18. 阅读以下运算过程：$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. 数学中把这种去掉分母中根号的过程叫作“分母有理化”.
请你将下列各式分母有理化.
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}}$；
(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$；
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}$；
(4) $\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}}$.

解：
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1×\sqrt{12}}{\sqrt{12}×\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{12}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{3}×\sqrt{40}}{\sqrt{40}×\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{120}}{40} = \frac{2\sqrt{30}}{40} = \frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{50}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{300}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) 由二次根式有意义可得$x＞0$，
$\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{15x^3}×\sqrt{5x}}{\sqrt{5x}×\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{75x^4}}{5x} = \frac{5x^2\sqrt{3}}{5x} = x\sqrt{3}$

【分析】
要完成分母有理化，核心思路是去掉分母中的根号，具体步骤如下：1. 利用$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的性质，给分子、分母同时乘分母中的二次根式，将分母化为整数；2. 把分子中的二次根式化为最简二次根式；3. 对得到的分式约分，得到最终最简结果；如果式子中含有字母，要先根据二次根式和分式有意义的条件确定字母的取值范围，再进行运算。
【解析】
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1×\sqrt{12}}{\sqrt{12}×\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{12}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{3}×\sqrt{40}}{\sqrt{40}×\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{120}}{40} = \frac{2\sqrt{30}}{40} = \frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{50}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{300}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) 由二次根式有意义可得$x＞0$，
$\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{15x^3}×\sqrt{5x}}{\sqrt{5x}×\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{75x^4}}{5x} = \frac{5x^2\sqrt{3}}{5x} = x\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{6}$；(2) $\frac{\sqrt{30}}{20}$；(3) $\frac{5\sqrt{3}}{3}$；(4) $x\sqrt{3}$
【知识点】
1. 分母有理化 2. 二次根式化简 3. 二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查分母有理化的操作方法，解题时要注意完成分母有理化后需将结果化为最简二次根式，涉及字母的运算要先判断字母的取值范围保证运算合法，熟练掌握该类题型能为后续二次根式的混合运算打下良好基础。
【难度系数】
0.8

19. 使式子$\sqrt{-(x-5)^2}$有意义的实数$x$的个数是()

A.0
B.1
C.2
D.无数个

B

【分析】
解题时首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，据此先列出关于x的不等式。再观察被开方数的结构，它是一个实数平方的相反数，结合平方的非负性可知，平方的相反数是非正数，此时要同时满足“非负”和“非正”，被开方数只能等于0，进而求解x的值，统计符合条件的x的个数即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{-(x-5)^2}$有意义，需被开方数大于等于0，即：
$-(x-5)^2 ≥ 0$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$(x-5)^2 ≤ 0$
又因为任意实数的平方都是非负数，即对任意实数$x$，都有$(x-5)^2 ≥ 0$，因此只有$(x-5)^2=0$时两个条件同时成立。
解得$x-5=0$，即$x=5$，符合条件的实数$x$仅有1个。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于二次根式的基础常考题，解题关键是结合二次根式的成立要求和平方的非负性，推导出被开方数只能为0，再求解x的取值，考察对基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.8

20. 当$a≥0$时，比较$\sqrt{a^2}$，$\sqrt{(-a)^2}$，$-\sqrt{a^2}$的结果，正确的是()

A.$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} ≥ -\sqrt{a^2}$
B.$\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{(-a)^2} ＞ -\sqrt{a^2}$
C.$\sqrt{a^2} ＜ \sqrt{(-a)^2} ＜ -\sqrt{a^2}$
D.$-\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2}$

A

【分析】
解题时先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，再结合题目给出的$a≥0$的条件，分别化简三个式子，最后比较化简后结果的大小即可选出正确选项。具体思考步骤：第一步先利用二次根式性质把三个带根号的式子转化为含绝对值的形式，第二步根据$a$是非负数的条件去掉绝对值符号，第三步对比三个化简后结果的大小关系，对应选项判断对错。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，分别化简三个式子：
1. 化简$\sqrt{a^2}$：$\sqrt{a^2}=|a|$，已知$a≥0$，所以$|a|=a$，即$\sqrt{a^2}=a≥0$；
2. 化简$\sqrt{(-a)^2}$：$\sqrt{(-a)^2}=|-a|$，已知$a≥0$，所以$-a≤0$，可得$|-a|=a$，因此$\sqrt{(-a)^2}=a$，即$\sqrt{a^2}=\sqrt{(-a)^2}$；
3. 化简$-\sqrt{a^2}$：$-\sqrt{a^2}=-|a|=-a≤0$；
因为非负数大于等于非正数，所以$a≥ -a$，即$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} ≥ -\sqrt{a^2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题的关键是牢记$\sqrt{x^2}$的化简结果为非负数，要结合字母的取值范围正确去掉绝对值符号，避免因忽略取值范围出现化简错误。
【难度系数】
0.8

21.一个直角三角形两条直角边的边长分别为$\sqrt{15}$和$\sqrt{12}$，那么它的斜边长是（）

A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$9$
D.$27$

B

【分析】
本题是直角三角形求斜边长的问题，解题思路如下：第一步，回忆直角三角形的勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；第二步，将已知的两条直角边代入勾股定理公式，计算斜边的平方；第三步，对得到的结果开平方，再化简二次根式，最终得到斜边长后匹配选项即可。
【解析】
根据勾股定理，若直角三角形两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$，则有$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
已知两条直角边分别为$\sqrt{15}$和$\sqrt{12}$，代入公式得：
$c=\sqrt{(\sqrt{15})^2+(\sqrt{12})^2}$
先计算平方项：$(\sqrt{15})^2=15$，$(\sqrt{12})^2=12$
求和得：$15+12=27$
因此$c=\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查勾股定理的直接应用以及二次根式的化简规则，计算时需注意二次根式的平方运算性质，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8

22. 把$(a - 1)\sqrt{-\dfrac{1}{a - 1}}$中根号外的$(a - 1)$移入根号内，得()

A.$\sqrt{a - 1}$
B.$\sqrt{1 - a}$
C.$-\sqrt{a - 1}$
D.$-\sqrt{1 - a}$

D

【分析】
要解决这类将根号外的因式移入根号内的问题，首先需要根据二次根式有意义的条件，确定根号外因式的正负性，这是避免符号错误的关键。第一步先根据被开方数非负、分母不为0的要求，求出a-1的取值范围；第二步将根号外的负因式转化为负号加正因式的形式，再把正因式平方后移入根号内，最后化简得到结果即可。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，根号内的数必须非负，且分母不为0，可得：
$-\dfrac{1}{a-1}≥ 0$且$a-1≠ 0$
由此可知分母$a-1＜0$，即$1-a＞0$。
接下来将根号外的$(a-1)$变形为$-(1-a)$（因为$a-1$是负数，提取负号后剩下的$1-a$为正数），代入原式得：
$\begin{aligned}(a - 1)\sqrt{-\dfrac{1}{a - 1}}&=-(1-a)\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}\\&=-\sqrt{(1-a)^2· (-\dfrac{1}{a-1})}\end{aligned}$
因为$(1-a)^2=(a-1)^2$，代入根号内化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\sqrt{(a-1)^2· (-\dfrac{1}{a-1})}\\&=-\sqrt{-(a-1)}\\&=-\sqrt{1-a}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，核心易错点是忽略根号外因式的符号，直接将负的因式移入根号内导致结果符号错误。解题时优先判断根号外因式的正负性是解题的关键。
【难度系数】
0.6