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7. 用配方法解关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-8mx+8m^{2}-18=0$.
答案
7. $x_{1}=3+2m,x_{2}=-3+2m.$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心步骤是：先将二次项系数化为1，再移项使方程左边为二次项和一次项、右边为常数项，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方，将左边化为完全平方式后开方求解。本题需先对原方程化简，再利用完全平方公式配方，进而求解关于x的方程。
【解析】
解：原方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 4mx + 4m^2 - 9 = 0$
移项，得：
$x^2 - 4mx + 4m^2 = 9$
根据完全平方公式，左边可化为：
$(x - 2m)^2 = 9$
两边开平方，得：
$x - 2m = ±3$
解得：
$x_1 = 3 + 2m$，$x_2 = -3 + 2m$
【答案】
$x_1=3+2m$，$x_2=-3+2m$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用题，重点考查配方法的操作步骤和完全平方公式的运用，属于常规基础题，只要掌握配方法的基本流程即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
用配方法解一元二次方程的核心步骤是：先将二次项系数化为1，再移项使方程左边为二次项和一次项、右边为常数项，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方，将左边化为完全平方式后开方求解。本题需先对原方程化简，再利用完全平方公式配方，进而求解关于x的方程。
【解析】
解：原方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 4mx + 4m^2 - 9 = 0$
移项，得：
$x^2 - 4mx + 4m^2 = 9$
根据完全平方公式，左边可化为：
$(x - 2m)^2 = 9$
两边开平方，得：
$x - 2m = ±3$
解得：
$x_1 = 3 + 2m$，$x_2 = -3 + 2m$
【答案】
$x_1=3+2m$，$x_2=-3+2m$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用题，重点考查配方法的操作步骤和完全平方公式的运用，属于常规基础题，只要掌握配方法的基本流程即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
8. 已知关于 $x$ 的方程 $4x^{2}-px+q=0$ 通过配方可变形为 $(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{33}{16}$,则 $\frac{q}{p}$ 的值为 (
A. $-4$
B. $4$
C. $-8$
D. $8$
A
)A. $-4$
B. $4$
C. $-8$
D. $8$
答案
8. A
解析
【分析】
要解决本题，需利用一元二次方程配方后的形式与原方程的系数对应关系：先将配方后的方程展开整理，使其与原方程结构一致，再通过对应系数相等求出参数$p$和$q$的值，最后计算$\frac{q}{p}$。
【解析】
首先将配方后的方程$(x-\frac{1}{4})^2=\frac{33}{16}$展开并整理：
左边展开得：$x^2 - 2· x· \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 = x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$，
移项得：$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{33}{16} = 0$，
化简得：$x^2 - \frac{1}{2}x - 2 = 0$，
两边同时乘以4，得到与原方程结构一致的形式：$4x^2 - 2x - 8 = 0$。
对比原方程$4x^2 - px + q = 0$，对应系数相等：
$-p = -2 \implies p=2$，
$q=-8$，
因此$\frac{q}{p} = \frac{-8}{2} = -4$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的配方；一元二次方程的系数对应
【点评】
本题考查一元二次方程的配方变形及系数匹配，属于基础题型，核心是掌握配方后方程的展开与原方程的系数对应关系，适合初中阶段学生巩固基础。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用一元二次方程配方后的形式与原方程的系数对应关系：先将配方后的方程展开整理，使其与原方程结构一致，再通过对应系数相等求出参数$p$和$q$的值，最后计算$\frac{q}{p}$。
【解析】
首先将配方后的方程$(x-\frac{1}{4})^2=\frac{33}{16}$展开并整理：
左边展开得：$x^2 - 2· x· \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 = x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$，
移项得：$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{33}{16} = 0$，
化简得：$x^2 - \frac{1}{2}x - 2 = 0$，
