解得$ R = 5 \, \mathrm{m} $（半径为正数，舍去负解）。
2. 计算圆锥的母线长：圆锥的高为$ 2 \, \mathrm{m} $，底面半径为$ 5 \, \mathrm{m} $，根据勾股定理，圆锥母线长$ l = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \, \mathrm{m} $。
3. 计算圆锥侧面积：圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{锥侧}} = π R l $，代入得：
$ S_{\mathrm{锥侧}} = π × 5 × \sqrt{29} = 5\sqrt{29}π \, \mathrm{m}^2 $。
4. 计算圆柱侧面积：圆柱侧面积公式为$ S_{\mathrm{柱侧}} = 2π R h $（$ h $为圆柱高），代入$ R=5 $，$ h=3 $得：
$ S_{\mathrm{柱侧}} = 2π × 5 × 3 = 30π \, \mathrm{m}^2 $。
5. 总面积为圆柱侧面积加圆锥侧面积：$ 30π + 5\sqrt{29}π = (30 + 5\sqrt{29})π \, \mathrm{m}^2 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱侧面积、圆锥侧面积、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查几何体侧面积的计算，核心是明确毛毡覆盖的部分为圆柱和圆锥的侧面，无需计算底面面积，需熟练掌握圆柱、圆锥侧面积公式及勾股定理的应用，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要计算搭建蒙古包所需毛毡的面积，需明确毛毡仅覆盖圆柱的侧面和圆锥的侧面（底面与地面接触，无需毛毡）。解题思路为：①根据底面圆面积求出底面半径；②利用勾股定理计算圆锥的母线长；③分别计算圆柱侧面积和圆锥侧面积，将两者相加得到总面积，最终对应选项选出答案。
【解析】
设底面圆的半径为$ R \, \mathrm{m} $，
1. 由底面圆面积为$ 25π \, \mathrm{m}^2 $，根据圆的面积公式$ S = π R^2 $，可得：
$ π R^2 = 25π $，解得$ R = 5 \, \mathrm{m} $（半径为正数，舍去负解）。
2. 计算圆锥的母线长：圆锥的高为$ 2 \, \mathrm{m} $，底面半径为$ 5 \, \mathrm{m} $，根据勾股定理，圆锥母线长$ l = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \, \mathrm{m} $。
3. 计算圆锥侧面积：圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{锥侧}} = π R l $，代入得：
$ S_{\mathrm{锥侧}} = π × 5 × \sqrt{29} = 5\sqrt{29}π \, \mathrm{m}^2 $。
4. 计算圆柱侧面积：圆柱侧面积公式为$ S_{\mathrm{柱侧}} = 2π R h $（$ h $为圆柱高），代入$ R=5 $，$ h=3 $得：
$ S_{\mathrm{柱侧}} = 2π × 5 × 3 = 30π \, \mathrm{m}^2 $。
5. 总面积为圆柱侧面积加圆锥侧面积：$ 30π + 5\sqrt{29}π = (30 + 5\sqrt{29})π \, \mathrm{m}^2 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱侧面积、圆锥侧面积、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查几何体侧面积的计算，核心是明确毛毡覆盖的部分为圆柱和圆锥的侧面，无需计算底面面积，需熟练掌握圆柱、圆锥侧面积公式及勾股定理的应用，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
3. (1) (2025·盐城中考)已知圆锥的侧面积为$15π$, 母线长为 5, 则圆锥的底面半径是
(2) (绥化中考)用一个圆心角为$126°$,半径为10 cm 的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为
(3) 将一个高为$\sqrt{3}\ {cm}$的圆锥展开后,其侧面是一个半径为 2 cm 的扇形,则该圆锥侧面展开图圆心角的度数为
(4) (徐州中考)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为$4π\ {cm^{2}}$,圆心角$θ$为$90°$,圆锥的底面圆的半径为
3
.(2) (绥化中考)用一个圆心角为$126°$,半径为10 cm 的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为
$\dfrac{7}{2}$
cm.(3) 将一个高为$\sqrt{3}\ {cm}$的圆锥展开后,其侧面是一个半径为 2 cm 的扇形,则该圆锥侧面展开图圆心角的度数为
180
$°$.(4) (徐州中考)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为$4π\ {cm^{2}}$,圆心角$θ$为$90°$,圆锥的底面圆的半径为
1 cm
.答案
3. (1)3 解析:$\because S_{\mathrm{侧}}=π r l,\therefore 15π=5π r,\therefore r=3$.
