登录
41. 已知$\sqrt{a+1} + \sqrt{b-1}=0$，求$a^{2025} + b^{2025}$的值.
答案
解：
由二次根式的非负性可知：$\sqrt{a+1} ≥ 0$，$\sqrt{b-1} ≥ 0$，
又因为$\sqrt{a+1} + \sqrt{b-1} = 0$，
所以$\begin{cases} a+1=0 \\ b-1=0 \end{cases}$，
解得$a=-1$，$b=1$。
代入计算：
$a^{2025} + b^{2025} = (-1)^{2025} + 1^{2025} = -1 + 1 = 0$。
由二次根式的非负性可知：$\sqrt{a+1} ≥ 0$，$\sqrt{b-1} ≥ 0$，
又因为$\sqrt{a+1} + \sqrt{b-1} = 0$，
所以$\begin{cases} a+1=0 \\ b-1=0 \end{cases}$，
解得$a=-1$，$b=1$。
代入计算：
$a^{2025} + b^{2025} = (-1)^{2025} + 1^{2025} = -1 + 1 = 0$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，等式是两个二次根式的和为0，我们可以从二次根式的性质入手思考：二次根式的结果具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。两个非负数相加和为0，只有一种可能，就是这两个非负数各自都等于0，由此可以列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，再代入所求的代数式计算乘方的和即可。
【解析】
根据二次根式的非负性可得：$\sqrt{a+1} ≥ 0$，$\sqrt{b-1} ≥ 0$，
已知$\sqrt{a+1} + \sqrt{b-1}=0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可得方程组：
$\begin{cases} a+1=0 \\ b-1=0 \end{cases}$
解得：$a=-1$，$b=1$。
将$a=-1$，$b=1$代入$a^{2025} + b^{2025}$计算：
$a^{2025} + b^{2025} = (-1)^{2025} + 1^{2025} = -1 + 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质；乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题目，核心考点是“若若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，掌握这一性质就能快速求解，计算乘方时注意负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，等式是两个二次根式的和为0，我们可以从二次根式的性质入手思考：二次根式的结果具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。两个非负数相加和为0，只有一种可能，就是这两个非负数各自都等于0，由此可以列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，再代入所求的代数式计算乘方的和即可。
【解析】
根据二次根式的非负性可得：$\sqrt{a+1} ≥ 0$，$\sqrt{b-1} ≥ 0$，
已知$\sqrt{a+1} + \sqrt{b-1}=0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可得方程组：
$\begin{cases} a+1=0 \\ b-1=0 \end{cases}$
解得：$a=-1$，$b=1$。
将$a=-1$，$b=1$代入$a^{2025} + b^{2025}$计算：
$a^{2025} + b^{2025} = (-1)^{2025} + 1^{2025} = -1 + 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质；乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题目，核心考点是“若若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，掌握这一性质就能快速求解，计算乘方时注意负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数即可避免出错。
【难度系数】
0.8
42.计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ 
$+ \frac{1}{\sqrt{3}+2} + \dots + \frac{1}{3+\sqrt{10}}$
$+ \frac{1}{\sqrt{3}+2} + \dots + \frac{1}{3+\sqrt{10}}$答案
解：对每一项进行分母有理化：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
……
$\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}-3}{(3+\sqrt{10})(\sqrt{10}-3)}=\sqrt{10}-3$
将所有项相加：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{10}-3)$
$=-1+(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+\dots+(3-3)+\sqrt{10}$
$=\sqrt{10}-1$
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
……
$\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}-3}{(3+\sqrt{10})(\sqrt{10}-3)}=\sqrt{10}-3$
将所有项相加：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{10}-3)$
$=-1+(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+\dots+(3-3)+\sqrt{10}$
$=\sqrt{10}-1$
解析
【分析】
观察算式中每一项的分母均为两个被开方数相差1的二次根式（或可化为二次根式的整数）的和，直接通分计算运算量极大。因此考虑先对每一项做分母有理化：利用平方差公式，给每一项的分子、分母同乘分母中两个数的差，将分母化为整数，化简后可发现相邻项的同类二次根式可以正负抵消（即裂项相消），最后仅需计算剩余的首尾两项即可得到结果。
【解析】
先对每一项进行分母有理化：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}$
……
$\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}-3}{(3+\sqrt{10})(\sqrt{10}-3)}=\frac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10})^2 - 3^2}=\sqrt{10}-3$
将所有化简后的项代入原式：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{10}-3)$
合并同类二次根式后中间项两两抵消：
$=-1+(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+\dots+(3-3)+\sqrt{10}$
$=\sqrt{10}-1$
【答案】
$\sqrt{10}-1$
【知识点】
1. 分母有理化 2. 平方差公式 3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心技巧是通过分母有理化实现裂项相消，规避了繁琐的通分计算，解题关键是准确识别每一项的结构特征，熟练掌握分母有理化方法与平方差公式的应用。
【难度系数】
0.6
观察算式中每一项的分母均为两个被开方数相差1的二次根式（或可化为二次根式的整数）的和，直接通分计算运算量极大。因此考虑先对每一项做分母有理化：利用平方差公式，给每一项的分子、分母同乘分母中两个数的差，将分母化为整数，化简后可发现相邻项的同类二次根式可以正负抵消（即裂项相消），最后仅需计算剩余的首尾两项即可得到结果。
【解析】
先对每一项进行分母有理化：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}$
……
$\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}-3}{(3+\sqrt{10})(\sqrt{10}-3)}=\frac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10})^2 - 3^2}=\sqrt{10}-3$
将所有化简后的项代入原式：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{10}-3)$
合并同类二次根式后中间项两两抵消：
$=-1+(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+\dots+(3-3)+\sqrt{10}$
$=\sqrt{10}-1$
【答案】
$\sqrt{10}-1$
【知识点】
1. 分母有理化 2. 平方差公式 3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心技巧是通过分母有理化实现裂项相消，规避了繁琐的通分计算，解题关键是准确识别每一项的结构特征，熟练掌握分母有理化方法与平方差公式的应用。
【难度系数】
0.6