两边同时乘以4，得到与原方程结构一致的形式：$4x^2 - 2x - 8 = 0$。
对比原方程$4x^2 - px + q = 0$，对应系数相等：
$-p = -2 \implies p=2$，
$q=-8$，
因此$\frac{q}{p} = \frac{-8}{2} = -4$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的配方；一元二次方程的系数对应
【点评】
本题考查一元二次方程的配方变形及系数匹配，属于基础题型，核心是掌握配方后方程的展开与原方程的系数对应关系，适合初中阶段学生巩固基础。
【难度系数】
0.6
9. 将一元二次方程 $2x^{2}+12x=5$ 配方后得到 $2(x+c)^{2}=b$,则 $b+c=$
26
.答案
9. 26
解析
【分析】
要解决该问题，需运用一元二次方程的配方法，核心是通过提取二次项系数、添加一次项系数一半的平方配成完全平方式，再对应求出b、c的值，最终计算b+c。
【解析】
解：对一元二次方程 $2x^2 +12x=5$ 配方：
1. 提取左边的二次项系数：$2(x^2 +6x)=5$；
2. 配方：括号内一次项系数为6，其一半的平方为 $3^2=9$，为保持等式成立，左边需加上 $2×9$（因括号外有系数2），右边也需同步加 $2×9$，即：
$2(x^2 +6x +9)=5 + 18$；
3. 化简得：$2(x+3)^2=23$；
4. 对比 $2(x+c)^2=b$，可得 $c=3$，$b=23$；
5. 计算 $b+c=23+3=26$。
【答案】
26
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的配方法，关键是掌握配方时需在等式两边添加对应倍数的常数项，属于基础题型，需注意提取系数后的整体变化。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需运用一元二次方程的配方法，核心是通过提取二次项系数、添加一次项系数一半的平方配成完全平方式，再对应求出b、c的值，最终计算b+c。
【解析】
解：对一元二次方程 $2x^2 +12x=5$ 配方：
1. 提取左边的二次项系数：$2(x^2 +6x)=5$；
2. 配方：括号内一次项系数为6，其一半的平方为 $3^2=9$，为保持等式成立，左边需加上 $2×9$（因括号外有系数2），右边也需同步加 $2×9$，即：
$2(x^2 +6x +9)=5 + 18$；
3. 化简得：$2(x+3)^2=23$；
4. 对比 $2(x+c)^2=b$，可得 $c=3$，$b=23$；
5. 计算 $b+c=23+3=26$。
【答案】
26
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的配方法，关键是掌握配方时需在等式两边添加对应倍数的常数项，属于基础题型，需注意提取系数后的整体变化。
【难度系数】
0.6
10. [新定义]关于 $x$ 的一元二次方程 $a_{1}(x-m)^{2}+k=0$ 与 $a_{2}(x-m)^{2}+k=0$ 称为“同族二次方程”.如 $2(x-3)^{2}+4=0$ 与 $3(x-3)^{2}+4=0$ 是“同族二次方程”.现有关于 $x$ 的一元二次方程 $2(x-1)^{2}+1=0$ 与 $(a+2)x^{2}+(b-4)x+8=0$ 是“同族二次方程”,那么代数式 $ab$ 的值为
$-50$
.答案
10. $-50$
解析
【分析】首先明确“同族二次方程”的定义：两个一元二次方程化为顶点式后，括号内的$(x-m)$中的$m$和常数项$k$完全相同，仅二次项系数不同。已知第一个方程$2(x-1)^2+1=0$，可得其$m=1$，$k=1$，因此另一同族方程需满足顶点式中$m=1$、$k=1$。接下来将给定的一般式方程转化为顶点式，与标准同族形式对比，利用对应系数相等求出$a$、$b$的值，进而计算$ab$。
【解析】根据“同族二次方程”定义，另一方程需为$a_2(x-1)^2+1=0$的形式，将其展开得：$a_2x^2 -2a_2x + (a_2+1)=0$。已知另一方程为$(a+2)x^2+(b-4)x+8=0$，对应系数相等：
1. 常数项：$a_2+1=8$，解得$a_2=7$；
2. $x^2$项系数：$a+2=a_2$，代入$a_2=7$得$a=5$；
3. $x$项系数：$b-4=-2a_2$，代入$a_2=7$得$b=-10$；
因此$ab=5×(-10)=-50$。
【答案】$-50$
【知识点】一元二次方程新定义，二次函数顶点式
【点评】本题为新定义题型，核心是理解“同族二次方程”的特征，通过将一般式转化为顶点式，利用对应系数相等求解参数，需掌握顶点式的转化方法，难度中等。
【难度系数】0.4
【解析】根据“同族二次方程”定义，另一方程需为$a_2(x-1)^2+1=0$的形式，将其展开得：$a_2x^2 -2a_2x + (a_2+1)=0$。已知另一方程为$(a+2)x^2+(b-4)x+8=0$，对应系数相等：
1. 常数项：$a_2+1=8$，解得$a_2=7$；
2. $x^2$项系数：$a+2=a_2$，代入$a_2=7$得$a=5$；
3. $x$项系数：$b-4=-2a_2$，代入$a_2=7$得$b=-10$；
因此$ab=5×(-10)=-50$。
【答案】$-50$
【知识点】一元二次方程新定义，二次函数顶点式
【点评】本题为新定义题型，核心是理解“同族二次方程”的特征，通过将一般式转化为顶点式，利用对应系数相等求解参数，需掌握顶点式的转化方法，难度中等。
【难度系数】0.4
11. 当 $x$ 满足不等式组 $\begin{cases} x+1＜3x-3, \\ \frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4) \end{cases}$ 时,求方程 $2x^{2}-3x-5=0$ 的根.