(2)$\dfrac{7}{2}$ 解析:设这个圆锥的底面圆的半径为 $R$ cm,由题意得$\dfrac{126}{180}×10×π=2π R$,解得 $R=\dfrac{7}{2}$.
(3)180 解析:由勾股定理可得 $h^2 + r^2 = l^2$.,底面半径 $r=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$,再由 $r=\dfrac{θ}{360°}l$,即 $1=\dfrac{θ}{360°}×2$,得展开图圆心角的度数为 $180°$.
(4)1 cm 解析:设扇形的半径为 $R$ cm,弧长为 $l$ cm,由题意得$\dfrac{90π× R^2}{360}=4π$,解得 $R=4$(负值舍去),则 $\dfrac{1}{2}l×4=4π$,解得 $l=2π,\therefore$ 圆锥的底面圆的半径为 $2π÷(2π)=1(\mathrm{cm})$.
技法点拨 圆锥的侧面积的相关计算利用的是以下三个等式:$S_{\mathrm{侧}}=π r l$;$r=\dfrac{θ}{360°}l$;$h^2 + r^2 = l^2$.
①当题目出现“侧面积 $S_{\mathrm{侧}}$”时,用 $S_{\mathrm{侧}}=π r l$;
②当题目出现“扇形圆心角 $θ$”时,用 $r=\dfrac{θ}{360°}l$.
③当题目出现“圆锥的高 $h$”时,用 $h^2 + r^2 = l^2$.
注:(3)中同时出现了“扇形母线长 $l$”和“圆锥的高 $h$”,(4)中同时出现了“侧面积 $S_{\mathrm{侧}}$”和“扇形圆心角 $θ$”,则都使用两个公式.
(2)$\dfrac{7}{2}$ 解析:设这个圆锥的底面圆的半径为 $R$ cm,由题意得$\dfrac{126}{180}×10×π=2π R$,解得 $R=\dfrac{7}{2}$.
(3)180 解析:由勾股定理可得 $h^2 + r^2 = l^2$.,底面半径 $r=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$,再由 $r=\dfrac{θ}{360°}l$,即 $1=\dfrac{θ}{360°}×2$,得展开图圆心角的度数为 $180°$.
(4)1 cm 解析:设扇形的半径为 $R$ cm,弧长为 $l$ cm,由题意得$\dfrac{90π× R^2}{360}=4π$,解得 $R=4$(负值舍去),则 $\dfrac{1}{2}l×4=4π$,解得 $l=2π,\therefore$ 圆锥的底面圆的半径为 $2π÷(2π)=1(\mathrm{cm})$.
技法点拨 圆锥的侧面积的相关计算利用的是以下三个等式:$S_{\mathrm{侧}}=π r l$;$r=\dfrac{θ}{360°}l$;$h^2 + r^2 = l^2$.
①当题目出现“侧面积 $S_{\mathrm{侧}}$”时,用 $S_{\mathrm{侧}}=π r l$;
②当题目出现“扇形圆心角 $θ$”时,用 $r=\dfrac{θ}{360°}l$.
③当题目出现“圆锥的高 $h$”时,用 $h^2 + r^2 = l^2$.
注:(3)中同时出现了“扇形母线长 $l$”和“圆锥的高 $h$”,(4)中同时出现了“侧面积 $S_{\mathrm{侧}}$”和“扇形圆心角 $θ$”,则都使用两个公式.
