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31. 已知$a - b = 2\sqrt{3} - 1$，$ab = \sqrt{3}$，则$(a + 1)(b - 1)$的值为（）
A.$-\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2} - 2$
D.$\sqrt{3} - 1$
A.$-\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2} - 2$
D.$\sqrt{3} - 1$
答案
A
解析
【分析】
要计算代数式$(a + 1)(b - 1)$的值，首先利用多项式乘多项式的法则将该式展开，再通过整理变形，把式子转化为含有已知条件$a-b$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算即可，计算时要注意去括号的符号规则。
【解析】
首先展开所求代数式：
$\begin{aligned}(a+1)(b-1)&=ab - a + b - 1\\&=ab - (a - b) - 1\end{aligned}$
已知$a - b = 2\sqrt{3} - 1$，$ab = \sqrt{3}$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - (2\sqrt{3} - 1) - 1\\&=\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 - 1\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；代数式化简求值；二次根式加减运算
【点评】
本题解题核心是将所求代数式展开变形，转化为包含已知条件的结构再代入计算，要注意去括号时符号的变化，避免因符号错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.75
要计算代数式$(a + 1)(b - 1)$的值，首先利用多项式乘多项式的法则将该式展开，再通过整理变形，把式子转化为含有已知条件$a-b$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算即可，计算时要注意去括号的符号规则。
【解析】
首先展开所求代数式：
$\begin{aligned}(a+1)(b-1)&=ab - a + b - 1\\&=ab - (a - b) - 1\end{aligned}$
已知$a - b = 2\sqrt{3} - 1$，$ab = \sqrt{3}$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - (2\sqrt{3} - 1) - 1\\&=\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 - 1\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；代数式化简求值；二次根式加减运算
【点评】
本题解题核心是将所求代数式展开变形，转化为包含已知条件的结构再代入计算，要注意去括号时符号的变化，避免因符号错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.75
32. 计算$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)^2$的结果是()
A.$\sqrt{2} + 1$
B.$3(\sqrt{2} - 1)$
C.$1$
D.$-1$
A.$\sqrt{2} + 1$
B.$3(\sqrt{2} - 1)$
C.$1$
D.$-1$
答案
A
解析
【分析】
观察式子结构，发现存在$(\sqrt{2}-1)$和$(\sqrt{2}+1)$两个符合平方差公式特征的因式，我们可以先将$(\sqrt{2}+1)^2$拆分为$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)$，利用乘法结合律优先计算$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$，通过平方差公式快速简化运算，无需直接展开完全平方，减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：根据乘方的定义，$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)$，因此原式可变形为：
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，先计算前两个因式的乘积：
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
将结果代入原式继续计算：
$1×(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1$
因此计算结果为$\sqrt{2}+1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，二次根式混合运算，乘法运算律
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，核心考查学生对运算公式的灵活运用能力，做题时先观察式子特征，优先选择简便方法运算，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
观察式子结构，发现存在$(\sqrt{2}-1)$和$(\sqrt{2}+1)$两个符合平方差公式特征的因式，我们可以先将$(\sqrt{2}+1)^2$拆分为$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)$，利用乘法结合律优先计算$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$，通过平方差公式快速简化运算，无需直接展开完全平方，减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：根据乘方的定义，$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)$，因此原式可变形为：
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，先计算前两个因式的乘积：
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
将结果代入原式继续计算：
$1×(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1$
因此计算结果为$\sqrt{2}+1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，二次根式混合运算，乘法运算律
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，核心考查学生对运算公式的灵活运用能力，做题时先观察式子特征，优先选择简便方法运算，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
33. 下列运算中错误的是()
A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题要求选出运算错误的选项，需结合二次根式的相关运算法则与性质，逐一验证每个选项的运算是否正确。解题思路为：先回忆二次根式的乘法法则、同类二次根式合并规则、分母有理化方法以及$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，再逐个分析四个选项，找出不符合规则的选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$，运算正确。
