登录
7. 实验学校的花坛形状如图所示,其中,等圆$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$的半径为3米,且$\odot O_{1}$经过$\odot O_{2}$的圆心$O_{2}$.已知实线部分为此花坛的周长,则花坛的周长为（
A.$4π$米
B.$6π$米
C.$8π$米
D.$12π$米
C
）A.$4π$米
B.$6π$米
C.$8π$米
D.$12π$米
答案
C 解析:如图,连接$AO_1,AO_2,BO_1,BO_2,O_1O_2$,$\because$ 等圆$\odot O_1$与$\odot O_2$的半径为3米,$\odot O_1$经过$\odot O_2$的圆心$O_2$,$\therefore AO_1=AO_2=BO_1=BO_2=O_1O_2=3$米,$\therefore △ AO_1O_2$和$△ BO_1O_2$是等边三角形,$\therefore ∠ AO_1O_2=∠ AO_2O_1=∠ BO_1O_2=∠ BO_2O_1=60°$,$\therefore$ 优弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数是$360°-60°-60°=240°$,$\therefore$ 花坛的周长为$2× \frac{240π × 3}{180}=8π$(米),故选 C.
解析
【分析】
要计算花坛的周长，首先明确花坛的周长是两个等圆上的优弧AB的长度之和。需先求出每个优弧AB对应的圆心角：因为两圆为等圆，半径均为3，且⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂，所以两圆心距离等于半径，连接交点与两圆心后可得到等边三角形，进而算出圆心角，再用弧长公式计算每个优弧的长度，相加得到总周长。
【解析】
解：连接$AO_1$、$AO_2$、$BO_1$、$BO_2$、$O_1O_2$，
∵ 等圆$\odot O_1$与$\odot O_2$的半径为3米，且$\odot O_1$经过$\odot O_2$的圆心$O_2$，
∴ $AO_1 = AO_2 = BO_1 = BO_2 = O_1O_2 = 3$米，
∴ $△ AO_1O_2$和$△ BO_1O_2$都是等边三角形，
∴ $∠ AO_1O_2 = ∠ BO_1O_2 = 60°$，
∴ 每个圆中，优弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为 $360° - 60° - 60° = 240°$，
根据弧长公式 $l = \frac{nπ r}{180}$，得单个优弧$\overset{\frown}{AB}$的长度为：
$\frac{240 × π × 3}{180} = 4π$（米），
花坛的周长为两个优弧的长度之和：$4π × 2 = 8π$（米），
故选 C。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式，等边三角形判定，圆的基本性质
【点评】
本题结合两等圆的相交图形考查弧长计算，关键是利用两圆半径相等的性质构造等边三角形，求出优弧对应的圆心角，再代入弧长公式计算，是圆章节的常规基础题，需熟练掌握弧长公式和等边三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
要计算花坛的周长，首先明确花坛的周长是两个等圆上的优弧AB的长度之和。需先求出每个优弧AB对应的圆心角：因为两圆为等圆，半径均为3，且⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂，所以两圆心距离等于半径，连接交点与两圆心后可得到等边三角形，进而算出圆心角，再用弧长公式计算每个优弧的长度，相加得到总周长。
【解析】
解：连接$AO_1$、$AO_2$、$BO_1$、$BO_2$、$O_1O_2$，
∵ 等圆$\odot O_1$与$\odot O_2$的半径为3米，且$\odot O_1$经过$\odot O_2$的圆心$O_2$，
∴ $AO_1 = AO_2 = BO_1 = BO_2 = O_1O_2 = 3$米，
∴ $△ AO_1O_2$和$△ BO_1O_2$都是等边三角形，
∴ $∠ AO_1O_2 = ∠ BO_1O_2 = 60°$，
∴ 每个圆中，优弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为 $360° - 60° - 60° = 240°$，
根据弧长公式 $l = \frac{nπ r}{180}$，得单个优弧$\overset{\frown}{AB}$的长度为：
$\frac{240 × π × 3}{180} = 4π$（米），
花坛的周长为两个优弧的长度之和：$4π × 2 = 8π$（米），
故选 C。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式，等边三角形判定，圆的基本性质
【点评】
本题结合两等圆的相交图形考查弧长计算，关键是利用两圆半径相等的性质构造等边三角形，求出优弧对应的圆心角，再代入弧长公式计算，是圆章节的常规基础题，需熟练掌握弧长公式和等边三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
8. (娄底中考) 如图,正六边形 $ABCDEF$ 的外接圆$\odot O$ 的半径为 2,过圆心 $O$ 的两条直线 $l_1,l_2$的夹角为 $60°$,则图中的阴影部分的面积为
（
A.$\dfrac{4}{3}π-\sqrt{3}$
B.$\dfrac{4}{3}π-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}π-\sqrt{3}$
D.$\dfrac{2}{3}π-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