解析
【分析】
本题考查圆锥的相关计算，需明确圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；同时牢记圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）、圆心角与半径的关系$r=\frac{θ}{360°}l$，以及母线、高、底面半径满足勾股定理$h^2 + r^2 = l^2$，结合各小问给出的条件，选择对应公式计算即可。
【解析】
(1) 已知圆锥侧面积$S_{侧}=15π$，母线长$l=5$，根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，代入得$15π=5πr$，两边同除以$5π$，解得$r=3$；
(2) 设圆锥底面圆半径为$R$，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形弧长公式为$\frac{nπR_{扇}}{180}$（$n$为圆心角度数，$R_{扇}$为扇形半径），则$\frac{126×π×10}{180}=2πR$，化简得$7π=2πR$，两边同除以$2π$，解得$R=\frac{7}{2}$；
(3) 圆锥的母线长等于侧面展开图扇形半径，即$l=2cm$，高$h=\sqrt{3}cm$，由勾股定理$h^2 + r^2 = l^2$，得底面半径$r=\sqrt{l^2 - h^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1cm$；再根据$r=\frac{θ}{360°}l$，代入$r=1$，$l=2$，得$1=\frac{θ}{360°}×2$，解得$θ=180°$；
(4) 设扇形半径（即圆锥母线长）为$R$，扇形面积公式为$\frac{θπR^2}{360}$，已知扇形面积$4π$，圆心角$θ=90°$，则$\frac{90×π×R^2}{360}=4π$，化简得$\frac{πR^2}{4}=4π$，两边同除以$π$得$R^2=16$，解得$R=4$（半径为正，舍去负根）；扇形弧长$l=\frac{θπR}{180}=\frac{90×π×4}{180}=2π$，该弧长等于圆锥底面周长，即$2πr=2π$，解得$r=1cm$。
【答案】(1)3；(2)$\frac{7}{2}$；(3)180；(4)1 cm
【知识点】圆锥侧面积计算、扇形弧长与圆锥底面周长关系、勾股定理（圆锥相关）
【点评】本题为中考基础题型，围绕圆锥侧面展开图与圆锥各元素的对应关系展开，核心是掌握圆锥与扇形的联系及相关公式，需灵活运用公式解决不同条件下的计算问题，难度适中。
【难度系数】0.5
本题考查圆锥的相关计算，需明确圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；同时牢记圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）、圆心角与半径的关系$r=\frac{θ}{360°}l$，以及母线、高、底面半径满足勾股定理$h^2 + r^2 = l^2$，结合各小问给出的条件，选择对应公式计算即可。
【解析】
(1) 已知圆锥侧面积$S_{侧}=15π$，母线长$l=5$，根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，代入得$15π=5πr$，两边同除以$5π$，解得$r=3$；
(2) 设圆锥底面圆半径为$R$，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形弧长公式为$\frac{nπR_{扇}}{180}$（$n$为圆心角度数，$R_{扇}$为扇形半径），则$\frac{126×π×10}{180}=2πR$，化简得$7π=2πR$，两边同除以$2π$，解得$R=\frac{7}{2}$；
(3) 圆锥的母线长等于侧面展开图扇形半径，即$l=2cm$，高$h=\sqrt{3}cm$，由勾股定理$h^2 + r^2 = l^2$，得底面半径$r=\sqrt{l^2 - h^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1cm$；再根据$r=\frac{θ}{360°}l$，代入$r=1$，$l=2$，得$1=\frac{θ}{360°}×2$，解得$θ=180°$；
(4) 设扇形半径（即圆锥母线长）为$R$，扇形面积公式为$\frac{θπR^2}{360}$，已知扇形面积$4π$，圆心角$θ=90°$，则$\frac{90×π×R^2}{360}=4π$，化简得$\frac{πR^2}{4}=4π$，两边同除以$π$得$R^2=16$，解得$R=4$（半径为正，舍去负根）；扇形弧长$l=\frac{θπR}{180}=\frac{90×π×4}{180}=2π$，该弧长等于圆锥底面周长，即$2πr=2π$，解得$r=1cm$。
【答案】(1)3；(2)$\frac{7}{2}$；(3)180；(4)1 cm
【知识点】圆锥侧面积计算、扇形弧长与圆锥底面周长关系、勾股定理（圆锥相关）
【点评】本题为中考基础题型，围绕圆锥侧面展开图与圆锥各元素的对应关系展开，核心是掌握圆锥与扇形的联系及相关公式，需灵活运用公式解决不同条件下的计算问题，难度适中。
【难度系数】0.5
4. (嘉兴中考)如图,在半径为$\sqrt{2}$的圆形纸片中,剪一个圆心角为$90°$的最大扇形(阴影部分),则这个扇形的面积为
$π$
;若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头),则圆锥的底面半径为$\dfrac{1}{2}$
.答案