B. $2\sqrt{2}$和$3\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相加，二次根式部分不变，即$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，运算正确。
C. 进行分母有理化，给$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分子分母同乘$\sqrt{2}$，得$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，运算正确。
D. 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$，因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，去绝对值后为$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，不等于$\sqrt{2}-\sqrt{3}$，运算错误。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质，分母有理化
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的运算法则与性质，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时忽略被开方数的正负，直接去掉根号，需要牢记化简前先判断底数的正负，再结合绝对值的性质化简。
【难度系数】
0.7
本题要求选出运算错误的选项，需结合二次根式的相关运算法则与性质，逐一验证每个选项的运算是否正确。解题思路为：先回忆二次根式的乘法法则、同类二次根式合并规则、分母有理化方法以及$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，再逐个分析四个选项，找出不符合规则的选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$，运算正确。
B. $2\sqrt{2}$和$3\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相加，二次根式部分不变，即$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，运算正确。
C. 进行分母有理化，给$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分子分母同乘$\sqrt{2}$，得$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，运算正确。
D. 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$，因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，去绝对值后为$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，不等于$\sqrt{2}-\sqrt{3}$，运算错误。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质，分母有理化
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的运算法则与性质，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时忽略被开方数的正负，直接去掉根号，需要牢记化简前先判断底数的正负，再结合绝对值的性质化简。
【难度系数】
0.7
34. 计算$(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})(\sqrt{x} - \sqrt{x - 1})$的值是()
A.2
B.3
C.4
D.1
A.2
B.3
C.4
D.1
答案
D
解析
【分析】
观察待求式的结构，两个因式是相同两数的和与差的乘积形式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以先套用平方差公式简化运算，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）展开计算，最后化简就能得到结果。
【解析】
根据平方差公式计算：
原式$=(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-1})^2$
根据二次根式的取值要求，$\sqrt{x-1}$有意义则$x-1≥0$，满足$(\sqrt{a})^2=a$的使用条件，因此：
$(\sqrt{x})^2 = x$，$(\sqrt{x-1})^2 = x-1$
代入得：
原式$=x - (x-1) = x - x +1 =1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，将整式乘法公式迁移到二次根式运算中是解题的关键，运用平方差公式可有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.9
观察待求式的结构，两个因式是相同两数的和与差的乘积形式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以先套用平方差公式简化运算，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）展开计算，最后化简就能得到结果。
【解析】
根据平方差公式计算：
原式$=(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-1})^2$
根据二次根式的取值要求，$\sqrt{x-1}$有意义则$x-1≥0$，满足$(\sqrt{a})^2=a$的使用条件，因此：
$(\sqrt{x})^2 = x$，$(\sqrt{x-1})^2 = x-1$
代入得：
原式$=x - (x-1) = x - x +1 =1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，将整式乘法公式迁移到二次根式运算中是解题的关键，运用平方差公式可有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.9
35. 若$a=3-\sqrt{10}$，则代数式$a^2 -6a -2$的值为.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
观察已知条件和待求代数式的结构，若直接将$a=3-\sqrt{10}$代入计算，运算量较大；待求式的前两项$a^2-6a$可凑出完全平方形式，和$a$的表达式变形后的结果匹配，因此优先选择整体代入法简化运算。具体思路为：先将$a=3-\sqrt{10}$移项后两边平方，求出$a^2-6a$的值，再代入待求代数式计算即可。
【解析】
已知$a = 3 - \sqrt{10}$，移项得：
$a - 3 = -\sqrt{10}$
对等式两边同时平方，根据完全平方公式和二次根式的性质：
$(a - 3)^2 = (-\sqrt{10})^2$
展开得：$a^2 - 6a + 9 = 10$
移项计算得：$a^2 - 6a = 10 - 9 = 1$
将$a^2 - 6a = 1$代入代数式$a^2 - 6a - 2$：
原式$=1 - 2 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的性质；整体代入求值
【点评】
本题属于二次根式相关的基础运算题，运用整体代入的思路可避免直接代入的繁琐计算，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