（
C
）A.$\dfrac{4}{3}π-\sqrt{3}$
B.$\dfrac{4}{3}π-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}π-\sqrt{3}$
D.$\dfrac{2}{3}π-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
C 解析:如图,连接AO,由正六边形的性质可得A,O,D三点共线,$△ COD$为等边三角形,$\therefore ∠ AQO=∠ DOH$,$∠ COD=∠ GOH=60°$,$\therefore ∠ COG=∠ DOH=∠ AOQ$,$\therefore$ 扇形AOQ与扇形COG面积相等,$\therefore S_{阴影}=S_{扇形COD}-S_{△ COD}$.$\because △ COD$为等边三角形,$OC=OD=2$,过点O作$OK⊥ CD$于点K,$\therefore CK=DK=1$,$OK=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,$\therefore S_{阴影}=S_{扇形COD}-S_{△ COD}=\frac{60π × 2^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× \sqrt{3}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$.故选 C.
解析
【分析】
要计算阴影部分面积，需利用正六边形的性质，通过等积转化将分散的阴影拼接为规则图形的面积差。首先连接AO，根据正六边形中心角为60°、外接圆半径等于边长，可判断△COD为等边三角形；再结合直线l₁、l₂的夹角为60°及正六边形的对称性，证明两个小阴影面积相等，从而将阴影总面积转化为扇形COD的面积减去等边△COD的面积，简化计算。
【解析】
1. 连接AO，由正六边形的性质可知，正六边形的中心角为60°，外接圆半径等于边长，故OC=OD=2，∠COD=60°，因此△COD是等边三角形。
2. 因直线l₁、l₂的夹角为60°，结合正六边形的对称性，两个小阴影部分面积相等，故阴影总面积 = $S_{扇形COD} - S_{△COD}$。
3. 计算扇形COD的面积：根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$，代入n=60°，r=2，得$S_{扇形COD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
4. 计算等边△COD的面积：过O作OK⊥CD于K，等边三角形边长为2，故CK=1，高$OK=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$，则$S_{△COD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
5. 因此阴影部分面积为$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、扇形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题通过正六边形的性质，利用等积转化将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，考查了正多边形与圆相关知识的综合应用，解题关键是发现阴影部分的等积关系。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分面积，需利用正六边形的性质，通过等积转化将分散的阴影拼接为规则图形的面积差。首先连接AO，根据正六边形中心角为60°、外接圆半径等于边长，可判断△COD为等边三角形；再结合直线l₁、l₂的夹角为60°及正六边形的对称性，证明两个小阴影面积相等，从而将阴影总面积转化为扇形COD的面积减去等边△COD的面积，简化计算。
【解析】
1. 连接AO，由正六边形的性质可知，正六边形的中心角为60°，外接圆半径等于边长，故OC=OD=2，∠COD=60°，因此△COD是等边三角形。
2. 因直线l₁、l₂的夹角为60°，结合正六边形的对称性，两个小阴影部分面积相等，故阴影总面积 = $S_{扇形COD} - S_{△COD}$。
3. 计算扇形COD的面积：根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$，代入n=60°，r=2，得$S_{扇形COD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
4. 计算等边△COD的面积：过O作OK⊥CD于K，等边三角形边长为2，故CK=1，高$OK=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$，则$S_{△COD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
5. 因此阴影部分面积为$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、扇形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题通过正六边形的性质，利用等积转化将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，考查了正多边形与圆相关知识的综合应用，解题关键是发现阴影部分的等积关系。
【难度系数】
0.5
9. 新考法 （兰州中考）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型，图②是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M$，$\odot N$的半径分别是 1 cm 和 10 cm，当$\odot M$顺时针转动3 周时，$\odot N$上的点 $P$ 随之旋转 $n°$，则$n=$
