1. 已知点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 均在反比例函数 $y=\dfrac{9}{x}$ 的图象上,若 $x_1＜0＜x_2$, 则下列结论正确的是（）

A.$0＜y_2＜y_1$
B.$0＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜0＜y_1$
D.$y_1＜0＜y_2$

1. D

【分析】
要解决本题，需先掌握反比例函数的图像与性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图像分布在第一、三象限，各象限内点的坐标符号为：第一象限$x＞0,y＞0$，第三象限$x＜0,y＜0$。已知$x_1＜0＜x_2$，可据此判断点$A$、$B$所在象限，进而确定$y_1$、$y_2$的符号，选出正确选项。
【解析】
反比例函数$y=\frac{9}{x}$中，$k=9＞0$，因此该函数图像分布在第一、三象限：
1. 因为$x_1＜0$，所以点$A(x_1,y_1)$在第三象限，第三象限内点的纵坐标为负，故$y_1＜0$；
2. 因为$x_2＞0$，所以点$B(x_2,y_2)$在第一象限，第一象限内点的纵坐标为正，故$y_2＞0$；
综上可得$y_1＜0＜y_2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图像性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，核心是利用$k＞0$时函数图像的象限分布判断点的坐标符号，属于基础题型，主要考查学生对反比例函数基本知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8

2. 如图,一次函数 $y=x+a-2$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象交于 $A,B$ 两点,则当线段 $AB$ 的长度取最小值时,$a$ 的值为（）

A.0
B.1
C.2
D.5

2. C

【分析】
反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象关于原点中心对称，一次函数$y=x+a-2$是斜率为1的直线，其图象可由直线$y=x$平移得到。对于反比例函数，过原点的直线与它相交时，两点间的线段长度最短，因此要使线段AB长度最小，需让一次函数图象经过原点，据此求解$a$的值。
【解析】
1. 反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象关于原点中心对称，斜率为1的一次函数$y=x+a-2$，当该直线经过原点时，与反比例函数的交点A、B间的线段长度最短。
2. 将原点坐标$(0,0)$代入一次函数$y=x+a-2$，可得：
$0 = 0 + a - 2$，解得$a=2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质、一次函数性质
【点评】
本题结合反比例函数的中心对称性和一次函数的平移性质，考查线段最短的问题，核心是理解“过原点的直线与反比例函数交点间线段最短”的特点，属于基础题型，需掌握函数图象的对称性。
【难度系数】
0.3

3. 如图,点A和B都在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上,且线段AB过原点,过点A作x轴的垂线段,垂足为C,P是线段OB上的动点,连接CP,设$△ ACP$的面积为S,则下列说法正确的是（）

A.$S＞1$
B.$S＞2$
C.$1＜S＜2$
D.$1 ≤ S ≤ 2$

3. D 提示:设点A(a,b),如图,过点B作BH⊥x轴于点H,连接BC.因为反比例函数图象和正比例函数图象都关于原点对称,所以点B(-a,-b),所以AC=b,OC=a,BH=b,根据题意可得k=2,所以$S_{△ ACO}=\dfrac{1}{2}ab=1$,$S_{△ BCO}=\dfrac{1}{2}ab=1$.因为$0≤ S_{△ OPC}≤ S_{△ BCO}=1$,$S=S_{△ OPC}+S_{△ ACO}$,所以$1≤ S≤ 2$.