$π$ $\dfrac{1}{2}$ 解析:如图,连接 $BC$,根据题意得 $AB=AC$, $∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ ACB=45°$,$BC$ 为直径,$\therefore BC=2\sqrt{2}$,$\therefore AB=2$,$\therefore$ 扇形的面积为 $\dfrac{90π×2^2}{360}=π$. 设圆锥的底面半径为 $r$.$\because$ 这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 $90°$,半径为 $2$,$\therefore \dfrac{90π×2}{180}=2π r$,解得 $r=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需确定扇形的半径：连接BC，由扇形圆心角为90°可知△ABC是等腰直角三角形，BC为圆的直径，据此求出扇形半径；再利用扇形面积公式计算扇形面积；最后根据扇形弧长等于圆锥底面周长，求出圆锥底面半径。
【解析】
解：连接BC，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC，
∴ △ABC是等腰直角三角形，BC为圆的直径，
∴ BC=2×√2=2√2。
由勾股定理得：AB² + AC² = BC²，又AB=AC，
∴ 2AB²=(2√2)²=8，解得AB=2。
1. 计算扇形面积：
扇形面积公式为 $ S = \frac{nπ R^2}{360} $（n为圆心角度数，R为扇形半径），
代入n=90°，R=2，得 $ S = \frac{90π × 2^2}{360} = π $。
2. 计算圆锥底面半径：
扇形弧长公式为 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入得弧长 $ l = \frac{90π × 2}{180} = π $。
设圆锥底面半径为r，圆锥底面周长等于扇形弧长，即 $ 2π r = π $，
解得 $ r = \frac{1}{2} $。
【答案】
π $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥底面半径，圆的性质
【点评】
本题结合圆的性质、扇形面积公式与圆锥的弧长周长关系，考查几何计算能力，关键是先通过等腰直角三角形求出扇形半径，再利用弧长与周长的等量关系求解，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需确定扇形的半径：连接BC，由扇形圆心角为90°可知△ABC是等腰直角三角形，BC为圆的直径，据此求出扇形半径；再利用扇形面积公式计算扇形面积；最后根据扇形弧长等于圆锥底面周长，求出圆锥底面半径。
【解析】
解：连接BC，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC，
∴ △ABC是等腰直角三角形，BC为圆的直径，
∴ BC=2×√2=2√2。
由勾股定理得：AB² + AC² = BC²，又AB=AC，
∴ 2AB²=(2√2)²=8，解得AB=2。
1. 计算扇形面积：
扇形面积公式为 $ S = \frac{nπ R^2}{360} $（n为圆心角度数，R为扇形半径），
代入n=90°，R=2，得 $ S = \frac{90π × 2^2}{360} = π $。
2. 计算圆锥底面半径：
扇形弧长公式为 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入得弧长 $ l = \frac{90π × 2}{180} = π $。
设圆锥底面半径为r，圆锥底面周长等于扇形弧长，即 $ 2π r = π $，
解得 $ r = \frac{1}{2} $。
【答案】
π $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥底面半径，圆的性质
【点评】
本题结合圆的性质、扇形面积公式与圆锥的弧长周长关系，考查几何计算能力，关键是先通过等腰直角三角形求出扇形半径，再利用弧长与周长的等量关系求解，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
5. (2026·安阳校级月考) 如图①,在等腰三角形 ABC 中,$∠ BAC=120°$,AD 是$∠ BAC$的平分线,且$AD=6$,以点 A 为圆心,AD 长为半径画$\overset{\frown}{EF}$,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F.
(1)求由$\overset{\frown}{EF}$及线段 FC,CB,BE 围成图形(图中阴影部分)的面积;
(2)将阴影部分剪掉,余下扇形 AEF,将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面,AE 与 AF 正好重合,圆锥侧面无重叠(如图②),求这个圆锥的高 h.
(1)求由$\overset{\frown}{EF}$及线段 FC,CB,BE 围成图形(图中阴影部分)的面积;
(2)将阴影部分剪掉,余下扇形 AEF,将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面,AE 与 AF 正好重合,圆锥侧面无重叠(如图②),求这个圆锥的高 h.
答案
(1)$\because$ 在等腰三角形 $ABC$ 中,$∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ B=30°$.
$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线,$\therefore AD⊥ BC$,$BD=CD$.$\because AD=6$,
$\therefore AB=12$,$\therefore$ 由勾股定理得 $BD=6\sqrt{3}$,$\therefore BC=2BD=12\sqrt{3}$,
$\therefore$ 由 $\overset{\frown}{EF}$ 及线段 $FC$,$CB$,$BE$ 围成图形(图中阴影部分)的面积 $=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\dfrac{1}{2}×6×12\sqrt{3}-\dfrac{120π×6^2}{360}=36\sqrt{3}-12π$.