108
.答案
108 解析:根据题意得点P移动的距离为$3× 2π × 1=6π$(cm),$\therefore \frac{n× π × 10}{180}=6π$,解得$n=108$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用皮带传动中两个圆边缘走过的弧长相等的关系，先计算⊙M转动3周的弧长，再结合弧长公式列方程求解点P旋转的角度n。
【解析】
1. 计算⊙M转动3周的弧长：
⊙M的半径为1cm，其周长为$2π r = 2π × 1 = 2π$（cm），转动3周的弧长为$3 × 2π = 6π$（cm）。
2. 该弧长等于⊙N上点P旋转对应的弧长，⊙N的半径为10cm，设点P旋转的角度为$n°$，根据弧长公式$l = \frac{nπ R}{180}$（$l$为弧长，$R$为圆的半径），可得：
$\frac{nπ × 10}{180} = 6π$
3. 解方程：
两边同时除以$π$，得$\frac{10n}{180} = 6$，化简得$\frac{n}{18} = 6$，解得$n = 108$。
【答案】
108
【知识点】
弧长计算、圆的周长
【点评】
本题结合古代投石工具的模型，考查弧长公式的实际应用，关键是理解皮带传动中两圆边缘弧长相等的关系，属于基础应用类题目，能将数学知识与实际场景结合，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.5
解决本题的核心是利用皮带传动中两个圆边缘走过的弧长相等的关系，先计算⊙M转动3周的弧长，再结合弧长公式列方程求解点P旋转的角度n。
【解析】
1. 计算⊙M转动3周的弧长：
⊙M的半径为1cm，其周长为$2π r = 2π × 1 = 2π$（cm），转动3周的弧长为$3 × 2π = 6π$（cm）。
2. 该弧长等于⊙N上点P旋转对应的弧长，⊙N的半径为10cm，设点P旋转的角度为$n°$，根据弧长公式$l = \frac{nπ R}{180}$（$l$为弧长，$R$为圆的半径），可得：
$\frac{nπ × 10}{180} = 6π$
3. 解方程：
两边同时除以$π$，得$\frac{10n}{180} = 6$，化简得$\frac{n}{18} = 6$，解得$n = 108$。
【答案】
108
【知识点】
弧长计算、圆的周长
【点评】
本题结合古代投石工具的模型，考查弧长公式的实际应用，关键是理解皮带传动中两圆边缘弧长相等的关系，属于基础应用类题目，能将数学知识与实际场景结合，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.5
10. (1) 如图①,$AC$与$BD$是$\odot O$的两条直径,首尾顺次连接点$A,B,C,D$,得到四边形$ABCD$.若$AC=10\ \mathrm{cm}$,$∠ BAC=36^{ \circ }$,则图中阴影部分的面积为
(2) 如图②,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,若$\odot O$的半径为$4$,则阴影部分的面积等于
10π
$\mathrm{cm}^2$.(2) 如图②,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,若$\odot O$的半径为$4$,则阴影部分的面积等于
$\frac{16}{3}π$
.答案
(1)$10π$ 解析:$\because AC$与BD是$\odot O$的两条直径,$\therefore ∠ ABC=∠ ADC=∠ DAB=∠ BCD=90°$,$\therefore$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore △ ABO$与$△ CDO$的面积的和$=△ AOD$与$△ BOC$的面积的和,$\therefore$ 图中阴影部分的面积$=S_{扇形AOD}+S_{扇形BOC}=2S_{扇形AOD}$.$\because OA=OB$,$\therefore ∠ BAC=∠ ABO=36°$,$\therefore ∠ AOD=72°$,$\therefore$ 图中阴影部分的面积$=2× \frac{72π × (10÷ 2)^2}{360}=10π(\mathrm{cm}^2)$.
(2)$\frac{16}{3}π$ 解析:如图,连接OC,OE,分别交BD,DF于点M,N.$\because$ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,$\therefore ∠ BOC=60°$,$∠ BCD=∠ COE=120°$.$\because OB=OC$,$\therefore △ OBC$是等边三角形,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=60°$,$\therefore ∠ OCD=∠ OCB$.$\because BC=CD$,$\therefore ∠ CBD=∠ CDB=30°$,$BM=DM$,$\therefore ∠ OBM=30°$,$S_{△ DCM}=S_{△ BCM}$,$\therefore ∠ OBM=∠ CBD$,$\therefore OM=CM$,$\therefore S_{△ OBM}=S_{△ BCM}$,$\therefore S_{△ OBM}=S_{△ DCM}$,同理$S_{△ OFN}=S_{△ DEN}$,$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCE}=\frac{120× π × 4^2}{360}=\frac{16}{3}π$.