【分析】
要解决本题，需利用反比例函数图象的中心对称性确定点A、B的坐标关系，结合反比例函数的k值与三角形面积的关联，分析动点P在OB上时△ACP的面积范围。首先设点A的坐标，根据对称性得到点B的坐标，再计算相关三角形的面积，最后结合P的位置推导面积S的取值范围。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$，因为点A在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，所以$ab=2$。
由于线段AB过原点，反比例函数图象关于原点对称，因此点B的坐标为$(-a,-b)$。
过点B作$BH⊥x$轴于点H，则$AC=b$，$OC=a$，$BH=b$。
$△ ACO$的面积：$S_{△ ACO}=\dfrac{1}{2}×OC×AC=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×2=1$；
$△ BCO$的面积：$S_{△ BCO}=\dfrac{1}{2}×OC×BH=\dfrac{1}{2}ab=1$。
因为点P在线段OB上，所以$△ OPC$的面积范围是$0≤S_{△ OPC}≤S_{△ BCO}=1$。
而$△ ACP$的面积$S=S_{△ ACO}+S_{△ OPC}$，因此$1≤S≤1+1=2$，即$1≤S≤2$。
【答案】D
【知识点】反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用反比例函数的中心对称性，将动点的面积问题转化为固定三角形面积与动点对应面积的和，关键在于理解反比例函数上的点与原点构成的三角形面积为$\dfrac{1}{2}|k|$，结合动点位置确定面积范围，难度适中，需掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】0.5

4. 如图,点$A$在$y$轴上,点$B$在反比例函数
$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上,点$C$在反比例函数
$y=-\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上,且$BC// y$轴,
$AC⊥ BC$,垂足为$C$,则$△ ABC$的面积为
.

4. 3 提示:设点$B(m,\dfrac{4}{m})(m＞0)$.因为点C在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上,且$BC// y$轴,$AC⊥ BC$,垂足为C,所以点$C(m,-\dfrac{2}{m})$,$A(0,-\dfrac{2}{m})$,所以$AC=m$,$BC=\dfrac{6}{m}$,所以$△ ABC$的面积为$\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}m·\dfrac{6}{m}=3$.(或连接OB,OC,则由反比例函数k的几何意义可知,$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}×4+\dfrac{1}{2}×|-2|=3$)

【分析】
本题是反比例函数与三角形面积结合的问题，解题思路为：①利用$BC// y$轴，确定B、C两点横坐标相同，设出点B的坐标，结合反比例函数解析式写出点C的坐标；②由$AC⊥ BC$，可知$AC$平行于x轴，进而确定点A的坐标，求出$AC$和$BC$的长度；③利用三角形面积公式计算$△ ABC$的面积，或通过反比例函数k的几何意义转化面积求解。
【解析】
设点$B(m,\frac{4}{m})(m＞0)$，因为$BC// y$轴，所以点C的横坐标为$m$。又点C在$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，故点C的纵坐标为$-\frac{2}{m}$，即$C(m,-\frac{2}{m})$。
由于$AC⊥ BC$，$BC// y$轴，所以$AC// x$轴，点A在y轴上，因此点A的纵坐标与点C相同，横坐标为0，即$A(0,-\frac{2}{m})$。
由此可得：$AC=m-0=m$，$BC=\frac{4}{m}-(-\frac{2}{m})=\frac{6}{m}$。
根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× m×\frac{6}{m}=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数、三角形面积
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及三角形面积计算，通过设点坐标建立线段长度关系，或利用反比例函数k的几何意义简化运算，是反比例函数的典型应用题型。
【难度系数】
0.5

5. 如图, 已知 $P, Q$ 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上的两点, $PA ⊥ y$ 轴于点 $A, QN ⊥ x$ 轴于点 $N, PM ⊥ x$ 轴于点 $M, QB ⊥ y$ 轴于点 $B$, 连接 $PB, QM$. 若将 $△ ABP$ 的面积记为 $S_1, △ QMN$ 的面积记为 $S_2$, 则$S_1 \_\_\_\_\_\_ S_2$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).

5. = 提示:设点P(a,b),Q(m,n),则$△ ABP$的面积$S_1=\dfrac{1}{2}AP· AB=\dfrac{1}{2}a(b-n)=\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}an$,$△ QMN$的面积$S_2=\dfrac{1}{2}MN· QN=\dfrac{1}{2}(m-a)n=\dfrac{1}{2}mn-\dfrac{1}{2}an$.因为点P,Q在反比例函数的图象上,所以$ab=mn=k$,所以$S_1=S_2$.

