疑难点拨
用因式分解法解方程:$x(x-2)=x$.
点拨 观察有公因式x,易将方程两边都除以x从而漏掉一个解.

【疑难点拨】 $x_{1}=0,x_{2}=3$

【分析】
解这道方程时，不能直接将方程两边除以x，因为x可能为0，这样会漏掉x=0这个解。正确思路是先移项，将所有项移到等号左边，再提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解两个一元一次方程得到方程的解。
【解析】
解：移项，得 $x(x - 2) - x = 0$
提取公因式x，得 $x[(x - 2) - 1] = 0$
化简括号内的式子，得 $x(x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 3$
【答案】
$x_1 = 0, x_2 = 3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，核心是避免直接除以含未知数的项（可能为0）导致漏解，需通过移项提取公因式的方法求解，是一元二次方程解法中的基础易错题型。
【难度系数】
0.6

1. 因式分解:①$x^{2}-x=$;②$x^{2}-6x+9=$;
③$3x^{2}-27=$;④$(x-2)^{2}-1=$;
⑤$(y+1)^{2}-3(y+1)=$;⑥$x^{2}+x-12=$.

1. ①$x(x-1)$ ②$(x-3)^{2}$ ③$3(x+3)(x-3)$ ④$(x-3)(x-1)$ ⑤$(y+1)(y-2)$ ⑥$(x-3)(x+4)$

【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，再用公式/十字相乘，分解彻底”的原则。本题6道小题分别对应不同的因式分解方法：①提公因式法；②完全平方公式；③先提公因式再用平方差公式；④整体运用平方差公式；⑤提公因式法；⑥十字相乘法，需根据式子特征选择对应方法逐步分解。
【解析】
①$x^2 - x = x · x - x · 1 = x(x - 1)$；
②$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 · x · 3 + 3^2 = (x - 3)^2$；
③$3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9) = 3(x^2 - 3^2) = 3(x + 3)(x - 3)$；
④$(x - 2)^2 - 1 = (x - 2)^2 - 1^2 = [(x - 2) - 1][(x - 2) + 1] = (x - 3)(x - 1)$；
⑤$(y + 1)^2 - 3(y + 1) = (y + 1)(y + 1 - 3) = (y + 1)(y - 2)$；
⑥$x^2 + x - 12$，十字相乘：找两数乘积为$-12$、和为$1$，即$4$和$-3$，故分解为$(x + 4)(x - 3)$。
【答案】
①$x(x-1)$ ②$(x-3)^{2}$ ③$3(x+3)(x-3)$ ④$(x-3)(x-1)$ ⑤$(y+1)(y-2)$ ⑥$(x-3)(x+4)$
【知识点】
因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法）
【点评】
本题为因式分解基础题型，覆盖了因式分解的核心方法，要求学生熟练掌握各类方法的适用场景，按“先提公因式、再用公式/十字相乘”的顺序分解，确保结果彻底，是巩固因式分解知识的典型练习。
【难度系数】
0.6

2. 一元二次方程$x^{2}-2x=0$的解是 ()

A.$x_{1}=3,x_{2}=1$
B.$x_{1}=2,x_{2}=0$
C.$x_{1}=3,x_{2}=-2$
D.$x_{1}=-2,x_{2}=-1$

2. B

【分析】本题是求解一元二次方程的解，观察方程$x^2 - 2x = 0$的左边可提取公因式，通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，利用“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”的性质求解，再对应选项选出正确答案。
【解析】解一元二次方程$x^2 - 2x = 0$：
1. 因式分解：提取左边的公因式$x$，得$x(x - 2) = 0$；
2. 转化方程：根据零乘积性质，可得$x = 0$或$x - 2 = 0$；
3. 求解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，通过因式分解法即可快速得到解，属于简单的基础题型，用于巩固一元二次方程的求解方法。
【难度系数】0.9

3. 若代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数,则x的值为.

3. 1或3

【分析】首先明确互为相反数的两个数的和为0，据此列出关于x的方程；再通过变形、提取公因式将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解得到x的值。
【解析】因为代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$互为相反数，所以它们的和为0，据此列方程：
$x(x - 1) + 3(1 - x) = 0$
将式子变形，利用$1 - x = -(x - 1)$，代入得：
$x(x - 1) - 3(x - 1) = 0$
提取公因式$(x - 1)$，得：
$(x - 1)(x - 3) = 0$
则有$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x = 1$或$x = 3$。
【答案】1或3
【知识点】相反数的性质、一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】本题结合相反数的性质考查一元二次方程的求解，关键是准确列出方程并正确因式分解，属于基础题型，注重基础知识的应用。
【难度系数】0.6

4. 用因式分解法解下列一元二次方程:
(1)$x^{2}-5x=0$; (2)$3(x-5)^{2}=2(5-x)$; (3)$(x-2)^{2}-2x+4=0$.

4. (1) $x_{1}=5,x_{2}=0$. (2) $x_{1}=5,x_{2}=\frac{13}{3}$.
(3) $x_{1}=2,x_{2}=4$.

