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23. 在下列各式中，化简正确的是()
A.$\sqrt{\frac{5}{3}} = 3\sqrt{15}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a^4b} = a^2\sqrt{b}$
D.$\sqrt{x^3 - x^2} = x\sqrt{x - 1}$
A.$\sqrt{\frac{5}{3}} = 3\sqrt{15}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a^4b} = a^2\sqrt{b}$
D.$\sqrt{x^3 - x^2} = x\sqrt{x - 1}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简判断，解题时需结合二次根式的核心性质逐一验证选项：首先明确二次根式的性质：1. 算术平方根的结果为非负数；2. 被开方数必须是非负数；3. $\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），依次对四个选项的化简过程分析即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}≠3\sqrt{15}$，故A错误；
选项B：$\sqrt{\frac{1}{2}}$表示$\frac{1}{2}$的算术平方根，结果为非负数，化简得$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，不能带$\pm$，故B错误；
选项C：$\sqrt{a^4b}=\sqrt{(a^2)^2· b}$，其中$a^2≥0$，根据二次根式性质可得$\sqrt{(a^2)^2· b}=\sqrt{(a^2)^2}·\sqrt{b}=a^2\sqrt{b}$，故C正确；
选项D：$\sqrt{x^3-x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}$，首先被开方数需满足$x^2(x-1)≥0$，即$x≥1$或$x=0$；当$x=0$时，原式等于0，但右边$x\sqrt{x-1}$的被开方数$x-1=-1$无意义，正确化简应为$|x|\sqrt{x-1}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的典型基础题，解题时要注意两点：一是算术平方根的结果一定是非负的，不要错加正负号；二是化简时要保证原式和化简后的式子定义域一致，处理含字母的平方开根号问题时要注意绝对值的使用。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的化简判断，解题时需结合二次根式的核心性质逐一验证选项：首先明确二次根式的性质：1. 算术平方根的结果为非负数；2. 被开方数必须是非负数；3. $\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），依次对四个选项的化简过程分析即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}≠3\sqrt{15}$，故A错误；
选项B：$\sqrt{\frac{1}{2}}$表示$\frac{1}{2}$的算术平方根，结果为非负数，化简得$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，不能带$\pm$，故B错误；
选项C：$\sqrt{a^4b}=\sqrt{(a^2)^2· b}$，其中$a^2≥0$，根据二次根式性质可得$\sqrt{(a^2)^2· b}=\sqrt{(a^2)^2}·\sqrt{b}=a^2\sqrt{b}$，故C正确；
选项D：$\sqrt{x^3-x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}$，首先被开方数需满足$x^2(x-1)≥0$，即$x≥1$或$x=0$；当$x=0$时，原式等于0，但右边$x\sqrt{x-1}$的被开方数$x-1=-1$无意义，正确化简应为$|x|\sqrt{x-1}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的典型基础题，解题时要注意两点：一是算术平方根的结果一定是非负的，不要错加正负号；二是化简时要保证原式和化简后的式子定义域一致，处理含字母的平方开根号问题时要注意绝对值的使用。
【难度系数】
0.7
24. 如果最简根式 $-\sqrt{a+5}$ 与 $\sqrt[2a - b]{9 - b}$ 能够进行合并，那么 $a - b =$ .