【分析】要比较$S_1$和$S_2$的大小，可利用反比例函数上点的坐标特征，设出点$P$、$Q$的坐标，再分别计算两个三角形的面积，结合反比例函数中横纵坐标乘积为定值$k$的性质，推导两者的关系。
【解析】设点$P(a,b)$，点$Q(m,n)$。
因为$P,Q$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图象上，所以$ab=k$，$mn=k$。
对于$△ ABP$：$PA⊥ y$轴，故$AP=a$；$QB⊥ y$轴，故$AB=b-n$，则$S_1=\dfrac{1}{2}× AP× AB=\dfrac{1}{2}a(b-n)=\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}an$。
对于$△ QMN$：$QN⊥ x$轴，故$QN=n$；$PM⊥ x$轴，故$MN=m-a$，则$S_2=\dfrac{1}{2}× MN× QN=\dfrac{1}{2}(m-a)n=\dfrac{1}{2}mn-\dfrac{1}{2}an$。
因为$ab=mn=k$，所以$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}mn$，因此$S_1=S_2$。
【答案】$=$
【知识点】反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】本题结合反比例函数的坐标特征与三角形面积公式，通过设坐标推导面积关系，属于基础题型，需掌握反比例函数中横纵坐标乘积为定值的性质。
【难度系数】0.5

6. 在平面直角坐标系中,记反比例函数$y=$$\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x ＞ 0)$的图象为$G$,直线$l$:$y=$$-2x+b$经过点$A(2,4)$,与图象$G$交于$B$,$C$两点,且点$B$的横坐标小于点$C$的横坐标.
(1) 求$b$的值.
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫作整点.记图象$G$与直线$l$所围成的区域(含边界)为$W$.
①若$k=6$,求$B$,$C$两点的坐标,并写出区域$W$上的整点个数;
②若区域$W$上恰好有$7$个整点,结合函数图象,直接写出$k$的取值范围:
.

6. 解:(1) 因为$l:y=-2x+b$经过点A(2,4),所以$4=-2×2+b$,所以$b=8$.
(2) ①B(1,6),C(3,2).当y=0时,$-2x+8=0$,解得x=4,所以l过点(4,0),过点A(2,4)和(4,0)作直线l,如图1所示,区域W(含边界)上的整点有(1,6),(2,3),(2,4),(3,2),共4个.
②$3＜k≤4$ 提示:如图2,当k=3时,区域W上有9个整点,当k=4时,区域W上有7个整点.所以当区域W上恰好有7个整点,k的取值范围是$3＜k≤4$.

【分析】
首先，第(1)问利用直线经过点A，将点坐标代入直线解析式即可求出b；第(2)问①将k=6代入反比例函数，与直线解析式联立方程组求解交点，再统计区域W内的整点；第(2)问②结合函数图象，分析不同k值下区域W的整点个数，确定恰好7个整点时k的范围。
【解析】
(1) 因为直线$ l: y=-2x+b $经过点$ A(2,4) $，将$ A(2,4) $代入解析式得：
$ 4=-2×2+b $，解得$ b=8 $。
(2) ① 当$ k=6 $时，反比例函数为$ y=\frac{6}{x} $，联立$ \begin{cases} y=\frac{6}{x} \\ y=-2x+8 \end{cases} $，消去$ y $得$ \frac{6}{x}=-2x+8 $，整理为$ x^2-4x+3=0 $，解得$ x=1 $或$ x=3 $。
当$ x=1 $时，$ y=6 $；当$ x=3 $时，$ y=2 $，故$ B(1,6) $，$ C(3,2) $。
直线$ l $与x轴交点为$ (4,0) $，区域W（含边界）内的整点为$ (1,6)、(2,3)、(2,4)、(3,2) $，共4个。
② 结合函数图象，当$ k=3 $时区域W有9个整点，当$ k=4 $时区域W有7个整点，因此区域W恰好有7个整点时，$ k $的取值范围是$ 3＜k≤4 $。
【答案】
(1) $ b=8 $；(2) ① $ B(1,6) $，$ C(3,2) $，整点个数为4；② $ 3＜k≤4 $
【知识点】
一次函数、反比例函数、整点
【点评】
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题及整点计数，需联立方程求交点，结合图象分析区域内的整数点，难度适中，需注意边界的包含关系。
【难度系数】
0.5