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20. 将 $4$ 张长为 $a$、宽为 $b(a ＞ b)$ 的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为 $a + b$ 的正方形，图中空白部分的面积为 $S_{1}$，涂色部分的面积为 $S_{2}$. 若 $S_{1} = 2S_{2}$，则 $a$，$b$ 满足(
A.$2a = 5b$
B.$2a = 3b$
C.$a = 3b$
D.$a = 2b$
D
)A.$2a = 5b$
B.$2a = 3b$
C.$a = 3b$
D.$a = 2b$
答案
20. D
21. (新考向·数学文化)我国南宋时期数学家杨辉写下的《详解九章算法》一书中记载了 的展开式的系数规律(如图). 当代数式 的值为 时， 的值为(
A.$2$
B.$-4$
C.$2$ 或 $4$
D.$2$ 或 $-4$
C
)A.$2$
B.$-4$
C.$2$ 或 $4$
D.$2$ 或 $-4$
答案
21. C 解析: 根据题意, 得 $ (a + b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4} $, 所以 $ x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81 = x^{4} + 4x^{3} · (-3) + 6x^{2} · (-3)^{2} + 4x · (-3)^{3} + (-3)^{4} = (x - 3)^{4} $, 所以 $ (x - 3)^{4} = 1 $. 因为 $ (\pm 1)^{4} = 1 $, 所以 $ x - 3 = -1 $ 或 $ x - 3 = 1 $, 解得 $ x = 2 $ 或 4.
22. (1) 若 $x$，$y$ 满足 $x = 2y - 2$，$x + 2y = 3$，则代数式 $4y^{2} - x^{2}$ 的值为
(2) 若 $m + 2n = 1$，则 $3m^{2} + 6mn + 6n$ 的值为
6
；(2) 若 $m + 2n = 1$，则 $3m^{2} + 6mn + 6n$ 的值为
3
.答案
22. (1) 6
(2) 3 解析: 由 $ m + 2n = 1 $, 得 $ m = 1 - 2n $. 代入 $ 3m^{2} + 6mn + 6n $, 得 $ 3m^{2} + 6mn + 6n = 3(1 - 2n)^{2} + 6(1 - 2n)n + 6n = 3(1 - 4n + 4n^{2}) + 6n - 12n^{2} + 6n = 3 - 12n + 12n^{2} + 6n - 12n^{2} + 6n = 3 $.
(2) 3 解析: 由 $ m + 2n = 1 $, 得 $ m = 1 - 2n $. 代入 $ 3m^{2} + 6mn + 6n $, 得 $ 3m^{2} + 6mn + 6n = 3(1 - 2n)^{2} + 6(1 - 2n)n + 6n = 3(1 - 4n + 4n^{2}) + 6n - 12n^{2} + 6n = 3 - 12n + 12n^{2} + 6n - 12n^{2} + 6n = 3 $.
23. (2024·泗洪期末)若 $a + b = 7$，$ab = 12$，则代数式 $a^{2} + b^{2} - 4ab$ 的值为
$ -23 $
.答案
23. $ -23 $
24. 若 $m$ 满足 $(m - 2023)^{2} + (2024 - m)^{2} = 2025$，求 $(m - 2023)(2024 - m)$ 的值.
答案
24. 因为 $ (m - 2023)^{2} + (2024 - m)^{2} = 2025 $, 所以 $ [(m - 2023) + (2024 - m)]^{2} - 2(m - 2023)(2024 - m) = 2025 $, 即 $ 1 - 2(m - 2023)(2024 - m) = 2025 $, 所以 $ -2(m - 2023)(2024 - m) = 2025 - 1 $, 所以 $ (m - 2023)(2024 - m) = -1012 $
25. 某校有一块长为 $(2a + 6b)$ 米、宽为 $(2a + b)$ 米的长方形草坪，经该校校委会研究决定：现统一规划为在原基础上长增加 $(3a + b)$ 米，宽减少 $a$ 米，改造后得到一个新的长方形草坪，其中 $a ＞ b ＞ 0$.
(1) 请你求出新的长方形草坪的面积(要求把结果化简展开).
(2) 草坪改造后与改造前相比面积是增加了还是减少了？请通过计算说明理由.
(1) 请你求出新的长方形草坪的面积(要求把结果化简展开).
(2) 草坪改造后与改造前相比面积是增加了还是减少了？请通过计算说明理由.
答案
25. (1) 新的长方形草坪的面积为 $ [(2a + 6b) + (3a + b)] · [(2a + b) - a] = (2a + 6b + 3a + b)(2a + b - a) = (5a + 7b)(a + b) = (5a^{2} + 12ab + 7b^{2}) $ 平方米 (2) 草坪改造后与改造前相比面积增加了 理由: 由 (1) 得新的长方形草坪的面积为 $ (5a^{2} + 12ab + 7b^{2}) $ 平方米. 又因为原长方形草坪的面积为 $ (2a + 6b)(2a + b) = (4a^{2} + 14ab + 6b^{2}) $ 平方米, 所以 $ (5a^{2} + 12ab + 7b^{2}) - (4a^{2} + 14ab + 6b^{2}) = 5a^{2} + 12ab + 7b^{2} - 4a^{2} - 14ab - 6b^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} $. 又因为 $ a ＞ b ＞ 0 $, 所以 $ (a - b)^{2} ＞ 0 $, 所以草坪改造后与改造前相比面积增加了.