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确两个最简根式能合并的前提是它们是同类二次根式，同类二次根式需要满足两个条件：①根指数相同，都为2；②被开方数相同。我们可以根据这两个条件列出关于a、b的方程组，解出a、b的值后就能计算a - b的结果。
【解析】
∵ 最简根式 $-\sqrt{a+5}$ 与 $\sqrt[2a - b]{9 - b}$ 能够进行合并
∴ 二者是同类二次根式，满足：
1. 根指数相等：$2a - b = 2$（二次根式的根指数为2）
2. 被开方数相等：$a + 5 = 9 - b$
整理第二个等式得：$a + b = 4$
联立方程组 $\begin{cases}2a - b = 2 \\ a + b = 4 \end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：$3a = 6$，解得 $a = 2$
把 $a = 2$ 代入 $a + b = 4$，得 $2 + b = 4$，解得 $b = 2$
∴ $a - b = 2 - 2 = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
同类二次根式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题解题的核心是掌握能合并的最简二次根式的特征，即根指数相同且被开方数相同，据此列方程求解即可，需要注意不要遗漏根指数为2这个隐含条件。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先明确两个最简根式能合并的前提是它们是同类二次根式，同类二次根式需要满足两个条件：①根指数相同，都为2；②被开方数相同。我们可以根据这两个条件列出关于a、b的方程组，解出a、b的值后就能计算a - b的结果。
【解析】
∵ 最简根式 $-\sqrt{a+5}$ 与 $\sqrt[2a - b]{9 - b}$ 能够进行合并
∴ 二者是同类二次根式，满足：
1. 根指数相等：$2a - b = 2$（二次根式的根指数为2）
2. 被开方数相等：$a + 5 = 9 - b$
整理第二个等式得：$a + b = 4$
联立方程组 $\begin{cases}2a - b = 2 \\ a + b = 4 \end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：$3a = 6$，解得 $a = 2$
把 $a = 2$ 代入 $a + b = 4$，得 $2 + b = 4$，解得 $b = 2$
∴ $a - b = 2 - 2 = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
同类二次根式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题解题的核心是掌握能合并的最简二次根式的特征，即根指数相同且被开方数相同，据此列方程求解即可，需要注意不要遗漏根指数为2这个隐含条件。
【难度系数】
0.75
25.计算:$(2\sqrt{7} + 5\sqrt{2})(2\sqrt{7} - 5\sqrt{2}) = \_\_\_\_\_\_$
答案
解：
利用平方差公式计算：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - (5\sqrt{2})^2$
$= 4×7 - 25×2$
$= 28 - 50$
$= -22$
利用平方差公式计算：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - (5\sqrt{2})^2$
$= 4×7 - 25×2$
$= 28 - 50$
$= -22$
解析
【分析】
观察算式的结构，两个因式中$2\sqrt{7}$是相同项，$5\sqrt{2}$和$-5\sqrt{2}$是互为相反数的项，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以直接套用平方差公式简化计算，无需逐项展开相乘。计算时要注意给系数和二次根式分别平方，再按照有理数的运算规则计算即可。
【解析】
利用平方差公式计算：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - (5\sqrt{2})^2$
$= 2^2×(\sqrt{7})^2 - 5^2×(\sqrt{2})^2$
$= 4×7 - 25×2$
$= 28 - 50$
$= -22$
【答案】
$-22$
【知识点】
平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，熟练识别乘法公式的结构特征，合理选用公式可以简化运算过程，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
观察算式的结构，两个因式中$2\sqrt{7}$是相同项，$5\sqrt{2}$和$-5\sqrt{2}$是互为相反数的项，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以直接套用平方差公式简化计算，无需逐项展开相乘。计算时要注意给系数和二次根式分别平方，再按照有理数的运算规则计算即可。
【解析】
利用平方差公式计算：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - (5\sqrt{2})^2$
$= 2^2×(\sqrt{7})^2 - 5^2×(\sqrt{2})^2$
$= 4×7 - 25×2$
$= 28 - 50$
$= -22$
【答案】
$-22$
【知识点】
平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，熟练识别乘法公式的结构特征，合理选用公式可以简化运算过程，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
26. 计算：$(3 + 2\sqrt{5})^2 =$ ，$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2 =$ 。
答案
$\boldsymbol{29+12\sqrt{5}}$，$\boldsymbol{66-36\sqrt{2}}$
解析
【分析】
这两道题考查二次根式的完全平方运算，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，先分别确定两个式子中对应公式里的a和b，再分别计算平方项、交叉项，最后合并同类项得到结果，计算时要遵守二次根式的乘方、乘法运算规则，注意系数和符号不要出错。
【解析】
1. 计算$(3 + 2\sqrt{5})^2$：
套用完全平方和公式，令$a=3$，$b=2\sqrt{5}$，则：
$\begin{aligned}(3 + 2\sqrt{5})^2&=3^2 + 2×3×2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2\\&=9 + 12\sqrt{5} + 4×5\\&=9 + 12\sqrt{5} + 20\\&=29+12\sqrt{5}\end{aligned}$
2. 计算$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2$：
套用完全平方差公式，令$a=3\sqrt{6}$，$b=2\sqrt{3}$，则：
$\begin{aligned}(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2&=(3\sqrt{6})^2 - 2×3\sqrt{6}×2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\\&=9×6 - 12\sqrt{18} + 4×3\\&=54 - 12×3\sqrt{2} + 12\\&=66-36\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$29+12\sqrt{5}$，$66-36\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式乘方运算，二次根式乘法运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心考查完全平方公式和二次根式运算法则的结合应用，计算时只要注意核对系数、化简二次根式，即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