解析
【分析】
本题分为两小问，均考查圆中阴影面积的计算。
(1) 图①中，先利用直径性质判断四边形ABCD为矩形，结合同底等高三角形面积相等，将阴影面积转化为两个扇形面积之和；再由等腰三角形性质求圆心角，最后用扇形面积公式计算。
(2) 图②中，正六边形内接于圆，利用正多边形中心角性质，结合割补法，把不规则阴影转化为规则扇形面积，再代入公式计算。
【解析】
(1) 因为AC、BD是⊙O的直径，所以OA=OB=OC=OD=AC/2=5 cm，四边形ABCD是矩形，故△ABO与△CDO的面积和等于△AOD与△BOC的面积和，因此阴影部分面积 = S扇形AOD + S扇形BOC。
又OA=OB，所以∠BAC=∠ABO=36°，根据三角形外角性质，∠AOD=∠BAC + ∠ABO=72°，且∠BOC=∠AOD=72°，则阴影面积 = 2×(72π×5²)/360 = 10π (cm²)。
(2) 正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，其每个中心角为60°，故∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，因此∠COE=∠COD + ∠DOE=120°。
连接OC、OE，由正六边形性质可证得对应三角形面积相等，通过割补法得S阴影 = S扇形OCE。代入扇形面积公式：S = (120×π×4²)/360 = 16π/3。
【答案】
(1) 10π；(2) 16π/3
【知识点】
扇形面积计算、正多边形与圆、圆周角定理
【点评】
本题核心是用转化法（割补法）将不规则阴影转化为规则图形面积，需熟练掌握扇形面积公式及正多边形与圆的性质，是中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.4
本题分为两小问，均考查圆中阴影面积的计算。
(1) 图①中，先利用直径性质判断四边形ABCD为矩形，结合同底等高三角形面积相等，将阴影面积转化为两个扇形面积之和；再由等腰三角形性质求圆心角，最后用扇形面积公式计算。
(2) 图②中，正六边形内接于圆，利用正多边形中心角性质，结合割补法，把不规则阴影转化为规则扇形面积，再代入公式计算。
【解析】
(1) 因为AC、BD是⊙O的直径，所以OA=OB=OC=OD=AC/2=5 cm，四边形ABCD是矩形，故△ABO与△CDO的面积和等于△AOD与△BOC的面积和，因此阴影部分面积 = S扇形AOD + S扇形BOC。
又OA=OB，所以∠BAC=∠ABO=36°，根据三角形外角性质，∠AOD=∠BAC + ∠ABO=72°，且∠BOC=∠AOD=72°，则阴影面积 = 2×(72π×5²)/360 = 10π (cm²)。
(2) 正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，其每个中心角为60°，故∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，因此∠COE=∠COD + ∠DOE=120°。
连接OC、OE，由正六边形性质可证得对应三角形面积相等，通过割补法得S阴影 = S扇形OCE。代入扇形面积公式：S = (120×π×4²)/360 = 16π/3。
【答案】
(1) 10π；(2) 16π/3
【知识点】
扇形面积计算、正多边形与圆、圆周角定理
【点评】
本题核心是用转化法（割补法）将不规则阴影转化为规则图形面积，需熟练掌握扇形面积公式及正多边形与圆的性质，是中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.4
11. 如图,$△ OAC$的顶点$O$在坐标原点,$OA$边在$x$轴上,$OA=2,AC=1$,把$△ OAC$绕点$A$按顺时针方向旋转到$△ O'AC'$,使得点$O'$的坐标是$(1,\sqrt{3})$,则在旋转过程中线段$OC$扫过部分(阴影部分)的面积为
$\frac{π}{2}$
.答案
$\frac{π}{2}$ 解析:如图,过点$O'$作$O'M⊥ OA$于点M,则$∠ O'MA=90°$.$\because$ 点$O'$的坐标是$(1,\sqrt{3})$,$\therefore O'M=\sqrt{3}$,$OM=1$.$\because AO=2$,$\therefore AM=2-1=1$,$\therefore ∠ O'AM=60°$.$\because$ 把$△ OAC$绕点A按顺时针方向旋转到$△ O'AC'$,$\therefore S_{△ OAC}=S_{△ O'AC'}$,$\therefore S_{阴影}=S_{扇形AOO'}+S_{△ O'AC'}-S_{△ OAC}-S_{扇形ACC'}=S_{扇形AOO'}-S_{扇形ACC'}=\frac{60π × 2^2}{360}-\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{2}$.
