23.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E,且AB＝BE。
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形；
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠E＝60°,AB＝8,求四边形ABCD的面积。

(1) 证明：
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
∵ AB = BE，
∴ ∠BAE = ∠E，
∴ ∠DAE = ∠E，
∴ AD // BE，即AD // BC，
又∵ AB // CD，
∴ 四边形ABCD两组对边分别平行，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
---
(2) 解：
∵ AB = BE，∠E = 60°，
∴ △ABE是等边三角形，
∴ AB = AE = 8，
∵ BF ⊥ AE，
∴ AF = EF = $\frac{1}{2}$AE = 4，
由勾股定理得：
$BF = \sqrt{AB^2 - AF^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AE × BF = \frac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$。
∵ AD // BE，
∴ ∠DAF = ∠E，
在△ADF和△ECF中：
$\begin{cases}∠DAF = ∠E \\AF = EF \\∠AFD = ∠EFC\end{cases}$
∴ △ADF ≌ △ECF (ASA)，
∴ $S_{△ ADF} = S_{△ ECF}$，
∴ $S_{四边形ABCD} = S_{四边形ABCF} + S_{△ ADF} = S_{四边形ABCF} + S_{△ ECF} = S_{△ ABE} = 16\sqrt{3}$。
答：四边形ABCD的面积为$16\sqrt{3}$。

24.如图，O是$△ ABC$内一点，连接$OA$，$OB$，并将$OA$，$OB$，$BC$，$AC$的中点$D$，$E$，$F$，$H$依次连接，得到四边形$DEFH$。
（1）求证：四边形$DEFH$是平行四边形；
（2）若$∠ OAB＝45°$，$∠ ABO＝30°$，$OB＝8$，求$DE$的长。

(1) 证明：
∵ D，E分别是OA，OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$。
∵ H，F分别是AC，BC的中点，
∴ HF是△ABC的中位线，
∴ $HF// AB$，$HF=\frac{1}{2}AB$。
∴ $DE// HF$，$DE=HF$，
∴ 四边形DEFH是平行四边形。
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(2) 解：
过点O作$OG⊥ AB$于点G，
在$Rt△ OBG$中，$∠ OGB=90°$，$∠ ABO=30°$，$OB=8$，
∴ $OG=\frac{1}{2}OB=4$，
由勾股定理得：$BG=\sqrt{OB^2-OG^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
在$Rt△ OAG$中，$∠ OGA=90°$，$∠ OAB=45°$，
∴ $∠ AOG=90°-45°=45°$，
∴ $AG=OG=4$，
∴ $AB=AG+BG=4+4\sqrt{3}$。
∵ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×(4+4\sqrt{3})=2+2\sqrt{3}$。
答：DE的长为$2+2\sqrt{3}$。

25.【问题探究】
(1)如图1,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$和$∠ DAB$的平分线$BE,AE$交于$CD$边上的点$E$。求证:$E$为$CD$的中点;
【问题解决】
(2)如图2是一个形状为平行四边形的社区公园$ABCD$,点$E$是$CD$上一点,连接$BE,AE$,沿$BE$和$AE$修建景观步道,$BE$平分$∠ ABC$,$AE$平分$∠ DAB$,$△ ECB$为花卉区,$△ AEB$是休憩草坪区,$△ DAE$为健身活动区。为了方便游客,在$AE$的中点$F$处设休息驿站,并修建一条连接驿站$F$与大门$C$的观景小道$CF$,$CF$与$BE$交于点$G$,规划师需确定$BG$与$EG$的数量关系,请你帮忙解答并说明理由。

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CD// AB$，$AD=BC$，
∴ $∠ DEA=∠ EAB$，$∠ CEB=∠ EBA$。
∵ $AE$平分$∠ DAB$，$BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ DAE=∠ EAB$，$∠ CBE=∠ EBA$，
∴ $∠ DEA=∠ DAE$，$∠ CEB=∠ CBE$，
∴ $AD=DE$，$BC=EC$。
又∵ $AD=BC$，
∴ $DE=EC$，即$E$为$CD$的中点。
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(2) 解：$BG=3EG$，理由如下：
由(1)可得$E$是$CD$的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}CD$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CD// AB$，$CD=AB$，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB$。
延长$CF$，交$BA$的延长线于点$H$。
∵ $CD// AB$，
∴ $∠ CEF=∠ HAF$，$∠ ECF=∠ AHF$。
∵ $F$是$AE$的中点，
∴ $AF=EF$。
在$△ CEF$和$△ HAF$中，
$\begin{cases}∠ CEF=∠ HAF \\∠ ECF=∠ AHF \\EF=AF\end{cases}$
∴ $△ CEF ≌ △ HAF$（AAS），
∴ $CE=AH$。
∴ $HB=AH+AB=CE+CD=CE+2CE=3CE$。
∵ $CE// BH$，
∴ $△ CEG ∽ △ HBG$，
∴ $\frac{EG}{BG}=\frac{CE}{HB}=\frac{CE}{3CE}=\frac{1}{3}$，
∴ $BG=3EG$。