【分析】解一元二次方程的因式分解法核心是将方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0，转化为一元一次方程求解。本题需通过提取公因式的方法因式分解，注意第(2)(3)题利用整体思想变形构造公因式，简化运算。
【解析】
(1) 对$x^2 -5x=0$，左边提取公因式$x$得：
$x(x -5)=0$
则$x=0$或$x -5=0$，解得$x_1=5$，$x_2=0$；
(2) 移项使方程右边为0：
$3(x -5)^2 -2(5 -x)=0$
利用$5 -x=-(x -5)$变形得：
$3(x -5)^2 +2(x -5)=0$
提取公因式$(x -5)$得：
$(x -5)[3(x -5)+2]=0$
化简括号内得$3x -13$，即$(x -5)(3x -13)=0$
则$x -5=0$或$3x -13=0$，解得$x_1=5$，$x_2=\frac{13}{3}$；
(3) 将$-2x +4$变形为$-2(x -2)$，方程变为：
$(x -2)^2 -2(x -2)=0$
提取公因式$(x -2)$得：
$(x -2)(x -2 -2)=0$
化简得$(x -2)(x -4)=0$
则$x -2=0$或$x -4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$；
【答案】(1)$x_1=5,x_2=0$；(2)$x_1=5,x_2=\frac{13}{3}$；(3)$x_1=2,x_2=4$
【知识点】因式分解法解一元二次方程、提公因式法分解因式、整体思想
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，重点是提取公因式的运用，需注意整体思想构造公因式，避免直接展开，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.7

5. 用因式分解法解下列一元二次方程:
(1)$x^{2}-6x+9=0$; (2)$(x-2)^{2}-9=0$; (3)$4(x-2)^{2}-9(x-1)^{2}=0$.

5. (1) $x_{1}=x_{2}=3$. (2) $x_{1}=5,x_{2}=-1$.
(3) $x_{1}=-1,x_{2}=\frac{7}{5}$.

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解。本题三个方程均可通过完全平方公式或平方差公式进行因式分解：(1)式左边符合完全平方公式，直接分解；(2)式符合平方差公式，分解为两个一次因式乘积；(3)式将系数转化为平方形式后，用平方差公式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 -6x +9=0$，左边利用完全平方公式分解：
$(x-3)^2=0$，
则$x-3=0$，
解得$x_1=x_2=3$；
(2) 对$(x-2)^2 -9=0$，将9看作$3^2$，利用平方差公式分解：
$(x-2+3)(x-2-3)=0$，
即$(x+1)(x-5)=0$，
则$x+1=0$或$x-5=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$；
(3) 对$4(x-2)^2 -9(x-1)^2=0$，将$4(x-2)^2$看作$[2(x-2)]^2$，$9(x-1)^2$看作$[3(x-1)]^2$，利用平方差公式分解：
$[2(x-2)+3(x-1)][2(x-2)-3(x-1)]=0$，
化简括号内的式子：
第一个括号：$2x-4+3x-3=5x-7$，
第二个括号：$2x-4-3x+3=-x-1$，
故$(5x-7)(-x-1)=0$，即$(5x-7)(x+1)=0$，
则$5x-7=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-1$；
【答案】
(1) $x_1=x_2=3$；(2) $x_1=5,x_2=-1$；(3) $x_1=-1,x_2=\frac{7}{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题型，主要运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，步骤清晰，只要掌握基本公式和因式分解法的核心思路即可正确求解，是一元二次方程解法的基础练习。
【难度系数】
0.7

6. 用因式分解法解下列一元二次方程:
(1)$(x-2)^{2}-2(x^{2}-4)=0$; (2)$(x-3)^{2}=18-2x^{2}$; (3)$3(x-1)^{2}-2(1-x^{2})=0$.

6. (1) $x_{1}=2,x_{2}=-6$. (2) $x_{1}=3,x_{2}=-1$.
(3) $x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{5}$.

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为两个一次因式的乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解。解题时需先观察方程结构，利用平方差公式、提公因式法等对式子进行因式分解，注意变形时符号的处理。
【解析】
(1) 原方程：$(x-2)^2 - 2(x^2 -4)=0$
利用平方差公式分解$x^2-4=(x-2)(x+2)$，代入得：
$(x-2)^2 -2(x-2)(x+2)=0$
提取公因式$(x-2)$：
$(x-2)[(x-2)-2(x+2)]=0$
化简括号内：$x-2-2x-4=-x-6$，即：
$(x-2)(-x-6)=0$
则$x-2=0$或$-x-6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-6$。
(2) 原方程：$(x-3)^2=18-2x^2$
移项得：$(x-3)^2 +2x^2 -18=0$
对右边变形：$18-2x^2=-2(x^2-9)=-2(x-3)(x+3)$，代入移项后的式子：
$(x-3)^2 -2×(-(x-3)(x+3))=0$，即：
$(x-3)^2 +2(x-3)(x+3)=0$
提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)[(x-3)+2(x+3)]=0$
化简括号内：$x-3+2x+6=3x+3$，即：
$(x-3)(3x+3)=0$
则$x-3=0$或$3x+3=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(3) 原方程：$3(x-1)^2 -2(1-x^2)=0$
对$1-x^2$变形为$-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)$，代入得：
$3(x-1)^2 -2×(-(x-1)(x+1))=0$，即：
$3(x-1)^2 +2(x-1)(x+1)=0$
提取公因式$(x-1)$：
$(x-1)[3(x-1)+2(x+1)]=0$
化简括号内：$3x-3+2x+2=5x-1$，即：
$(x-1)(5x-1)=0$
则$x-1=0$或$5x-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-6$；(2)$x_1=3,x_2=-1$；(3)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提公因式法
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，关键是熟练运用平方差公式、提公因式法对式子因式分解，将二次方程转化为一次方程求解，需注意变形过程中的符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.6