这两道题考查二次根式的完全平方运算，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，先分别确定两个式子中对应公式里的a和b，再分别计算平方项、交叉项，最后合并同类项得到结果，计算时要遵守二次根式的乘方、乘法运算规则，注意系数和符号不要出错。
【解析】
1. 计算$(3 + 2\sqrt{5})^2$：
套用完全平方和公式，令$a=3$，$b=2\sqrt{5}$，则：
$\begin{aligned}(3 + 2\sqrt{5})^2&=3^2 + 2×3×2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2\\&=9 + 12\sqrt{5} + 4×5\\&=9 + 12\sqrt{5} + 20\\&=29+12\sqrt{5}\end{aligned}$
2. 计算$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2$：
套用完全平方差公式，令$a=3\sqrt{6}$，$b=2\sqrt{3}$，则：
$\begin{aligned}(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2&=(3\sqrt{6})^2 - 2×3\sqrt{6}×2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\\&=9×6 - 12\sqrt{18} + 4×3\\&=54 - 12×3\sqrt{2} + 12\\&=66-36\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$29+12\sqrt{5}$，$66-36\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式乘方运算，二次根式乘法运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心考查完全平方公式和二次根式运算法则的结合应用，计算时只要注意核对系数、化简二次根式，即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
27. 计算：$(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-1)^{2}=$.
答案
$\boldsymbol{4\sqrt{3}-24}$
解析
【分析】
观察算式结构，两部分分别符合平方差公式和完全平方公式的形式，解题思路为：第一步利用平方差公式计算$(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})$，第二步利用完全平方公式计算$(2\sqrt{3}-1)^2$，第三步去括号（注意括号前是负号，括号内各项要变号），最后合并同类项和同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，计算如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1^2-(2\sqrt{3})^2-[(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2]\\&=1-12-(12-4\sqrt{3}+1)\\&=-11-(13-4\sqrt{3})\\&=-11-13+4\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}-24\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{3}-24$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式的运算，合理运用乘法公式能大幅简化计算过程，解题时要特别注意去括号时的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
观察算式结构，两部分分别符合平方差公式和完全平方公式的形式，解题思路为：第一步利用平方差公式计算$(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})$，第二步利用完全平方公式计算$(2\sqrt{3}-1)^2$，第三步去括号（注意括号前是负号，括号内各项要变号），最后合并同类项和同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，计算如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1^2-(2\sqrt{3})^2-[(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2]\\&=1-12-(12-4\sqrt{3}+1)\\&=-11-(13-4\sqrt{3})\\&=-11-13+4\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}-24\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{3}-24$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式的运算，合理运用乘法公式能大幅简化计算过程，解题时要特别注意去括号时的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
28. 计算：$\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{3}} - 2\sqrt{\frac{1}{2}} =$ .
答案
解：先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
最终结果：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
最终结果：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
本题是二次根式的加减运算题，解题需遵循“先化简、再合并”的思路：首先要把算式中每个二次根式都化为最简二次根式，化简被开方数为分数的根式时要做好分母有理化，带系数的根式要注意系数与化简结果的乘法运算；化简完成后，找出被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减、被开方数保持不变，最后合并得到最终结果。
【解析】
解：先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查最简二次根式的化简能力和同类二次根式的合并能力，计算时需注意分母有理化的规范，避免系数运算或化简失误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的加减运算题，解题需遵循“先化简、再合并”的思路：首先要把算式中每个二次根式都化为最简二次根式，化简被开方数为分数的根式时要做好分母有理化，带系数的根式要注意系数与化简结果的乘法运算；化简完成后，找出被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减、被开方数保持不变，最后合并得到最终结果。
【解析】
解：先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查最简二次根式的化简能力和同类二次根式的合并能力，计算时需注意分母有理化的规范，避免系数运算或化简失误。
【难度系数】
0.7
29. 化简 $3\sqrt{8} - 5\sqrt{32}$ 的结果为 .