解析
【分析】
要计算线段OC旋转扫过的阴影面积，需利用旋转的性质：旋转前后对应三角形面积相等，因此阴影面积可转化为以点A为圆心，分别以OA、AC为半径的两个扇形的面积差。解题时先通过点O'的坐标求出旋转角的度数，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 过点$O'$作$O'M ⊥ OA$于点$M$，已知点$O'$的坐标为$(1,\sqrt{3})$，则$O'M=\sqrt{3}$，$OM=1$。
2. 因为$OA=2$，所以$AM=OA - OM=2 - 1=1$。在$\mathrm{Rt}△ O'AM$中，$\tan∠ O'AM=\frac{O'M}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，故$∠ O'AM=60°$，即旋转角为$60°$。
3. 根据旋转的性质，$△ OAC ≌ △ O'AC'$，所以$S_{△ OAC}=S_{△ O'AC'}$。因此阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOO'} + S_{△ O'AC'} - S_{△ OAC} - S_{\mathrm{扇形}ACC'}=S_{\mathrm{扇形}AOO'} - S_{\mathrm{扇形}ACC'}$。
4. 代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）：
$S_{\mathrm{扇形}AOO'}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ACC'}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$，
所以$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{2π}{3} - \frac{π}{6}=\frac{π}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{2}$
【知识点】
旋转的性质、扇形面积计算
【点评】
本题结合旋转的性质考查扇形面积的计算，核心是将不规则的阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，体现了转化思想，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要计算线段OC旋转扫过的阴影面积，需利用旋转的性质：旋转前后对应三角形面积相等，因此阴影面积可转化为以点A为圆心，分别以OA、AC为半径的两个扇形的面积差。解题时先通过点O'的坐标求出旋转角的度数，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 过点$O'$作$O'M ⊥ OA$于点$M$，已知点$O'$的坐标为$(1,\sqrt{3})$，则$O'M=\sqrt{3}$，$OM=1$。
2. 因为$OA=2$，所以$AM=OA - OM=2 - 1=1$。在$\mathrm{Rt}△ O'AM$中，$\tan∠ O'AM=\frac{O'M}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，故$∠ O'AM=60°$，即旋转角为$60°$。
3. 根据旋转的性质，$△ OAC ≌ △ O'AC'$，所以$S_{△ OAC}=S_{△ O'AC'}$。因此阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOO'} + S_{△ O'AC'} - S_{△ OAC} - S_{\mathrm{扇形}ACC'}=S_{\mathrm{扇形}AOO'} - S_{\mathrm{扇形}ACC'}$。
4. 代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）：
$S_{\mathrm{扇形}AOO'}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ACC'}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$，
所以$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{2π}{3} - \frac{π}{6}=\frac{π}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{2}$
【知识点】
旋转的性质、扇形面积计算
【点评】
本题结合旋转的性质考查扇形面积的计算，核心是将不规则的阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，体现了转化思想，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
12. (2025·宿迁中考)如图,点A在$\odot O$上,点B在$\odot O$外,线段OB与$\odot O$交于点C,过点C作$\odot O$的切线交直线AB于点D,且$AD=CD$.
(1)判断直线AB与$\odot O$的位置关系,并说明理由；
(2)若$∠ B=30°$,$CD=4$,求图中阴影部分的面积.
(1)判断直线AB与$\odot O$的位置关系,并说明理由；
(2)若$∠ B=30°$,$CD=4$,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)直线AB与$\odot O$相切,理由如下:如图,连接OA,OD,$\because$ 直线CD与$\odot O$相切,$\therefore OC⊥ CD$,$\therefore ∠ OCD=90°$.在$△ OAD$和$△ OCD$中,$\begin{cases} OA=OC, \\ OD=OD, \\ AD=CD, \end{cases}$$\therefore △ OAD≌ △ OCD(\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ OAD=∠ OCD=90°$,$\therefore OA⊥ AD$.$\because OA$是$\odot O$半径,$\therefore$ 直线AB与$\odot O$相切.