观察已知条件和待求代数式的结构，若直接将$a=3-\sqrt{10}$代入计算，运算量较大；待求式的前两项$a^2-6a$可凑出完全平方形式，和$a$的表达式变形后的结果匹配，因此优先选择整体代入法简化运算。具体思路为：先将$a=3-\sqrt{10}$移项后两边平方，求出$a^2-6a$的值，再代入待求代数式计算即可。
【解析】
已知$a = 3 - \sqrt{10}$，移项得：
$a - 3 = -\sqrt{10}$
对等式两边同时平方，根据完全平方公式和二次根式的性质：
$(a - 3)^2 = (-\sqrt{10})^2$
展开得：$a^2 - 6a + 9 = 10$
移项计算得：$a^2 - 6a = 10 - 9 = 1$
将$a^2 - 6a = 1$代入代数式$a^2 - 6a - 2$：
原式$=1 - 2 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的性质；整体代入求值
【点评】
本题属于二次根式相关的基础运算题，运用整体代入的思路可避免直接代入的繁琐计算，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
36. 计算：$(2\sqrt{6} - 5)^{10} · (5 + 2\sqrt{6})^{10} = \underline{\hspace{5cm}}$
答案
解：
原式$=[(2\sqrt{6}-5)(2\sqrt{6}+5)]^{10}$
$=[(2\sqrt{6})^2 - 5^2]^{10}$
$=(24 - 25)^{10}$
$=(-1)^{10}$
$=1$
原式$=[(2\sqrt{6}-5)(2\sqrt{6}+5)]^{10}$
$=[(2\sqrt{6})^2 - 5^2]^{10}$
$=(24 - 25)^{10}$
$=(-1)^{10}$
$=1$
解析
【分析】
观察待求式的结构，两个乘方的指数相同，底数满足两数差与两数和的特征，解题思路如下：第一步，逆用积的乘方运算性质$a^n· b^n=(ab)^n$，将原式转化为两个底数乘积的10次方，避免直接计算高次幂；第二步，利用平方差公式计算两个底数的乘积，简化运算；第三步，计算最终的乘方结果即可。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(2\sqrt{6}-5)(2\sqrt{6}+5)]^{10}\\&=[(2\sqrt{6})^2 - 5^2]^{10}\\&=(24 - 25)^{10}\\&=(-1)^{10}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式、二次根式乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算性质与乘法公式在二次根式运算中的综合应用，解题核心是观察式子的结构特征，灵活选用公式简化计算，避免繁琐的高次幂运算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
观察待求式的结构，两个乘方的指数相同，底数满足两数差与两数和的特征，解题思路如下：第一步，逆用积的乘方运算性质$a^n· b^n=(ab)^n$，将原式转化为两个底数乘积的10次方，避免直接计算高次幂；第二步，利用平方差公式计算两个底数的乘积，简化运算；第三步，计算最终的乘方结果即可。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(2\sqrt{6}-5)(2\sqrt{6}+5)]^{10}\\&=[(2\sqrt{6})^2 - 5^2]^{10}\\&=(24 - 25)^{10}\\&=(-1)^{10}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式、二次根式乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算性质与乘法公式在二次根式运算中的综合应用，解题核心是观察式子的结构特征，灵活选用公式简化计算，避免繁琐的高次幂运算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
37. 已知$xy=3$,那么$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}}$的值是.
答案
解：
由二次根式有意义的条件可知，$\frac{y}{x}≥0$，$\frac{x}{y}≥0$，且$x≠0$，$y≠0$，
又$xy=3＞0$，因此$x$与$y$同号。
对原式变形化简：
$\begin{aligned}x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}&=x·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} + y·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}}\\&=x·\frac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\frac{\sqrt{xy}}{|y|}\end{aligned}$
1. 当$x＞0,y＞0$时，$|x|=x$，$|y|=y$，代入得：
$\mathrm{原式}=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}=2\sqrt{3}$
2. 当$x＜0,y＜0$时，$|x|=-x$，$|y|=-y$，代入得：
$\mathrm{原式}=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=-2\sqrt{3}$
综上，该式的值是$\boldsymbol{\pm2\sqrt{3}}$。
由二次根式有意义的条件可知，$\frac{y}{x}≥0$，$\frac{x}{y}≥0$，且$x≠0$，$y≠0$，
又$xy=3＞0$，因此$x$与$y$同号。
对原式变形化简：
$\begin{aligned}x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}&=x·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} + y·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}}\\&=x·\frac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\frac{\sqrt{xy}}{|y|}\end{aligned}$
1. 当$x＞0,y＞0$时，$|x|=x$，$|y|=y$，代入得：
$\mathrm{原式}=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}=2\sqrt{3}$
2. 当$x＜0,y＜0$时，$|x|=-x$，$|y|=-y$，代入得：
$\mathrm{原式}=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=-2\sqrt{3}$
综上，该式的值是$\boldsymbol{\pm2\sqrt{3}}$。
解析
【分析】
解题时首先要考虑二次根式有意义的条件，即被开方数非负且分母不为0，由此可判断x、y的符号关系，再结合已知xy=3＞0，验证x、y同号。接下来化简原式时要用到二次根式的核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，不能直接将根号内的字母开方后忽略绝对值，最后根据x、y的正负性分类讨论去绝对值，代入xy=3计算即可得到结果。
【解析】
由二次根式有意义的条件可知，$\frac{y}{x}≥0$，$\frac{x}{y}≥0$，且$x≠0$，$y≠0$，
