1. 若一个三角形某一边长是 4,且它的面积小于 8,则此边上的高 $h$ 的取值范围是（）

A.$0＜h＜8$
B.$h＞0$
C.$4＜h＜8$
D.$0＜h＜4$

D 提示:根据题意,得1/2×4×h＜8,解得h＜4,所以0＜h＜4.

2. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°$, $AD$ 是高, $BE$ 是中线, $CF$ 是角平分线, $CF$ 交 $AD$ 于点 $G$, 交 $BE$ 于点 $H$. 下面说法正确的是（）
① $S_{△ ABE} = S_{△ BCE}$；
② $∠ AFG = ∠ AGF$；
③ $∠ FAG = 2∠ ACF$.

A.①②
B.①③
C.①②③
D.②③

C 提示:因为 BE 是△ABC 的中线,所以 AE=CE,所以 S△ABE=S△BCE,故①正确. 因为 AD 是△ABC 的高线,所以∠ADC=90°,所以∠ABC+∠BAD=90°. 因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠CAD=90°,所以∠ABC=∠CAD. 因为 CF 为△ABC 的角平分线,所以∠ACF=∠BCF=1/2∠ACB. 又因为∠AFG=∠ABC+∠BCF,∠AGF=∠ACF+∠CAD,所以∠AFG=∠AGF,故②正确. 因为∠BAD+∠CAD=90°=∠ACB+∠CAD,所以∠BAD=∠ACB,所以∠BAD=2∠ACF,即∠FAG=2∠ACF,故③正确. 综上,正确的是①②③.

3. 如图,$BE$是$△ ABC$的中线,$D$是边$BC$上一点,$BD=3CD$,$BE$,$AD$交于点$F$.若$△ ABC$的面积为20,则$△ BDF$与$△ AEF$的面积之差为（）

A.$\dfrac{10}{3}$
B.$5$
C.$4$
D.$3$

B 提示:因为 BE 是△ABC 的中线,BD=3CD,所以 S△ABE=1/2 S△ABC=10,S△ABD=3/4 S△ABC=15.
因为 S△ABD=S△ABF+S△BDF,S△ABE=S△ABF+S△AEF,所以 S△BDF - S△AEF = S△ABD - S△ABE=5.

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{\circ },AD⊥ BC$,$∠ ABC$的平分线$BE$交$AD$于点$F$,$AG$平分$∠ DAC$.现有下列结论:①$∠ BAD=∠ C$;②$∠ AEF=∠ AFE$; ③$∠ EBC=∠ C$;④$AG⊥ EF$.其中正确的结论有(填序号).

①②④ 提示:由∠ABC+∠C=90°=∠ABC+∠BAD,得∠BAD=∠C,故①正确. 因为 BE 平分∠ABC,所以∠ABE=∠EBC. 因为∠ABE+∠AEF=90°=∠EBC+∠DFB,所以∠AEF=∠DFB. 又因为∠DFB=∠AFE,所以∠AEF=∠AFE,故②正确. 因为∠BAD=∠C,所以只有当∠BAD=∠ABE=∠EBC=30°时,∠EBC=∠C,故③错误. 因为 AG 平分∠DAC,所以∠EAG=∠FAG. 因为∠FAE+∠AFE+∠AEF=180°,即2∠FAG+2∠AFE=180°,所以∠FAG+∠AFE=90°,所以AG⊥EF,故④正确. 综上,正确的结论有①②④.

5. 已知$AD,AE$分别是$△ ABC$的高和中线，若$BD=2,CD=1$，则$DE$的长为。

0.5或1.5 提示:如图1,当AD在三角形外部时,BC=BD-CD=1,所以 DE=BD-BE=BD-1/2 BC=2-0.5=1.5;如图2,当AD在三角形内部时,BC=BD+CD=3,所以 DE=BD-BE=BD-1/2 BC=2-1.5=0.5.

6. 如图,在$△ ABC$中,$D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^{2}$,则阴影部分的面积为$\mathrm{cm}^{2}$.

1 提示:因为 D 为 BC 的中点,所以 S△ABD=S△ACD=1/2 S△ABC=2 cm². 因为 E 为 AD 的中点,所以 S△CDE=S△ACE=1/2 S△ACD=1 cm². 因为 D 为 BC的中点,所以 S△BCE=2S△CDE=2 cm². 因为 F 为 EC的中点,所以 S△BEF=1/2 S△BCE=1 cm².

7. (2025 盐城市射阳县期中) 已知 $△ ABC$ 的面积是 60，请完成下列问题：
(1) 如图 1，若 $AD$ 是 $△ ABC$ 的边 $BC$ 上的中线，则 $△ ABD$ 的面积$△ ACD$ 的面积(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
(2) 如图 2，若 $CD,BE$ 分别是 $△ ABC$ 的边 $AB,AC$ 上的中线，求四边形 $ADOE$ 的面积可以用如下方法：连接 $AO$，由 $AD=DB$，得 $S_{△ ADO}=S_{△ BDO}$；同理 $S_{△ CEO}=S_{△ AEO}$. 设 $S_{△ BDO}=x$，$S_{△ CEO}=y$，则 $S_{△ ADO}=x$，$S_{△ AEO}=y$. 由题意得 $S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=30$，$S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=30$，故可列方程组 $\begin{cases}2x+y=30,\\ x+2y=30,\\\end{cases}$ 解得 $x,y$ 分别为 ______ ，从而得到四边形 $ADOE$ 的面积为 ______ .
(3) 如图 3，已知 $AD:DB=1:3$，$CE:AE=1:2$，请你计算四边形 $ADOE$ 的面积.

解:(1) = 提示:如图 1,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. 因为 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,所以BD=CD. 因为 S△ABD=1/2 BD·AE,S△ACD=1/2 CD·AE,所以 S△ABD=S△ACD.

(2) $\begin{cases} x=10,\\ y=10 \end{cases}$ 20
(3) 如图 2,连接 AO. 因为 AD:DB=1:3,所以 S△ADO=1/3 S△BDO. 因为 CE:AE=1:2,所以 S△CEO=1/2 S△AEO. 设 S△ADO=x,S△CEO=y,则 S△BDO=3x,S△AEO=2y. 由题意得 S△ABE=2/3 S△ABC = 40, S△ADC =1/4 S△ABC=15. 故可列方程组$\begin{cases} x+3y=15,\\4x+2y=40,\\\end{cases}$解得$\begin{cases} x=9,\\ y=2. \end{cases}$所以 S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2y=13.