(2)由(1)得$△ OAD≌ △ OCD$,$∠ OAD=∠ OCD=90°$,$\therefore ∠ AOD=∠ COD$,$S_{△ OAD}=S_{△ OCD}$.$\because ∠ B=30°$,$\therefore ∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ AOD=∠ COD=30°$,$\therefore OD=2CD=8$,$\therefore OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,$\therefore S_{△ OAD}=S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× 4\sqrt{3}× 4=8\sqrt{3}$,$\therefore S_{阴影}=S_{△ OAD}+S_{△ OCD}-S_{扇形AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π × (4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π$.
解析
【分析】
要判断直线AB与⊙O的位置关系，需利用切线判定定理，证明圆心O到直线AB的距离等于半径，即证OA⊥AB。已知CD是⊙O的切线，得OC⊥CD，结合AD=CD、OA=OC、OD公共，用SSS证△OAD≌△OCD，推出∠OAD=90°，即可得AB是切线。求阴影面积时，阴影部分面积为两个直角三角形面积和减去扇形面积，利用全等得角的关系，结合直角三角形性质求半径和边长，再计算面积差。
【解析】
(1) 直线AB与⊙O相切，理由如下：
连接OA、OD。
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°。
在△OAD和△OCD中：
$\{\begin{array}{l} OA=OC \\ AD=CD \\ OD=OD \end{array} $
∴ △OAD≌△OCD（SSS），
∴ ∠OAD=∠OCD=90°，即OA⊥AD。
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ 直线AB与⊙O相切。
(2) 由(1)中△OAD≌△OCD，得∠AOD=∠COD，$S_{△OAD}=S_{△OCD}$。
∵ ∠OAD=90°，∠B=30°，
∴ 在Rt△OAB中，∠AOB=90°-∠B=60°，
∴ ∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，CD=4，∠COD=30°，
∴ OD=2CD=8，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∴ $S_{△OAD}=S_{△OCD}=\frac{1}{2}×OC×CD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$，
∴ $S_{△OAD}+S_{△OCD}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
扇形AOC的圆心角∠AOC=60°，半径OC=4√3，
∴ $S_{扇形AOC}=\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=8π$，
∴ $S_{阴影}=S_{△OAD}+S_{△OCD}-S_{扇形AOC}=16\sqrt{3}-8π$。
【答案】
(1) 直线AB与⊙O相切；(2) $16\sqrt{3}-8π$
【知识点】
切线的判定、全等三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题为几何综合题，融合切线判定、全等三角形及扇形面积计算，考查学生的逻辑推理与运算能力，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
要判断直线AB与⊙O的位置关系，需利用切线判定定理，证明圆心O到直线AB的距离等于半径，即证OA⊥AB。已知CD是⊙O的切线，得OC⊥CD，结合AD=CD、OA=OC、OD公共，用SSS证△OAD≌△OCD，推出∠OAD=90°，即可得AB是切线。求阴影面积时，阴影部分面积为两个直角三角形面积和减去扇形面积，利用全等得角的关系，结合直角三角形性质求半径和边长，再计算面积差。
【解析】
(1) 直线AB与⊙O相切，理由如下：
连接OA、OD。
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°。
在△OAD和△OCD中：
$\{\begin{array}{l} OA=OC \\ AD=CD \\ OD=OD \end{array} $
∴ △OAD≌△OCD（SSS），
∴ ∠OAD=∠OCD=90°，即OA⊥AD。
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ 直线AB与⊙O相切。
(2) 由(1)中△OAD≌△OCD，得∠AOD=∠COD，$S_{△OAD}=S_{△OCD}$。
∵ ∠OAD=90°，∠B=30°，
∴ 在Rt△OAB中，∠AOB=90°-∠B=60°，
∴ ∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，CD=4，∠COD=30°，
∴ OD=2CD=8，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∴ $S_{△OAD}=S_{△OCD}=\frac{1}{2}×OC×CD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$，
∴ $S_{△OAD}+S_{△OCD}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
扇形AOC的圆心角∠AOC=60°，半径OC=4√3，
∴ $S_{扇形AOC}=\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=8π$，
∴ $S_{阴影}=S_{△OAD}+S_{△OCD}-S_{扇形AOC}=16\sqrt{3}-8π$。
【答案】
(1) 直线AB与⊙O相切；(2) $16\sqrt{3}-8π$
【知识点】
切线的判定、全等三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题为几何综合题，融合切线判定、全等三角形及扇形面积计算，考查学生的逻辑推理与运算能力，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