又$xy=3＞0$，因此$x$与$y$同号。
对原式变形化简：
$\begin{aligned}x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}&=x·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} + y·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}}\\&=x·\frac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\frac{\sqrt{xy}}{|y|}\end{aligned}$
1. 当$x＞0,y＞0$时，$|x|=x$，$|y|=y$，代入得：
$\mathrm{原式}=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}=2\sqrt{3}$
2. 当$x＜0,y＜0$时，$|x|=-x$，$|y|=-y$，代入得：
$\mathrm{原式}=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=-2\sqrt{3}$
综上，该式的值是$\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm2\sqrt{3}}$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的性质与化简 3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，易错点是化简时忽略开平方结果的非负性，遗漏x、y同为负数的情况导致漏解，解题时需先确定字母的符号范围，再分类讨论计算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要考虑二次根式有意义的条件，即被开方数非负且分母不为0，由此可判断x、y的符号关系，再结合已知xy=3＞0，验证x、y同号。接下来化简原式时要用到二次根式的核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，不能直接将根号内的字母开方后忽略绝对值，最后根据x、y的正负性分类讨论去绝对值，代入xy=3计算即可得到结果。
【解析】
由二次根式有意义的条件可知，$\frac{y}{x}≥0$，$\frac{x}{y}≥0$，且$x≠0$，$y≠0$，
又$xy=3＞0$，因此$x$与$y$同号。
对原式变形化简：
$\begin{aligned}x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}&=x·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} + y·\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}}\\&=x·\frac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\frac{\sqrt{xy}}{|y|}\end{aligned}$
1. 当$x＞0,y＞0$时，$|x|=x$，$|y|=y$，代入得：
$\mathrm{原式}=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}=2\sqrt{3}$
2. 当$x＜0,y＜0$时，$|x|=-x$，$|y|=-y$，代入得：
$\mathrm{原式}=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=-2\sqrt{3}$
综上，该式的值是$\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm2\sqrt{3}}$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的性质与化简 3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，易错点是化简时忽略开平方结果的非负性，遗漏x、y同为负数的情况导致漏解，解题时需先确定字母的符号范围，再分类讨论计算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
38.若$x=\sqrt{2}-1$,则$x^2+2x+1$的值是.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时可从两个思路切入：一是直接将x=√2-1代入代数式计算，二是先观察代数式结构，发现x²+2x+1符合完全平方和公式的形式，先因式分解为(x+1)²后再代入计算，后者计算更简便不易出错。优先选择先化简后代入的方法：第一步利用完全平方公式因式分解所求代数式，第二步代入x的数值进行二次根式的运算即可得到结果。
【解析】
方法一（先化简再代入）：
根据完全平方和公式，可得：
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
将$x=\sqrt{2}-1$代入上式：
原式$=(\sqrt{2}-1+1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
方法二（直接代入计算）：
将$x=\sqrt{2}-1$直接代入代数式：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)^2+2×(\sqrt{2}-1)+1\\&=(2-2\sqrt{2}+1)+(2\sqrt{2}-2)+1\\&=3-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2+1\\&=2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，考查代数式的求值技巧，先利用乘法公式化简代数式再代入计算，可有效简化运算步骤，降低出错概率，是二次根式相关计算中常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时可从两个思路切入：一是直接将x=√2-1代入代数式计算，二是先观察代数式结构，发现x²+2x+1符合完全平方和公式的形式，先因式分解为(x+1)²后再代入计算，后者计算更简便不易出错。优先选择先化简后代入的方法：第一步利用完全平方公式因式分解所求代数式，第二步代入x的数值进行二次根式的运算即可得到结果。
【解析】
方法一（先化简再代入）：
根据完全平方和公式，可得：
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
将$x=\sqrt{2}-1$代入上式：
原式$=(\sqrt{2}-1+1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
方法二（直接代入计算）：
将$x=\sqrt{2}-1$直接代入代数式：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)^2+2×(\sqrt{2}-1)+1\\&=(2-2\sqrt{2}+1)+(2\sqrt{2}-2)+1\\&=3-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2+1\\&=2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，考查代数式的求值技巧，先利用乘法公式化简代数式再代入计算，可有效简化运算步骤，降低出错概率，是二次根式相关计算中常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
39.已知$a=3+2\sqrt{2},b=3-2\sqrt{2}$,则$a^2b - ab^2 =$ .