答案
11. $x=\frac{5}{2}$
解析
【分析】本题需先求解一元一次不等式组确定x的取值范围，再求解一元二次方程的根，最后筛选出在不等式组解集中的根，即为所求结果。
【解析】1. 解不等式组：
解不等式 $x + 1 ＜ 3x - 3$：
移项得 $x - 3x ＜ -3 -1$，合并同类项得 $-2x ＜ -4$，两边除以$-2$（不等号方向改变），得 $x ＞ 2$。
解不等式 $\frac{1}{2}(x - 4) ＜ \frac{1}{3}(x - 4)$：
两边同乘6去分母得 $3(x - 4) ＜ 2(x - 4)$，展开得 $3x -12 ＜ 2x -8$，移项得 $3x -2x ＜ -8 +12$，得 $x ＜ 4$。
因此不等式组的解集为 $2 ＜ x ＜ 4$。
2. 解方程 $2x^2 -3x -5=0$：
用因式分解法，将方程变形为 $(2x -5)(x +1)=0$，则 $2x -5=0$ 或 $x +1=0$，解得 $x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-1$。
3. 筛选符合解集的根：
因为 $2 ＜ \frac{5}{2}=2.5 ＜4$，而 $-1 ＜2$，所以符合条件的根为 $x=\frac{5}{2}$。
【答案】$x=\frac{5}{2}$
【知识点】一元一次不等式组的解法，一元二次方程的因式分解法
【点评】本题是不等式组与一元二次方程的综合题，解题关键是先确定x的取值范围，再结合方程的根筛选结果，考查基础知识点的综合运用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】1. 解不等式组：
解不等式 $x + 1 ＜ 3x - 3$：
移项得 $x - 3x ＜ -3 -1$，合并同类项得 $-2x ＜ -4$，两边除以$-2$（不等号方向改变），得 $x ＞ 2$。
解不等式 $\frac{1}{2}(x - 4) ＜ \frac{1}{3}(x - 4)$：
两边同乘6去分母得 $3(x - 4) ＜ 2(x - 4)$，展开得 $3x -12 ＜ 2x -8$，移项得 $3x -2x ＜ -8 +12$，得 $x ＜ 4$。
因此不等式组的解集为 $2 ＜ x ＜ 4$。
2. 解方程 $2x^2 -3x -5=0$：
用因式分解法，将方程变形为 $(2x -5)(x +1)=0$，则 $2x -5=0$ 或 $x +1=0$，解得 $x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-1$。
3. 筛选符合解集的根：
因为 $2 ＜ \frac{5}{2}=2.5 ＜4$，而 $-1 ＜2$，所以符合条件的根为 $x=\frac{5}{2}$。
【答案】$x=\frac{5}{2}$
【知识点】一元一次不等式组的解法，一元二次方程的因式分解法
【点评】本题是不等式组与一元二次方程的综合题，解题关键是先确定x的取值范围，再结合方程的根筛选结果，考查基础知识点的综合运用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】0.6
12. 我们知道:$x^{2}-6x=(x^{2}-6x+9)-9=(x-3)^{2}-9$,$-x^{2}+10x=-(x^{2}-10x+25)+25=-(x-5)^{2}+25$,这种方法称为配方法.利用配方法回答下列问题:
(1) 按照上面的方法填空:$-a^{2}+8a=$
(2) 应用:如图,线段 $AB=6$,$M$ 是 $AB$ 上的一个动点,设 $AM=x$,以 $AM$ 为一边作正方形 $AMND$,再以 $MB$、$MN$ 为一组邻边作矩形 $MBCN$.问:当点 $M$ 在 $AB$ 上运动时,矩形 $MBCN$ 的面积是否存在最大值? 若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
(1) 按照上面的方法填空:$-a^{2}+8a=$
$-(a^{2}-8a+16)+16$
$=$ $-(a-4)^{2}+16$
.(2) 应用:如图,线段 $AB=6$,$M$ 是 $AB$ 上的一个动点,设 $AM=x$,以 $AM$ 为一边作正方形 $AMND$,再以 $MB$、$MN$ 为一组邻边作矩形 $MBCN$.问:当点 $M$ 在 $AB$ 上运动时,矩形 $MBCN$ 的面积是否存在最大值? 若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
答案
12. (1) $-(a^{2}-8a+16)+16$ $-(a-4)^{2}+16$
(2) 矩形MBCN的面积存在最大值,且最大值为9.