答案
解：
先将各二次根式化为最简二次根式：
$3\sqrt{8}=3×\sqrt{4×2}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32}=5×\sqrt{16×2}=5×4\sqrt{2}=20\sqrt{2}$
原式$=6\sqrt{2}-20\sqrt{2}=-14\sqrt{2}$
最终结果为$\boldsymbol{-14\sqrt{2}}$。
先将各二次根式化为最简二次根式：
$3\sqrt{8}=3×\sqrt{4×2}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32}=5×\sqrt{16×2}=5×4\sqrt{2}=20\sqrt{2}$
原式$=6\sqrt{2}-20\sqrt{2}=-14\sqrt{2}$
最终结果为$\boldsymbol{-14\sqrt{2}}$。
解析
【分析】
这是二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个非最简二次根式分别化简为最简二次根式，化简时需把被开方数分解出能开得尽方的因数，再将该因数开方后与根号外的系数相乘；第二步判断化简后的两个二次根式是同类二次根式（被开方数相同），将它们的系数相减，根号部分保持不变即可得到结果。
【解析】
第一步，将各二次根式化为最简二次根式：
$3\sqrt{8}=3×\sqrt{4×2}=3×\sqrt{4}×\sqrt{2}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32}=5×\sqrt{16×2}=5×\sqrt{16}×\sqrt{2}=5×4\sqrt{2}=20\sqrt{2}$
第二步，合并同类二次根式：
原式$=6\sqrt{2}-20\sqrt{2}=(6-20)\sqrt{2}=-14\sqrt{2}$
【答案】
$\boldsymbol{-14\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，熟练掌握二次根式的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个非最简二次根式分别化简为最简二次根式，化简时需把被开方数分解出能开得尽方的因数，再将该因数开方后与根号外的系数相乘；第二步判断化简后的两个二次根式是同类二次根式（被开方数相同），将它们的系数相减，根号部分保持不变即可得到结果。
【解析】
第一步，将各二次根式化为最简二次根式：
$3\sqrt{8}=3×\sqrt{4×2}=3×\sqrt{4}×\sqrt{2}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32}=5×\sqrt{16×2}=5×\sqrt{16}×\sqrt{2}=5×4\sqrt{2}=20\sqrt{2}$
第二步，合并同类二次根式：
原式$=6\sqrt{2}-20\sqrt{2}=(6-20)\sqrt{2}=-14\sqrt{2}$
【答案】
$\boldsymbol{-14\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，熟练掌握二次根式的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
30. 计算下列各题.
(1) $\sqrt{3\dfrac{1}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{1\dfrac{4}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{5\dfrac{1}{2}}$；
(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 (5 - 2\sqrt{6})$；
(3) $(\sqrt{48} + \sqrt{20}) + (\sqrt{12} - \sqrt{5})$；
(4) $(\sqrt{5} + 6)(3 - \sqrt{5})$；
(5) $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$；
(6) $\sqrt{72} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{1}{7}\sqrt{98} + \sqrt{1\dfrac{1}{8}}$。
(1) $\sqrt{3\dfrac{1}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{1\dfrac{4}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{5\dfrac{1}{2}}$；
(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 (5 - 2\sqrt{6})$；
(3) $(\sqrt{48} + \sqrt{20}) + (\sqrt{12} - \sqrt{5})$；
(4) $(\sqrt{5} + 6)(3 - \sqrt{5})$；
(5) $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$；
(6) $\sqrt{72} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{1}{7}\sqrt{98} + \sqrt{1\dfrac{1}{8}}$。
答案
解：
(1) 原式$=\sqrt{\dfrac{7}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{11}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{11}{2}}$
$=(-\dfrac{1}{6} × 4) × \sqrt{\dfrac{7}{2} × \dfrac{11}{7} ÷ \dfrac{11}{2}}$
$=-\dfrac{2}{3} × \sqrt{1}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 原式$=[(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2] × (5-2\sqrt{6})$
$=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$
$=5^2 - (2\sqrt{6})^2$
$=25-24$
$=1$
(3) 原式$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-\sqrt{5})$
$=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$
(4) 原式$=3\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 + 18 - 6\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-5+18-6\sqrt{5}$
$=13-3\sqrt{5}$
(5) 原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}) + (\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
(6) 原式$=6\sqrt{2} - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{7}×7\sqrt{2} + \sqrt{\dfrac{9}{8}}$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{15\sqrt{2}}{4}$
(1) 原式$=\sqrt{\dfrac{7}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{11}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{11}{2}}$
$=(-\dfrac{1}{6} × 4) × \sqrt{\dfrac{7}{2} × \dfrac{11}{7} ÷ \dfrac{11}{2}}$
$=-\dfrac{2}{3} × \sqrt{1}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 原式$=[(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2] × (5-2\sqrt{6})$
$=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$
$=5^2 - (2\sqrt{6})^2$
$=25-24$
$=1$
(3) 原式$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-\sqrt{5})$