答案
$\boldsymbol{4\sqrt{2}}$
解析
【分析】
本题若直接代入a、b的值计算$a^2b - ab^2$，运算量较大且容易出错。解题时先观察所求代数式的结构，可先提取公因式$ab$，将代数式因式分解为$ab(a-b)$，再分别计算$ab$和$a-b$的值，最后代入计算即可，能大幅简化运算过程。计算$ab$时可利用平方差公式快速得出结果，符合整式运算和二次根式运算的规律。
【解析】
首先对所求代数式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
分别计算$ab$和$a - b$的值：
1. 计算$ab$：
$ab=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$，利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，可得：
$ab=3^2 - (2\sqrt{2})^2=9 - 8=1$
2. 计算$a - b$：
$a - b=(3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
将$ab=1$、$a - b=4\sqrt{2}$代入因式分解后的式子：
$a^2b - ab^2=ab(a - b)=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题目，核心技巧是先对所求代数式因式分解再代入数值计算，避免了高次运算，既提高计算效率也能降低出错概率，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.75
本题若直接代入a、b的值计算$a^2b - ab^2$，运算量较大且容易出错。解题时先观察所求代数式的结构，可先提取公因式$ab$，将代数式因式分解为$ab(a-b)$，再分别计算$ab$和$a-b$的值，最后代入计算即可，能大幅简化运算过程。计算$ab$时可利用平方差公式快速得出结果，符合整式运算和二次根式运算的规律。
【解析】
首先对所求代数式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
分别计算$ab$和$a - b$的值：
1. 计算$ab$：
$ab=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$，利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，可得：
$ab=3^2 - (2\sqrt{2})^2=9 - 8=1$
2. 计算$a - b$：
$a - b=(3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
将$ab=1$、$a - b=4\sqrt{2}$代入因式分解后的式子：
$a^2b - ab^2=ab(a - b)=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题目，核心技巧是先对所求代数式因式分解再代入数值计算，避免了高次运算，既提高计算效率也能降低出错概率，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.75
40. 化简下列各式.
(1) $\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$;
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$;
(3) $\sqrt{81a^3} - 5a\sqrt{a} + \frac{3}{a}\sqrt{4a^5}$;
(4) $-3\sqrt{\frac{3m^2 - 3n^2}{2a^2}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{m + n}{\mathrm{$
$}}} × \sqrt{\frac{a^2}{m - n}} \ (a＞0, m＞n＞0)$.
(1) $\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$;
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$;
(3) $\sqrt{81a^3} - 5a\sqrt{a} + \frac{3}{a}\sqrt{4a^5}$;
(4) $-3\sqrt{\frac{3m^2 - 3n^2}{2a^2}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{m + n}{\mathrm{$
$}}} × \sqrt{\frac{a^2}{m - n}} \ (a＞0, m＞n＞0)$.答案
解：
(1)
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + (3-\sqrt{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3×1 + 3×\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\end{aligned}$
(2) 由二次根式有意义可知$x＞0$，
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}·3\sqrt{x} + 6·\frac{\sqrt{x}}{2} - 2x·\frac{\sqrt{x}}{x}\\&=2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\\&=3\sqrt{x}\end{aligned}$
(3) 由二次根式有意义可知$a＞0$，
$\begin{aligned}原式&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + \frac{3}{a}·2a^2\sqrt{a}\\&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + 6a\sqrt{a}\\&=10a\sqrt{a}\end{aligned}$
(4) 已知$a＞0,m＞n＞0$，
$\begin{aligned}原式&=-3×\frac{2}{3}·\sqrt{\frac{3(m^2-n^2)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3(m+n)(m-n)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3a^2}{2}}\\&=-2·\frac{a\sqrt{6}}{2}\\&=-a\sqrt{6}\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + (3-\sqrt{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3×1 + 3×\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\end{aligned}$
(2) 由二次根式有意义可知$x＞0$，
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}·3\sqrt{x} + 6·\frac{\sqrt{x}}{2} - 2x·\frac{\sqrt{x}}{x}\\&=2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\\&=3\sqrt{x}\end{aligned}$
(3) 由二次根式有意义可知$a＞0$，