(2)设圆锥的底面圆的半径为 $r$,根据题意得 $2π r=\dfrac{120π×6}{180}$,解得 $r=2$,因此这个圆锥的高 $h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线,$\therefore AD⊥ BC$,$BD=CD$.$\because AD=6$,
$\therefore AB=12$,$\therefore$ 由勾股定理得 $BD=6\sqrt{3}$,$\therefore BC=2BD=12\sqrt{3}$,
$\therefore$ 由 $\overset{\frown}{EF}$ 及线段 $FC$,$CB$,$BE$ 围成图形(图中阴影部分)的面积 $=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\dfrac{1}{2}×6×12\sqrt{3}-\dfrac{120π×6^2}{360}=36\sqrt{3}-12π$.
(2)设圆锥的底面圆的半径为 $r$,根据题意得 $2π r=\dfrac{120π×6}{180}$,解得 $r=2$,因此这个圆锥的高 $h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
第(1)问，阴影部分面积可通过“等腰△ABC的面积减去扇形AEF的面积”计算，需先利用等腰三角形角平分线的性质（三线合一）求出△ABC的底和高，进而计算其面积；再根据扇形面积公式算出扇形AEF的面积，两者作差得到结果。第(2)问，扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先通过弧长公式求出弧长，得到圆锥底面半径，再利用圆锥母线、底面半径与高构成的直角三角形，结合勾股定理求出高。
【解析】
(1) 在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，故AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=60°。在Rt△ABD中，AD=6，∠B=30°，则AB=2AD=12，由勾股定理得BD=√(AB² - AD²)=√(12² -6²)=6√3，因此BC=2BD=12√3。△ABC的面积为$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×12√3×6=36√3$。扇形AEF的圆心角为120°，半径为AD=6，其面积为$\frac{120π×6^2}{360}=12π$。所以阴影部分面积为$S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=36√3 -12π$。
(2) 设圆锥底面圆的半径为r，扇形AEF的弧长为$\frac{120π×6}{180}=4π$，该弧长等于圆锥底面周长，故$2πr=4π$，解得r=2。圆锥的母线长为AE=6，由勾股定理得圆锥的高$h=\sqrt{6^2 -2^2}=\sqrt{32}=4√2$。
【答案】
(1)$36\sqrt{3}-12π$；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质、扇形面积计算、圆锥侧面展开图
【点评】
本题综合考查等腰三角形、扇形及圆锥的相关知识，需熟练运用对应公式，关键是理解扇形弧长与圆锥底面周长的关系，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
第(1)问，阴影部分面积可通过“等腰△ABC的面积减去扇形AEF的面积”计算，需先利用等腰三角形角平分线的性质（三线合一）求出△ABC的底和高，进而计算其面积；再根据扇形面积公式算出扇形AEF的面积，两者作差得到结果。第(2)问，扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先通过弧长公式求出弧长，得到圆锥底面半径，再利用圆锥母线、底面半径与高构成的直角三角形，结合勾股定理求出高。
【解析】
(1) 在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，故AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=60°。在Rt△ABD中，AD=6，∠B=30°，则AB=2AD=12，由勾股定理得BD=√(AB² - AD²)=√(12² -6²)=6√3，因此BC=2BD=12√3。△ABC的面积为$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×12√3×6=36√3$。扇形AEF的圆心角为120°，半径为AD=6，其面积为$\frac{120π×6^2}{360}=12π$。所以阴影部分面积为$S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=36√3 -12π$。
(2) 设圆锥底面圆的半径为r，扇形AEF的弧长为$\frac{120π×6}{180}=4π$，该弧长等于圆锥底面周长，故$2πr=4π$，解得r=2。圆锥的母线长为AE=6，由勾股定理得圆锥的高$h=\sqrt{6^2 -2^2}=\sqrt{32}=4√2$。
【答案】
(1)$36\sqrt{3}-12π$；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质、扇形面积计算、圆锥侧面展开图
【点评】
本题综合考查等腰三角形、扇形及圆锥的相关知识，需熟练运用对应公式，关键是理解扇形弧长与圆锥底面周长的关系，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