(2) 矩形MBCN的面积存在最大值,且最大值为9.
解析
【分析】
本题围绕配方法的应用展开，分为两小问。第(1)问需模仿示例对二次项系数为负的二次式配方，核心步骤是先提取负号，再对括号内的二次式构造完全平方并调整常数项；第(2)问需先根据矩形面积公式列出面积表达式，再用配方法转化为完全平方形式，结合平方的非负性求最值，需注意几何边长的取值范围。
【解析】
(1) 对$-a^2 +8a$进行配方：
第一步，提取负号，得$-a^2 +8a = -(a^2 -8a)$；
第二步，对括号内的$a^2 -8a$配方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-4)^2=16$，因此$a^2 -8a = (a^2 -8a +16) -16$；
第三步，代入原式化简：$-a^2 +8a = -[(a^2 -8a +16) -16] = -(a^2 -8a +16) +16 = -(a-4)^2 +16$。
(2) 设矩形MBCN的面积为$S$，已知$AB=6$，$AM=x$，则$MB=AB - AM=6 - x$，且矩形邻边$MN=AM=x$，根据矩形面积公式：
$S = MB × MN = (6 - x) · x = -x^2 +6x$；
对该式用配方法变形：
$S = -x^2 +6x = -(x^2 -6x) = -(x^2 -6x +9 -9) = -(x-3)^2 +9$；
因为$(x-3)^2 ≥ 0$，所以$-(x-3)^2 ≤ 0$，则$S = -(x-3)^2 +9 ≤ 9$，当$x=3$时，$S$取得最大值9。
【答案】
(1) $-(a^2 -8a +16)+16$；$-(a-4)^2 +16$
(2) 矩形MBCN的面积存在最大值，最大值为9
【知识点】
配方法、二次式最值、矩形面积计算
【点评】
本题是配方法的典型应用，将代数变形与几何面积问题结合，需掌握二次式配方的步骤，尤其是二次项系数为负时的处理，难度适中，侧重基础方法的掌握与应用。
【难度系数】
0.6
本题围绕配方法的应用展开，分为两小问。第(1)问需模仿示例对二次项系数为负的二次式配方，核心步骤是先提取负号，再对括号内的二次式构造完全平方并调整常数项；第(2)问需先根据矩形面积公式列出面积表达式，再用配方法转化为完全平方形式，结合平方的非负性求最值，需注意几何边长的取值范围。
【解析】
(1) 对$-a^2 +8a$进行配方：
第一步，提取负号，得$-a^2 +8a = -(a^2 -8a)$；
第二步，对括号内的$a^2 -8a$配方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-4)^2=16$，因此$a^2 -8a = (a^2 -8a +16) -16$；
第三步，代入原式化简：$-a^2 +8a = -[(a^2 -8a +16) -16] = -(a^2 -8a +16) +16 = -(a-4)^2 +16$。
(2) 设矩形MBCN的面积为$S$，已知$AB=6$，$AM=x$，则$MB=AB - AM=6 - x$，且矩形邻边$MN=AM=x$，根据矩形面积公式：
$S = MB × MN = (6 - x) · x = -x^2 +6x$；
对该式用配方法变形：
$S = -x^2 +6x = -(x^2 -6x) = -(x^2 -6x +9 -9) = -(x-3)^2 +9$；
因为$(x-3)^2 ≥ 0$，所以$-(x-3)^2 ≤ 0$，则$S = -(x-3)^2 +9 ≤ 9$，当$x=3$时，$S$取得最大值9。
【答案】
(1) $-(a^2 -8a +16)+16$；$-(a-4)^2 +16$
(2) 矩形MBCN的面积存在最大值，最大值为9
【知识点】
配方法、二次式最值、矩形面积计算
【点评】
本题是配方法的典型应用，将代数变形与几何面积问题结合，需掌握二次式配方的步骤，尤其是二次项系数为负时的处理，难度适中，侧重基础方法的掌握与应用。
【难度系数】
0.6