$\begin{aligned}原式&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + \frac{3}{a}·2a^2\sqrt{a}\\&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + 6a\sqrt{a}\\&=10a\sqrt{a}\end{aligned}$
(4) 已知$a＞0,m＞n＞0$，
$\begin{aligned}原式&=-3×\frac{2}{3}·\sqrt{\frac{3(m^2-n^2)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3(m+n)(m-n)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3a^2}{2}}\\&=-2·\frac{a\sqrt{6}}{2}\\&=-a\sqrt{6}\end{aligned}$
解析
【分析】
这几道题都是二次根式的混合运算题，解题思路如下：1. 先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，方便去根号时判断符号；2. 遵循运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内的；3. 二次根式乘除运算时，系数单独相乘除，被开方数按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$合并后再化简；4. 加减运算时先把每个根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；5. 遇到可因式分解的被开方数（如平方差公式形式）先因式分解，方便约分化简。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + (3-\sqrt{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3×1 + 3×\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\end{aligned}$
(2) 由二次根式有意义可知$x＞0$，
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}·3\sqrt{x} + 6·\frac{\sqrt{x}}{2} - 2x·\frac{\sqrt{x}}{x}\\&=2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\\&=3\sqrt{x}\end{aligned}$
(3) 由二次根式有意义可知$a＞0$，
$\begin{aligned}原式&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + \frac{3}{a}·2a^2\sqrt{a}\\&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + 6a\sqrt{a}\\&=10a\sqrt{a}\end{aligned}$
(4) 已知$a＞0,m＞n＞0$，
$\begin{aligned}原式&=-3×\frac{2}{3}·\sqrt{\frac{3(m^2-n^2)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3(m+n)(m-n)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3a^2}{2}}\\&=-2·\frac{a\sqrt{6}}{2}\\&=-a\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2$；(2) $3\sqrt{x}$；(3) $10a\sqrt{a}$；(4) $-a\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
这组题目是二次根式运算的常规题型，侧重考查二次根式的性质、运算法则的熟练度，运算时需注意先判断字母的取值范围，避免去根号时符号出错，乘除运算时优先合并被开方数再化简可减少计算量，同时要注意最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
这几道题都是二次根式的混合运算题，解题思路如下：1. 先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，方便去根号时判断符号；2. 遵循运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内的；3. 二次根式乘除运算时，系数单独相乘除，被开方数按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$合并后再化简；4. 加减运算时先把每个根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；5. 遇到可因式分解的被开方数（如平方差公式形式）先因式分解，方便约分化简。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + (3-\sqrt{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3×1 + 3×\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1\\&=4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\end{aligned}$
(2) 由二次根式有意义可知$x＞0$，
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}·3\sqrt{x} + 6·\frac{\sqrt{x}}{2} - 2x·\frac{\sqrt{x}}{x}\\&=2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\\&=3\sqrt{x}\end{aligned}$
(3) 由二次根式有意义可知$a＞0$，
$\begin{aligned}原式&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + \frac{3}{a}·2a^2\sqrt{a}\\&=9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + 6a\sqrt{a}\\&=10a\sqrt{a}\end{aligned}$
(4) 已知$a＞0,m＞n＞0$，
$\begin{aligned}原式&=-3×\frac{2}{3}·\sqrt{\frac{3(m^2-n^2)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3(m+n)(m-n)}{2a^2}·\frac{a^2}{m+n}·\frac{a^2}{m-n}}\\&=-2·\sqrt{\frac{3a^2}{2}}\\&=-2·\frac{a\sqrt{6}}{2}\\&=-a\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $4\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2$；(2) $3\sqrt{x}$；(3) $10a\sqrt{a}$；(4) $-a\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
这组题目是二次根式运算的常规题型，侧重考查二次根式的性质、运算法则的熟练度，运算时需注意先判断字母的取值范围，避免去根号时符号出错，乘除运算时优先合并被开方数再化简可减少计算量，同时要注意最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