$=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$
(4) 原式$=3\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 + 18 - 6\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-5+18-6\sqrt{5}$
$=13-3\sqrt{5}$
(5) 原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}) + (\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
(6) 原式$=6\sqrt{2} - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{7}×7\sqrt{2} + \sqrt{\dfrac{9}{8}}$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{15\sqrt{2}}{4}$
解析
【分析】
这是一组二次根式混合运算题，解题思路如下：① 先将式子中的带分数化为假分数，方便后续计算；② 二次根式乘除运算时，将系数和被开方数分别分组计算，同时先确定运算结果的符号，最后化简被开方数；③ 二次根式加减运算时，先把所有根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；④ 若式子符合完全平方公式、平方差公式的结构特征，优先使用乘法公式简化计算，降低运算量；⑤ 分母含根号的先做分母有理化，再合并同类项。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{\dfrac{7}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{11}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{11}{2}}$
$=(-\dfrac{1}{6} × 4) × \sqrt{\dfrac{7}{2} × \dfrac{11}{7} ÷ \dfrac{11}{2}}$
$=-\dfrac{2}{3} × \sqrt{1}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 原式$=[(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2] × (5-2\sqrt{6})$
$=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$
$=5^2 - (2\sqrt{6})^2$
$=25-24$
$=1$
(3) 原式$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-\sqrt{5})$
$=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$
(4) 原式$=3\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 + 18 - 6\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-5+18-6\sqrt{5}$
$=13-3\sqrt{5}$
(5) 原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}) + (\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
(6) 原式$=6\sqrt{2} - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{7}×7\sqrt{2} + \sqrt{\dfrac{9}{8}}$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{15\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$；(2) $\boldsymbol{1}$；(3) $\boldsymbol{6\sqrt{3}+\sqrt{5}}$；(4) $\boldsymbol{13-3\sqrt{5}}$；(5) $\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}}$；(6) $\boldsymbol{\dfrac{15\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，同类二次根式合并
【点评】
本组题目侧重考查二次根式的基础运算能力，熟练掌握二次根式化简规则、乘除运算法则、同类二次根式合并方法是解题核心，运算时注意符号判断和运算顺序，灵活运用乘法公式可大幅提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
这是一组二次根式混合运算题，解题思路如下：① 先将式子中的带分数化为假分数，方便后续计算；② 二次根式乘除运算时，将系数和被开方数分别分组计算，同时先确定运算结果的符号，最后化简被开方数；③ 二次根式加减运算时，先把所有根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；④ 若式子符合完全平方公式、平方差公式的结构特征，优先使用乘法公式简化计算，降低运算量；⑤ 分母含根号的先做分母有理化，再合并同类项。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{\dfrac{7}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{11}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{11}{2}}$
$=(-\dfrac{1}{6} × 4) × \sqrt{\dfrac{7}{2} × \dfrac{11}{7} ÷ \dfrac{11}{2}}$
$=-\dfrac{2}{3} × \sqrt{1}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 原式$=[(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2] × (5-2\sqrt{6})$
$=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$
$=5^2 - (2\sqrt{6})^2$
$=25-24$
$=1$
(3) 原式$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-\sqrt{5})$
$=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$
(4) 原式$=3\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 + 18 - 6\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-5+18-6\sqrt{5}$
$=13-3\sqrt{5}$
(5) 原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}) + (\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
(6) 原式$=6\sqrt{2} - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{7}×7\sqrt{2} + \sqrt{\dfrac{9}{8}}$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{15\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$；(2) $\boldsymbol{1}$；(3) $\boldsymbol{6\sqrt{3}+\sqrt{5}}$；(4) $\boldsymbol{13-3\sqrt{5}}$；(5) $\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}}$；(6) $\boldsymbol{\dfrac{15\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，同类二次根式合并
【点评】
本组题目侧重考查二次根式的基础运算能力，熟练掌握二次根式化简规则、乘除运算法则、同类二次根式合并方法是解题核心，运算时注意符号判断和运算顺序，灵活运用乘法公式可大幅提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
